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浙江省宁波市余姚市余姚中学2019-2020学年高二上学期期中考试试题数学一、选择题：1.双曲线2222xy的焦点坐标是()A.10（，）B.1（0，）C.(0,3)D.(3,0)【答案】D【解析】【分析】将2222xy化简成标准方程再进行焦点坐标运算即可.【详解】由2222xy得2212yx,故222221,2,3abcab,故焦点坐标(3,0)故选：D【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程与焦点坐标,属于基础题型.2.已知椭圆221168xy的一点M到椭圆的一个焦点的距离等于6，那么点M到椭圆的另一个焦点的距离等于()A.2 B.4 C.6 D.8【答案】A【解析】【分析】由题可得椭圆上的点到两个焦点之间的距离之和为28a,利用28a即可求得.【详解】由题4,28aa,故椭圆上的点到两个焦点之间的距离之和为8,又M到椭圆的一个焦点的距离等于 6,故M到椭圆的另一个焦点的距离等于862故选：A【点睛】本题主要考查椭圆的定义,属于基础题型.3.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45，腰为2，上底长为2的等腰梯形，那么原平面图形的面积为()A.3 2B.6C.62D.12 2【答案】C【解析】【分析】根据斜二测画法的图像性质,原平面图形面积为斜二测画法所得面积的2 2倍,故先求得斜二测画法梯形的面积再乘以2 2即可.【详解】由题意得,斜二测画法内梯形的上底长为2,高为2sin 451,下底长为222 cos454,故斜二测图像内梯形面积1(24)132S,故原平面图形面积032 26 2S.故选：C【点睛】本题主要考查原图形面积为斜二测画法内面积的2 2倍.属于基础题型.4.设m、n是两条不同的直线，、是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中真命题的是（）若mn，n，则m；若a，a，则；若m，n，则/mn；若m，n，/则/mn。A.和B.和C.和D.和【答案】B【解析】【详解】错；对；对；错；5.一个三棱锥的三条侧棱两两垂直且长分别为3、4、5，则它的外接球的表面积是()A.202B.50C.25 2D.200【答案】B【解析】【分析】由两两垂直的三棱锥的外接球与此三棱锥外接的长方体的外接球为同一外接球,可直接算得长方体的体对角线长度的平方2222345D,再根据外接球表面积公式即可算得.【详解】由题三条侧棱两两垂直且长分别为3、4、5 的三棱锥与长宽高分别为3、4、5 的长方体外接球相同.且长方体体对角线长D为外接球直径,又222234550D,故外接球表面积22450SRD.故选：B【点睛】本题主要考查三条侧棱两两垂直且长度分别为,a b c时,三棱锥的外接球表面积222()Sabc.6.已知抛物线C：28yx的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若4FPFQ，则|QF=()A.6B.52C.3 D.2【答案】C【解析】【分析】作QMx轴于M点,根据4FPFQ可求得4FNFM进而求得M的横坐标,等于Q的横坐标再利用公式即可算得|QF.【详解】由题,设Q在第一象限,则作QMx轴于M点,设准线l交x轴于N,因为4FPFQ,QM PN,故4FNFM,又(2,0),(2,0)FN,故(1,0)M,所以Q的横坐标也为1.利用抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离有|=1+2=3QF故选：C【点睛】遇到线段有比例关系，如4FPFQ时,将线段的比例关系转换为x或者y的比值问题是常见做法.本题也考查了抛物线上的点00(,)Q xy到焦点(,0)2pF的距离02pdx这一知识点.7.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：AB EF；AB与 CM所成的角为60；EF与 MN 是异面直线；MN CD 其中正确的个数为()个A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】由题可先画出正方体,再利用空间中判断线线夹角的一般方法逐个选项判断即可.【详解】还原正方体,以正方形NACF为底面有对,因为ABCM,且CMEF有ABEF,故正确.对,因为ABCM,所以错误.对,由图可得显然正确.对,MNCD,故错误.故选：B【点睛】本题主要考查空间中线面的位置关系与夹角,一般利用平行将线段移至相交位置分析夹角.8.在长方体1111ABCDA B C D中，1ABBC，13AA，则异面直线1AD与1DB所成角的余弦值为A.15B.56C.55D.22【答案】C【解析】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.详解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1为 x,y,z轴建立空间直角坐标系，则11(0,0,0),(1,0,0),(1,1,3),(0,0,3)DABD,所以11(1,0,3),(1,1,3)ADDB,因为111111135cos,525ADDBADDBADDB，所以异面直线1AD与1DB所成角的余弦值为55，选C.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.9.已知1F、2F分别是双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点，以12F F为直径的圆交渐近byxa于点P（P在第一象限），1PF交双曲线左支于Q，若Q是线段1PF的中点，则该双曲线的离心率为()A.51B.51C.3D.3+1【答案】A【解析】【分析】画图分析,先算得Q的坐标,再代入双曲线方程化简即可得离心率.【详解】画出图像,连接2PF,则12PFPF,故1212FOcFP,又直线OP的斜率为ba,故(,)P a b,又1(,0)Fc,所以(,)22ac bQ,又(,)22ac bQ在双曲线22221(0,0)xyabab上,故222222()44acbbaa b,化简得222222()5420baca baacc,故2240ee.因0e,故解得15e故选：A【点睛】本题主要考查表达点的坐标代入双曲线方程进行化简求离心率的方法,属于中等题型.10.如图，三棱柱111ABCA B C满足棱长都相等且1AA平面ABC，D是棱1CC的中点，E是棱1AA上的动点设AEx，随着x增大，平面BDE与底面ABC所成锐二面角的平面角是()A.先增大再减小B.减小C.增大D.先减小再增大【答案】D【解析】【分析】可直接建立空间直角坐标系求解平面BDE与底面ABC所成锐二面角的余弦值cos关于x的函数,再分析函数的单调性即可.【详解】以AC中点O为坐标原点,OB OC分别为,x y轴,并垂直向上作z轴建立空间直角坐标系.设所有棱长均为2,则(0,2)x,(3,1,1)DB,(0,2,1)DEx,设平面BDE法向量(,)na b c 则2(1)0003bc xn DBn DEabc,令2 3c有13(1)2 3axbxc,故(1,3(1),2 3)nxx.又平面ABC的法向量(0,0,1)m,故平面BDE与底面ABC所成锐二面角的平面角的余弦值2222 33cos(1)3(1)124m nm nxxxx23115()24x,又(0,2)x,故cos在1(0,)2x上单增,1(,2)2x上单减,即随着x增大先变大后变小,所一以随着x增大先变小后变大.故选：D.【点睛】本题主要考查建立空间直角坐标系求二面角以及二次函数的单调性问题等,属于综合题型.二、填空题11.双曲线:C2214xy的渐近线方程为_，设双曲线1:C22221(0,0)xyabab经过点(4,1),且与双曲线C具有相同渐近线,则双曲线1C的标准方程为_【答案】(1).12yx (2).221123yx【解析】【分析】(1)由焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程可得；(2)设224xy,代入点(4,1)求得即可.【详解】(1)双曲线:C2214xy的焦点在y轴上,且1,2ab,渐近线方程为ayxb,故渐近线方程为12yx故答案为：12yx(2)由双曲线1C与双曲线C具有相同渐近线,可设221:4yCx,代入(4,1)有224134,故212:34xCy,化简得221123yx故答案为：221123yx【点睛】本题主要考查双曲线22221yxab渐近线的方程为ayxb,与22221yxab共渐近线方程可设为2222yxab12.若一个圆柱的侧面展开图是边长为2 的正方形，则此圆柱的体积是_；若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为120，半径为1 的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是_【答案】(1).2 (2).4:3【解析】【分析】(1)由题可得圆柱高为2,再计算得出底面半径为r即可求得体积.(2)设圆锥底面半径为r再表达出展开后的扇形半径列式即可求得底面半径r,再计算出表面积与侧面即即可.【详解】(1)设底面半径为r,则由题意,22r,故1r,又高为 2,所以体积2122V,故答案为：2(2)设圆锥底面半径为r,则底面周长2Cr,故展开后的扇形弧长2Cr,又圆心角为21203且半径为 1,故22=13r,所以13r.故圆锥侧面积1111 2233S,表面积2214339S,故表面积与侧面积的比是2144933SS故答案为：4:3【点睛】本题主要考查圆柱和圆锥体积表面积公式,需要注意设半径为r方便列式计算,属于基础题型.13.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_，体积为 _【答案】(1).1042 23 (2).4【解析】【分析】由题可得该几何体为四棱锥,分别算出四个侧面与底面面积即可算得表面积,再利用体积公式求解即可.【详解】(1)在长方体中画出四棱锥直观图,可知表面积ABCABEACDAEDBCDESSSSSS,其中,ABCABEACD均为直角三角形,ADE为等腰三角形,取AE中点O有底长2 6AE,高2OD,即可求得面积12 622 32ADES111122224222 3(24)2222210 4223,故答案为：1042 23(2)该立体图形为四棱锥,故1162433A BCDEBCDEVSAC.故答案为：4【点睛】本题主要考查立体几何的图形画法以及表面积体积计算.经常放到长方体中画出棱锥,且注意在算表面积时三角形经常为直角或者等腰三角形,等腰三角形需要作底边上的高计算面积.14.方程|x+1|y-1|2 表示的曲线围成的图形对称中心的坐标为_，面积为 _【答案】(1).(1,1)(2).8【解析】【分析】由题可知,分别令10,10 xy即可算得对称中心的坐标,又画图得图形为边长为2 2的正方形即可算得面积.【详解】(1)由112,(1,1)112,(1,1)112112,(1,1)112,(1,1)xyxyxyxyxyxyxyxyxy画出图形,故对称中心为(1,1)故答案为：(1,1)(2)由图得图形为变成为22222 2的正方形,故面积为22 2=8故答案为：8【点睛】,(0)xaybrr的图像是以(,)a b为中心,以点(,)(,)ar ba br，为顶点的正方形.15.已知点1 1M，和抛物线24Cyx：，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若90AMB，则k_【答案】2【解析】【分析】利用点差法得到AB的斜率，结合抛物线定义可得结果.详解】详解：设1122A,B,x yxy则21122244yxyx所以22121244yyxx所以1212124kyyxxyy取 AB中点00M xy，,分别过点A,B 作准线x1的垂线，垂足分别为A,B因为AMB90,111MM222ABAFBFAABB，因为 M 为 AB中点，所以 MM 平行于x 轴因为 M(-1,1)所以01y，则122yy即k2故答案为2.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，设1122A,B,x yxy，利用点差法得到1212124kyyxxyy，取 AB中点00M xy，,分别过点A,B 作准线x1的垂线，垂足分别为A,B，由抛物线的性质得到1MM2AABB，进而得到斜率。16.如图，已知 AB为圆 O的直径，C为圆上一动点，PA圆 O所在平面，且 PA=AB=2，过点 A作平面PB，交 PB,PC分别于 E,F，当三棱锥P-AEF体积最大时，tanBAC=_【答案】2【解析】PB平面AEF，则AFPB，又,ACBC APBCBC平面PAC，,AFBCAF平面0,90PBCAFE，设BAC，在Rt PAC中，2222cos2cos2 1cos1cosAP ACAFPC，在Rt PAB中，222,AEPEEFAEAF，2221 1122223 266PAEFVAFEF PEAFAFAFAF222(1)166AF，1AF时，三 棱 锥P-AEF体 积 最 大 为26，此 时，22cos361,cos,sin331 cos，tan2.【点睛】涉及与圆有关的垂直问题不要忘记垂径定理和直径所对的圆周角是直角，可以提供垂直方面的依据，借助线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直反得线线垂直，这是垂直问题常用的推理模式，借助二次函数求体积的最值，进而求出所求的角的正切.17.已知椭圆2222:10 xyabab，直线1xy与椭圆交于,M N两点，以线段MN为直径的圆经过原点若椭圆的离心率不大于32，则a的取值范围为_【答案】101,2【解析】【分析】联立直线与圆锥曲线的方程,设交点坐标,根据线段MN为直径的圆经过原点列式,得出关于,a b的表达式,再根据离心率不大于32进行不等式求解即可.【详解】设1122(,),(,)M xyN xy,联立直线MN与椭圆方程222211xyabxy,消去y得2222222()20abxa xaa b,2221222aa bxxab,且化简得221ab.联立直线MN与椭圆方程222211xyabxy,消去x得2222222()20abyb yba b,故2221222ba byyab,又线段MN为直径的圆经过原点,则0OMON,故12120 xxyy,即2222222222+0aa bba babab,化简得22221aba.又椭圆离心率221bea不大于32,故22312ba,即22214aba,所以22222110121412142aaaaaa故答案为：101,2【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系问题,重点在于设而不求,先翻译题目条件,用坐标去表示所给条件,列出对应的不等式,再联立方程利用伟大定理代换即可求解.属于综合题型.三、解答题18.如图，已知三棱锥PABC，平面PAC平面ABC，122ABBCPAPC，120ABC（1）证明：PABC；（2）设点E为PC中点，求直线AE与平面PBC所成角的正弦值【答案】(1)见解析；(2)217【解析】【分析】(1)由题可利用余弦定理计算AC,再利用勾股定理证明PAAC,进而得到PA平面ABC,进而证明PABC(2)由(1)可知PA面ABC,故可以A为坐标原点建立空间直角坐标系,求出AE对应的向量与面PBC的法向量即可求得AE与平面PBC所成角的正弦值.【详解】(1)2ABBC,120ABC,由余弦定理得2222cos12ACABBCAB BCABC,故2 3AC.又22241216PAACPC,故PAAC.又平面PAC平面ABC,且平面PAC平面ABCAC,故PA平面ABC.又BC平面ABC,故PABC.证毕.(2)由(1)有PA平面ABC,故以A为坐标原点,垂直,AC AP为x轴,AC为y轴正向,AP为 z 轴正向建如图空间直角坐标系.则(0,0,0)A,(1,3,0)B,(0,0,2)P,(0,2 3,0)C,(0,3,1)E.故(0,3,1)AE,(0,2 3,2)PC,(1,3,0)BC,设平面PBC的法向量(,)mx y z则2 3200030yzm PCm BCxy,令1y有313xyz,故(3,1,3)m,设AE与平面PBC所成角为,则22222 321sin731313AE mAE m故答案为：217【点睛】本题主要考查线面垂直的一般证明方法,包括线线垂直与勾股定理等基本方法.一般求解先与面的夹角的正弦值,均先求直线的向量与平面法向量,再根据直线与法向量的夹角的余弦值等于直线与平面夹角的正弦值求得即可.19.过椭圆2222:1(0)xyCabab的焦点(3,0)且垂直于长轴的直线交椭圆于,M N两点，线段MN的长度为 1.（1）求椭圆C的方程；（2）直线l经过定点(0,2)，且与椭圆C交于,A B两点，O为原点，求三角形OAB面积的最大值.【答案】(1)2214xy；(2)1【解析】【分析】(1)由题得3c,且MN为通经长22ba再化简求值即可(2)根 据 题 意 先 分 析 斜 率 不 存 在 时 的 情 况,再 联 立 方 程 求 得 韦 达 定 理 与 判 别 式,再 根 据OABOPBOPASSS列出面积表达式代入韦达定理运算,最后关于斜率的函数表达式可用基本不等式求最值即可.【详解】(1)由题得223,1bca,故222(3)1260(23)(2)0aaaaaa,因为0a所以2a,221bac,故椭圆方程22:14xCy(2)当直线l斜率不存在时,无三角形OAB,当直线l斜率存在时,设:2lykx,(0,2)P则联立直线AB与椭圆方程22142xyykx,消去y得22(41)16120kxkx,故1212221612,4141kxxx xkk,且22164 41 120kk化简得234k.故2212121222112()4=()42216124141OABOPBOPASSSOP xxxkxkxkx222222224 434 434414414344432434343kkkkkkkk,当且仅当2244343kk即227434,4kk时取得“=”.故三角形OAB面积的最大值为1.【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，联立方程表达出面积OABOPBOPASSS可用简化计算,同时最后求最值时基本不等式是常用做法.20.已知抛物线2:2C ypx,过点 A(1,1)（1）求抛物线C的方程；（2）如图，直线MN与抛物线C交于,M N两个不同点（均与点A不重合），设直线,AM AN的斜率分别为12,k k且123kk，求证直线MN过定点，并求出定点.【答案】(1)2yx；(2)12(,)33【解析】【分析】(1)将点(1,1)代入2:2C ypx即可(2)设直线MN:xtym,联立直线与抛物线方程,表达出12,k k,再化简代入韦达定理算得213tm,再代入直线方程即可求得定点.【详解】(1)将点(1,1)代入22ypx有12p,故抛物线方程为：2yx(2)设221122(,),(,)A yyB yy，直线MN:xtym.联立2xtymyx有20ytym,且2121240,tmyyt y ym因为1112111111111yykxyy,同理2211ky.由123kk得1212121212121222112311(1)(1)11yyyytkkyyyyyyy ymt,化简得213tm.所以直线MN:2121()333txtymtyt y,故MN过定点12(,)33【点睛】本题主要考查定点定值问题,联立方程列出韦达定理,设而不求翻译条件,再代入韦达定理求解相关量的关系,属于综合题型.21.如图,四棱锥PABCD中，/ABCD,ABAD，22BCCDAB，PAD是等边三角形，,MN分别为,BC PD的中点（）求证：/MN平面PAB；（）若二面角PADC的大小为3，求直线MN与平面PAD所成角的正切值【答案】（）见解析；（）3.【解析】【分析】（）取AD中点E，连接EN、EM，根据线面平行的判定定理，得到平面/PAB平面EMN，进而可得/MN平面PAB；（）连接PM，根据题意得到PEM是二面角PADC的平面角，过点M作MFPE于F，得到MF平面PAD，MNF是直线MN与平面PAD所成角的平面角，再由题中数据，即可求出结果.【详解】（）取AD中点E，连接EN、EM由于/ENAP，/EMAB，APABA，EMENE，从而平面/PAB平面EMN又MN平面EMN，所以/MN平面PAB（）连接PM由于PEAD，MEAD，则PEM是二面角PADC的平面角，3PEM，PEM是边长为32的正三角形，且AD平面PEM又AD平面PAD，则平面PEM平面PAD过点M作MFPE于F，则3 34MF，MF平面PAD，MNF是直线MN与平面PAD所成角的平面角由于,N F分别是,PD PE的中点，则1324NFDE，从而tan3MFMNFNF，即直线MN与平面PAD所成角的正切值为3.【点睛】本题主要考查线面平行的证明以及直线与平面所成的角，熟记判定定理以及几何法求线面角即可，属于常考题型.22.已知椭圆2222:1(0)xyCabab的短轴长为2 3，右焦点F与抛物线24yx的焦点重合，O为坐标原点（1）求椭圆C的方程；（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点(4,0)D，且满足DADB，若3 1,8 2，求直线AB的斜率的取值范围.【答案】（1）22143xy；（2）521215,622226【解析】【分析】（1）由题设可直接得到,b c的值，从而得到a的值，据此可得椭圆的方程.（2）设AB的方程为(4)yk x，联立直线方程和椭圆方程并消去x，利用韦达定理和向量关系得到,k的关系式，最后利用的范围得到k的取值范围.【详解】（1）由已知得3,1bc，所以2a,椭圆的方程为22:143xyC.（2）DADB，,D A B三点共线，而(4,0)D，且直线AB的斜率一定存在，所以设AB的方程为(4)yk x，与椭圆的方程22143xy联立得222(34)24360kykyk，由2144 140k，得214k设1122,A x yB xy，21212222436,3434kkyyyykk又由DADB得：1122(4,)(4,)xyxy，12yy.将式代入式得:22222224(1)343634kykkyk消去2y得221161234k，当3 1,8 2时，12h是减函数，所以9121224h，291612123424k，解得221548436k，又因为214k，所以221548436k，即521622k或215226k，直线AB的斜率的取值范围是521215,622226.【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等.直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、范围问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x或y的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x xxx或1212,y yyy，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、范围问题.