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黑龙江省哈尔滨市第六中学2019 届高三上学期12 月月考试题数学（理）第卷（选择题）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.复数，（是虚数单位），则复数的虚部为（）A.B.1C.D.【答案】B【解析】【分析】直接由复数代数形式的除法运算化简，则复数z 的虚部可求【详解】z=，z 的虚部为 1故选：B【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题2.已知集合，集合,则图中的阴影部分表示的集合是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】图中阴影部分表示的集合为，所以先求出集合A,B 后可得结论【详解】由题意得，所以，即图中阴影部分表示的集合为故选 C【点睛】本题考查集合的元素、韦恩图和集合的补集运算，解题的关键是认清图中阴影部分表示的集合以及所给集合中元素的特征，属于基础题3.设向量，满足，则（）A.6 B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用数量积运算性质即可得出【详解】向量满足，=3，解得=2则=4故选：D【点睛】本题考查了数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4.下列命题中错误的是（）A.命题“若，则”的逆否命题是真命题B.命题“”的否定是“”C.若为真命题，则为真命题D.已知，则“”是“”的必要不充分条件【答案】C【解析】【分析】对于 A，根据逆否命题的等价性进行判断；对于B，根据含有量词的命题的否定进行判断；对于C，根据复合命题的真假关系进行判断；对于D，利用必要不充分条件进行判断.【详解】对于A，若 x=y，则 sinx=siny，显然原命题正确，则逆否命题也为真命题故A 正确；对于 B，命题“”的否定是“”，故 B 正确；对于 C，若为真命题，则至少有一个是真命题，故不一定为真命题，故C 错误；对于 D，充分性：当时，显然不成立，即充分性不具备；必要性：因为，根据幂函数的单调性，显然，即必要性具备，故D 正确.故选：C【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及复合命题的真假关系，含有量词的命题的否定，充要条件以及幂函数的性质，比较基础5.过点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（）A.B.1 C.D.【答案】C【解析】【分析】由直线的点斜式方程可得直线的方程，由点到直线的距离可得圆心到直线的距离,结合勾股定理，即可得结论.【详解】根据题意，设过点且倾斜角为的直线为,其方程为,即,变形可得，圆的圆心为，半径,设直线 与圆交于点,圆心到直线的距离,则，故选 C.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系以及直线的点斜式方程，属于中档题.解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系（求弦长问题需要考虑点到直线距离、半径，弦长的一半之间的等量关系）；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用韦达定理以及判别式来解答.6.朱载堉（15361611），明太祖九世孙，音乐家、数学家、天文历算家，在他多达百万字的著述中以乐律全书最为著名，在西方人眼中他是大百科全书式的学者王子。他对文艺的最大贡献是他创建了“十二平均律”，此理论被广泛应用在世界各国的键盘乐器上，包括钢琴，故朱载堉被誉为“钢琴理论的鼻祖”。“十二平均律”是指一个八度有13 个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音频率是最初那个音频率的 2 倍，设第二个音的频率为，第八个音的频率为，则等于（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】依题意 13 个音的频率成等比数列，记为an，设公比为q，推导出 q=，由此能求出的值【详解】依题意13 个音的频率成等比数列，记为an，设公比为q，则=，且=2a1，q=，=q6=故选：A【点睛】本题考查两个频率的比值的求法，考查等比数列的性质等基本性质，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题7.已知，则的值是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由可得，变形，利用两角差的余弦公式可得结果.【详解】由可得，故选 B.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角8.已知函数是奇函数，其中，则函数的图象（）A.关于点对称B.关于直线对称C.可由函数图象向右平移个单位得到D.可由函数图象向左平移个单位得到【答案】A【解析】【分析】根据函数是奇函数得到，进而得到函数的解析式，根据左加右减的原则得到CD 是错误的，由，得到 B 错误，A 正确.【详解】函数是奇函数，其中，f（x）=sin2x=cos（2x）=cos2（x），则函数 g（x）=cos（2x）=cos（2x）=cos2（x）的图象可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到的，C,D 错;由,得时,B 错.因为，故 A 正确.故选 A【点睛】本题考查的是三角函数的平移问题，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名，在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证要将x 的系数提出来，针对x 本身进行加减和伸缩.9.已知，若存在两个零点，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：有两个零点，等价于有两个根，即与有两个交点，利用数形结合可得结果.详解：有两个零点，等价于有两个根，即与有两个交点，画出与的图象，如图，由图可知，当在 轴的截距不大于时，两函数图象有两个交点，即，的取值范围是，故选 A.点睛：本题主要考查函数的零点、函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质10.函数（其中）的图像不可能是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】（1）当时，其图象为选项A 所示；（2）当时，若，则图象如选项D 所示；若，则图象如选项B所示综上，选项C 不正确选C11.已知，则不可能满足的关系是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由可得，从而可得，故，然后对给出的四个选项分别进行判断即可得到结论【详解】，整理得对于 A，由于，解得，所以 A 成立对于 B，由于，解得，所以 B 成立对于 C，所以 C 成立对于 D，由于，所以，因此 D 不成立故选 D【点睛】本题考查对数、指数的转化及基本不定式的变形及其应用，解题时注意不等式的应用，同时也要注意不等式所需的条件，即“一正、二定、三相等”12.已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的渐近线方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】作 OA 于点 A，于点 B，可得，结合双曲线定义可得从而得到双曲线的渐近线方程.【详解】如图，作OA 于点 A，于点 B，与圆相切，又点 M 在双曲线上，整理，得，双曲线的渐近线方程为故选：A【点睛】本题考查了双曲线渐近线方程的求法，解题关键建立关于a，b 的方程，充分利用平面几何性质，属于中档题.第卷（非选择题）本卷包括必考题和选考题两部分，第13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22 题23 题为选考题，考生根据要求做答二、填空题。13.某多面体的三视图如图所示，其中俯视图是等腰三角形，该多面体的各个面中有若干个是等腰三角形，这些等腰三角形的面积之和为_【答案】【解析】【分析】由三视图还原原几何体，可知原几何体是四棱锥ABCDE，其中底面BCDE 为边长是4 的正方形，侧面ABE 为等腰三角形，侧面ADC 为等腰三角形，然后由三角形面积公式求解【详解】由三视图还原原几何体如图，该几何体是四棱锥ABCDE，其中底面 BCDE 为边长是 4 的正方形，侧面ABE、ADC 为等腰三角形，侧面 ABC、AED 为直角三角形 ABE 底边 BE 上的高为2，AC=，等腰三角形ACD 底边 CD 上的高为，这些等腰三角形的面积之和为4+4故答案为：4+4【点睛】由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.14.已知点为抛物线的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为 _【答案】【解析】【分析】首先确定准线方程，然后结合对称性求解的最小值即可.【详解】，准线方程为，设，则，即，代入，得，不妨取，即，设关于准线的对称点为，可得，故即的最小值为.故答案为。【点睛】本题主要考查抛物线中的最值问题，对称转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15.已 知 数 列满 足，则 该 数 列 的 前20项 和 为_【答案】2101【解析】【分析】先利用题中条件找到数列的特点，即其奇数项构成了首项为1，公差为1 的等差数列，而其偶数项则构成了首项为2，公比为2 的等比数列，再对其和用分组求和的方法找到即可【详解】由题中条件知，a1=1，a2=2，a3=a1+1=2，a4=2a2+0=4，a5=a3+1=3，a6=2a4=8 即其奇数项构成了首项为1，公差为1 的等差数列，而其偶数项则构成了首项为2，公比为2 的等比数列，所以该数列的前20 项的和为（1+2+3+10）+（2+4+8+210）=2101故答案为：2101【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的前n 项和公式考查学生的运算能力与归纳推理能力16.如图，已知一个八面体的各条棱长均为，四边形为正方形，给出下列命题：不平行的两条棱所在的直线所成的角是或；四边形是正方形；点到平面的距离为；平面与平面所成的锐二面角的余弦值为其中正确的命题全部序号为_【答案】【解析】【分析】利用八面体的结构特征逐条验证即可.【详解】因为八面体的各条棱长均为1，四边形 ABCD 为正方形，所以在四棱锥EABCD 中，相邻两条侧棱所成的角为60，而像 AE 与 CE 所成的角为90，正确因为 AE=CE=1，AC=，满足勾股定理的逆定理，所以AECE，同理 AFCF，AEAF，所以四边形AECF 是正方形；故正确；设点 A 到平面 BCE 的距离 h，由 VEABCD=2V ABCE，所以，解得 h=；所以点 A 到平面 BCE 的距离；故正确；设平面与平面交线为 m，显然 m 平行 BC，取 AD 的中点为P，BC 的中点为Q，则 PEm，QEm 故 PEQ 为平面与平面所成的锐二面角的平面角易知：PQ=1，PE=QE=，cosPEQ=，故正确.故答案为：【点睛】本题考查了立体几何中线线关系以及线面关系，利用了等积法求点到平面的距离，考查了空间角的计算，属于中档题三、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17.如图，在中，是边上的一点，.（1）求的长；（2）若，求的值.【答案】（1）2，（2）【解析】【分析】(1)如图，作 AD BC 于点 D，设 AP=2PD=2x，PB=BD PD；（2）由（1）知：AD=，cosACP=，只需求出AC 即可.【详解】（1）如图，作AD BC 于点 D，则 ADP=90 ，设 PD=x，PAD=90 -AP=2PD=2x AD=，BD=PB+PD=在 RT ABD 中，解得：.BP=4-21=2 故 BP 的长为 2；（2）由（1）知：AD=AD BC，ADC=90 在 RT ADC 中AC=CD=cosACP=故【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.18.已知数列满足，且，.（1）设，证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】(1)见解析;(2).【解析】试题分析：（1）把代入到，得到，满足等差数列定义；（2）由，利用错位相减法求和.试题解析：（1）把代入到，得，两边同除以，得，为等差数列，首项，公差为1，.（2）由，两式相减，得.点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1 和不等于1 两种情况求解.19.如图，四棱锥中，底面是边长为2 的正方形，且，为中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】(1)见解析；（2）.【解析】【分析】（）可证平面，得，再证，可证平面；（2）建立空间直角坐标系求出相关各点的坐标：及各向量的坐标，求出平面的一个法向量，及平面的一个法向量，代入夹角公式计算即可。【详解】（1）证明：底面为正方形，又，平面，.同理，平面.（2）建立如图的空间直角坐标系，则，设为平面的一个法向量，又，令，得.同理是平面的一个法向量，则.二面角的正弦值为.【点睛】本题考查了线面垂直的的判定与性质及二面角的计算，属于中档题。20.已知椭圆（1）若椭圆的离心率为，求的值；（2）若 过 点任 作 一 条 直 线 与 椭 圆交 于 不 同 的 两 点，在轴 上 是 否 存 在 点，使 得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（）;（）.【解析】试题分析：（）椭圆的离心率求解；（）若满足,则直线的斜率之和，那么设直线方程与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，代入，利用和恒为0 的条件，求得定点.试题解析：（）因为，所以.又有，得.（）若存在点，使得，则直线和的斜率存在，分别设为，且满足.依题意，直线的斜率存在，故设直线的方程为.由，得.因 为 直 线与 椭 圆有 两 个 交 点，所 以.即，解得.设，则，.令，当时，所 以，化 简 得，所以.当时，检验也成立.所以存在点，使得.【点睛】在圆锥曲线中证明过定点问题，主要是利用“设而不求”的方法，通常是设出直线与圆锥曲线的交点坐标，然后以此坐标和相关变量表示出等量关系，写成一边为0 的形式，若过定点，那就与其他参数无关，一般可写成任何数，这样可求得定点.21.已知，.（1）当时，求证：；（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】(1)见证明；（2）【解析】【分析】(1)设 F（x）=e2x+ln（x+1）（x+1）2x（x0），通过两次求导，判断F（x）的单调性，即可得证；(2)由题意可得存在x00，+），使得 eln（x0+a）x020，设=e2x ln（x+a）x2，两次求导，判断单调性，对a 讨论，分当a 时，当a 时，通过构造函数和求导，得到单调区间，可得最值，即可得到所求a的范围【详解】(1)设，F（x）=4e2x2=e2x-+2（e2x1）+e2x0，（x0），所以，F（x）在 0，+）上递增，所以F（x）F（0）=0，所以，F（x）在 0，+）上递增，所以F（x）F（0）=0，即有当 x0 时，f（x）（x+1）2+x；（2）即，则，在上递增，当时，,在上为单调递增函数，故，当时，设,在上为单调递增函数，则当时，恒成立，不合题意综上，则【点睛】本题考查导数的运用：求单调区间、最值，考查不等式的证明，注意运用构造函数法，运用单调性解决，考查存在性问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法，以及转化思想，考查推理能力和运算能力，属于难题22.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴非负半轴重合，直线的参数方程为：(为参数，)，曲线的极坐标方程为：.（1）写出曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于两点，若，求直线的斜率.【答案】（1）；（2）。【解析】【分析】（）由题意，利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可得到曲线的直角坐标方程为；（）把直线的参数方程代入，整理得，利用参数的几何意义，即可求解.【详解】（1），由,得.曲线的直角坐标方程为.（2）把代入，整理得设其两根分别为，则，得，直线的斜率为.【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线参数方程的应用，其中解答中熟记极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，以及直线参数方程中参数的几何意义的合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.23.选修 45：不等式选讲设函数.（1）若，求不等式的解集；（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】分析：(1)对 分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得不等式的解集；（2）因为，所以，可得，从而可得结果.详解：（1）当时，.由，得.当时，不等式化为，即.所以，原不等式的解为.当时，不等式化为，即.所以，原不等式无解.当时，不等式化为，即.所以，原不等式的解为.综上，原不等式的解为.（2）因为，所以，所以，解得或，即的取值范围为.点睛：绝对值不等式的常见解法：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想