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三角函数高考题及练习题(含答案)1/13 三角函数高考题及练习题（含答案）1.掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质；会用“五点法”作出正弦函数及余弦函数的图象；掌握函数yAsin(x)的图象及性质2.高考试题中，三角函数题相对比较传统，位置靠前，通常是以简单题形式出现，因此在本讲复习中要注重三角知识的基础性，特别是要熟练掌握三角函数的定义、三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调性、奇偶、最值、对称、图象平移及变换等)3.三角函数是每年高考的必考内容，多数为基础题，难度属中档偏易这几年的高考加强了对三角函数定义、图象和性质的考查在这一讲复习中要重视解三角函数题的一些特殊方法，如函数法、待定系数法、数形结合法等1.函数y2sin2x41 是最小正周期为_的_(填“奇”或“偶”)函数答案：奇解析：y cos2x2 sin2x.2.函数 f(x)lgxsinx 的零点个数为 _答案：3解析：在(0，)内作出函数ylgx、ysinx 的图象，即可得到答案三角函数高考题及练习题(含答案)2/13 3.函数 y2sin(3x)，|2的一条对称轴为x12，则 _答案：4解析：由已知可得312 k2，kZ，即 k4，kZ.因为|2，所以 4.4.若 f(x)2sinx(0 1)在区间0，3上的最大值是2，则 _答案：34解析：由 0 x3，得 0 x 33，则 f(x)在0，3上单调递增，且在这个区间上的最大值是2，所以 2sin 32，且 0 30，0)的部分图象如图所示(1)求 f(0)的值；(2)若 00)，所得函数的图象关于直线x178对称(1)求 m 的最小值；(2)证明：当 x178，158时，经过函数f(x)图象上任意两点的直线的斜率恒为负数；(3)设 x1，x2(0，)，x1x2，且 f(x1)f(x2)1，求 x1x2的值(1)解：f(x)sin2x2sinxcosx 3cos2x1cos2x2 sin2x 31cos2x2cos2x sin2x22cos2x42.因为将 f(x)的图象沿x 轴向左平移m 个单位(m0)，得到 g(x)22（xm）42三角函数高考题及练习题(含答案)6/13 的图象，又g(x)的图象关于直线x178对称，所以 2178m 4 k，即 m（2k9）4(kZ)因为 m0，所以 m 的最小值为4.(2)证明：因 为x178，158，所以4 2x 4 72，所 以f(x)在178，158上是减函数所以当x1、x2178，158，且x1f(x2)，从而经过任意两点(x1，f(x1)和(x2，f(x2)的直线的斜率kf（x1）f（x2）x1x20.(1)若 yf(x)在 4，23上单调递增，求的取值范围；(2)令 2，将函数yf(x)的图象向左平移6个单位，再向上平移1 个单位，得到函数 yg(x)的图象，区间 a，b(a，b R 且 a0，根据题意有42232034.(2)f(x)2sin2x，g(x)2sin2 x6 12sin2x31，g(x)0sin2x3三角函数高考题及练习题(含答案)7/13 12xk3或 xk712，k Z,即 g(x)的零点相邻间隔依次为3和23，故若yg(x)在a，b上至少含有30 个零点，则b a的最小值为1423 153433.已知函数f(x)3sin(x)cos(x)(0 0)为偶函数，且函数yf(x)图象的两相邻对称轴间的距离为2.(1)求 f8的值；(2)将函数yf(x)的图象向右平移6个单位后，得到函数yg(x)的图象，求函数g(x)的单调递减区间解：(1)f(x)3sin(x )cos(x )232sin（x ）12cos（x ）2sin x 6.因为 f(x)为偶函数，所以对xR，f(x)f(x)恒成立，因此 sin x 6sin x 6，即 sinxcos 6 cosxsin 6sinxcos(6)cosx sin 6，整理得 sinxcos 60.因为 0，且 xR，所以 cos 60.又 0，故 62.所以 f(x)2sinx 22cosx.由题意得222，所以 2，故 f(x)2cos2x，因此 f8 2cos42.(2)将 f(x)的图象向右平移6个单位后，得到fx6的图象，所以g(x)fx62cos 2 x62cos2x3.当 2k2x32k(kZ)，即 k6xk23(kZ)时，g(x)单调递减，因此g(x)的单调递减区间为k6，k23(kZ)题型四三角函数图象及性质、三角公式综合运用三角函数高考题及练习题(含答案)8/13 例 4 已知函数f(x)2sin24 x 3cos2x1，x R.(1)求 f(x)的最小正周期；(2)若 h(x)f(xt)的图象关于点6，0 对称，且t(0，)，求 t 的值；(3)当 x4，2时，不等式|f(x)m|0，0，|)，在同一周期内，当x12时，f(x)取得最大值3；当 x712时，f(x)取得最小值 3.(1)求函数 f(x)的解析式；(2)求函数 f(x)的单调递减区间；(3)若 x3，6时，函数h(x)2f(x)1m 有两个零点，求实数m 的取值范围解：(1)由题意，A3，T271212，2T2.由 212 22k得 32k，kZ.又 ，3，f(x)3sin2x3.(2)由22k2x3322k，得6 2k2x762k，即12kx712k，kZ.三角函数高考题及练习题(含答案)9/13 函数 f(x)的单调递减区间为12 k，712k，kZ.(3)由题意知，方程sin 2x3m16在 3，6上有两个根 x 3，6，2x3 3，23.m16 32，1，m133，7)1.(2013江西卷)设 f(x)3sin3xcos3x，若对任意实数x 都有|f(x)|a，则实数a 的取值范围是 _答案：a2解析：f(x)3sin3xcos3x2sin3x6，|f(x)|2，所以 a 2.2.(2013天津卷)函数 f(x)sin 2x4在区间0，2上的最小值是_答案：223.(2013全国卷)函数 ycos(2x)(0，0)若 f(x)在区间6，2上具有单调性，且f2f23 f6，则 f(x)的最小正周期为_答案：解析：由 f(x)在区间6，2上具有单调性，f2 f6知，函数 f(x)的对称中心为3，0，函数 f(x)的对称轴为直线x12223712，设函数 f(x)的最小正周期为T，所以12T26，即 T23，所以7123T4，解得 T.5.(2014福建卷)已知函数 f(x)cosx(sinxcosx)12.三角函数高考题及练习题(含答案)10/13(1)若 02，且 sin22，求 f()的值；(2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间解：(解法 1)(1)因为 02，sin22，所以 cos22.所以 f()2222221212.(2)因为f(x)sinxcosx cos2x 1212sin2x 1cos2x21212sin2x 12cos2x22sin 2x4，所以T22.由 2k22x42k2，kZ，得 k38xk8，kZ.所以 f(x)的单调递增区间为k38，k8，k Z.(解 法2)f(x)sinxcosx cos2x 1212sin2x1cos2x21212sin2x 12cos2x22sin 2x4.(1)因为 00，函数 f(x)asinxcosxsinxcosx，x0，2的最大值为G(A)(1)设 tsinxcosx，x 0，2，求 t 的取值范围，并把f(x)表示为 t 的函数 m(t)；(2)求 G(A)解：(1)tsinxcosx2sinx4.x0，2，x44，34，22sinx41，1t2，即 t 的取值范围为 1，2(3 分)(另解：x 0，2，tsinxcosx1sin2x.由 2x 0，得 0sin2x1，1t2)tsinxcosx，sinxcosxt212，(5 分)m(t)at212t12at2t12a，t1，2，a0.(7 分)(2)由二次函数的图象与性质得：当1a2(21)时，G(A)m(2)12a2；(10 分)当1a122，即 02（21），2，0a2（21）.(14 分)三角函数高考题及练习题(含答案)12/13 1.若4x2，则函数ytan2xtan3x 的最大值为 _答案：8 解析：令 tanxt(1，)，y2t41t2，y(t)4t3（t2）（t2）（1t2）2，得 t2时y 取最大值 8.2.已知函数f(x)2cos2xsin2x，求：(1)f3的值；(2)f(x)的最大值和最小值解：(1)f32cos23sin23 13414.(2)f(x)2(2cos2x1)(1cos2x)3cos2x1，xR.因为 cosx1，1，所以当 cosx 1 时，f(x)取最大值2；当 cosx0 时，f(x)取最小值 1.3.已知 A 为 ABC 的内角，求ycos2Acos223 A 的取值范围解：ycos2Acos223A 1 cos2A21cos223A21cos2A212cos43cos2Asin43sin2A11212cos2A32sin2A 112cos 2A 3.A 为三角形内角，0A，1cos2A31，ycos2Acos223A 的取值范围是 12，324.设函数 f(x)cos2x4tsinx2cosx24t3t23t4，xR，其中|t|1，将 f(x)的最小值记为 g(t)(1)求 g(t)的表达式；(2)讨论 g(t)在区间(1，1)内的单调性并求极值解：(1)f(x)cos2x4tsinx2cosx24t3t23t 4三角函数高考题及练习题(含答案)13/13 sin2x2tsinx4t3 t23t3(sinxt)24t33t3.由于(sinxt)20，|t|1，故当 sinxt 时，f(x)达到其最小值g(t)，即 g(t)4t33t3.(2)g(t)12t233(2t1)(2t1)，1t1.列表如下：t 1，121212，121212，1g(t)0 0 g(t)极大值极小值由此可见，g(t)在区间1，12和12，1 上单调增，在区间12，12上单调减，极小值为 g122，极大值为g 124.