(最新资料)浙江省2020届高三第一次联考试题数学【含解析】.pdf

浙江省 2020 届高三第一次联考试题数学一、选择题1.已知集合|(3)(1)0Axxx，1|1Bx x，则RC AB（）A.1,0)(2,3B.(2,3C.(,0)(2,)D.(1,0)(2,3)【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式和绝对值不等式，化简集合A，B利用集合的交、补运算求得结果.【详解】因为集合|(3)(1)0Axxx，1|1Bxx，所以|3Ax x或1x，|2Bx x或0 x，所以|13RC Axx，所以RC AB|23xx或10 x，故选 A.【点睛】本题考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法，考查集合的交、补运算.2.已知双曲线22:193xyC，则C的离心率为（）A.32B.3C.2 33D.2【答案】C【解析】【分析】由双曲线的方程得229,3ab，又根据222cab，可得,a c的值再代入离心率公式.【详解】由双曲线的方程得229,3ab，又根据2229312cab，解得：3,2 3ac，所以2 33cea，故选 C.【点睛】本题考查离心率求法，考查基本运算能力.3.已知,a b是不同的直线，是不同的平面，若a，b，/a，则下列命题中正确的是（）A.bB./bC.D./【答案】C【解析】【分析】构造长方体中的线、面与直线,a b相对应，从而直观地发现成立，其它情况均不成立.【详解】如图在长方体1111ABCDA B C D中，令平面为底面ABCD，平面为平面11BCC B，直线a为1AA若直线AB为直线b，此时b，且，故排除 A,B,D；因为a，/a，所以内存在与a平行的直线，且该直线也垂直，由面面垂直的判定定理得：，故选 C.【点睛】本题考查空间中线、面位置关系，考查空间想象能力，求解时要排除某个答案必需能举出反例加以说明.4.已知实数,x y满足312(1)xxyyx，则2zxy的最大值为（）A.11 B.10 C.6 D.4【答案】B【解析】【分析】画出约束条件所表示的可行域，根据目标函数2zxy的几何意义，当直线2yxz在y轴上的截距达到最大时，z取得最大值，观察可行域，确定最优解的点坐标，代入目标函数求得最值.【详解】画出约束条件312(1)xxyyx所表示的可行域，如图所示，根据目标函数2zxy的几何意义，当直线2yxz在y轴上的截距达到最大时，z取得最大值，当直线过点(3,4)A时，其截距最大，所以max23410z，故选 B.【点睛】本题考查线性规划，利用目标函数的几何意义，当直线2yxz在y轴上的截距达到最大时，z取得最大值，考查数形结合思想的应用.5.已知圆C的方程为22(3)1xy，若y轴上存在一点A，使得以A为圆心、半径为3 的圆与圆C有公共点，则A的纵坐标可以是（）A.1 B.3 C.5 D.-7【答案】A【解析】【分析】设0(0,)Ay，以A为圆心、半径为3 的圆与圆C有公共点，可得圆心距大于半径差的绝对值，同时小于半径之和，从而得到077y.【详解】设0(0,)Ay，两圆的圆心距2203dy，因为以A为圆心、半径为3 的圆与圆C有公共点，所以220313 1234dy，解得077y，选项 B、C、D不合题意，故选A.【点睛】本题考查两圆相交的位置关系，利用代数法列出两圆相交的不等式，解不等式求得圆心纵坐标的范围，从而得到圆心纵坐标的可能值，考查用代数方法解决几何问题.6.已知函数221,0()log,0 xxf xxx，若1f a，则实数a的取值范围是（）A.(42,)B.1,2C.4,0)(0,2D.4,2【答案】D【解析】【分析】不等式1f a等价于0,211,aa或20,log1,aa分别解不等式组后，取并集可求得a的取值范围.【详解】1f a0,21 1,aa或20,log1,aa，解得：40a或02a，即4,2a，故选 D.【点睛】本题考查与分段函数有关的不等式，会对a进行分类讨论，使()f a取不同的解析式，从而将不等式转化为解绝对值不等式和对数不等式.7.已知函数()ln(|)cosf xxx，以下哪个是()f x 的图象（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由2x时的函数值，排除C,D；由2x的函数值和322x函数值的正负可排除A.【详解】当2x时，(2)ln 20f排除 C,D，当2x时，()02f，当322x时，ln0,cos0 xx，所以()0fx排除 A,故选 B.【点睛】本题考查通过研究函数解析式，选择函数对应的解析式，注意利用特殊值进行检验，考查数形结合思想的运用.8.在矩形ABCD中，4AB，3AD，E为边AD上的一点，1DE，现将ABE沿直线BE折成A BE，使得点A在平面BCDE上的射影在四边形BCDE内（不含边界），设二面角ABEC的大小为，直线A B，A C与平面BCDE所成的角分别为,，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由折叠前后图象的对比得点A在面BCDE内的射影O在线段 OF 上，利用二面角、线面有的定义，求出tan,tan,tan的表达式，再进行大小比较.【详解】如图所示，在矩形ABCD中，过A作AFBE交于点O，将ABE沿直线BE折成A BE，则点A在面BCDE内的射影O在线段 OF 上，设A到平面BCDE上的距离为h，则hAO，由二面角、线面角的定义得：tanhOO，tanhO B，tanhO C，显然,O OO B O OO C，所以tan最大，所以最大，当O与O重合时，max(tan)hOB，min(tan)hOC，因为hOBhOC，所以max(tan)min(tan)，则tantan，所以，所以，故选 D.【点睛】本题以折叠问题为背景，考查二面角、线面角大小比较，本质考查角的定义和正切函数的定义，考查空间想象能力和运算求解能力.9.已知函数2()(,R)f xxaxb a b有两个零点，则“20ab”是“函数()f x 至少有一个零点属于区间02，”的一个（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】函数2()(,R)fxxaxb a b有两个零点，所以判别式240ab，再从函数在02，上的零点个数得出相应条件，从而解出a b的范围.【详解】函数2()(,R)f xxaxb a b有两个零点，所以判别式240ab，函数()f x 至少有一个零点属于区间02，分为两种情况：（1）函数()f x 在区间02，上只有一个零点0,(0)(2)0,ff2222(0)(2)(42)2424ffbabbabbbababa22()40abba，即22()4abab又因为240ab，所以，2244ababab；（2）函数()f x 在02，上有 2 个零点0,(0)0,(2)420,02,2fbfaba解得：20ab；综上所述“函数()f x 至少有一个零点属于区间02，”20ab或2244ababab，所以20ab20ab或2244ababab，而后面推不出前面（前面是后面的子集），所以“20ab”是“函数()f x 至少有一个零点属于区间02，”的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题考查二次函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查推理能力与计算能力，属于基础题.10.已知数列na满足：1102a，1ln 2nnnaaa则下列说法正确的是（）A.2019102aB.2019112aC.2019312aD.2019322a【答案】B【解析】分析】考察函数()ln(2)(02)f xxxx，则11()1022xfxxx先根据单调性可得1na，再利用单调性可得1231012naaaa.【详解】考察函数()ln(2)(02)f xxxx，由11()1022xfxxx可得()f x0,1单调递增，由()0fx可得()f x 在1,2单调递减且()11f xf，可得1na，数列na为单调递增数列，如图所示：且1(0)ln 2ln4ln2fe，211()(0)2af af，图象可得1231012naaaa，所以2019112a，故选 B.【点睛】本题考查数列通项的取值范围，由于数列是离散的函数，所以从函数的角度来研究数列问题，能使解题思路更简洁，更容易看出问题的本质，考查数形结合思想和函数思想.二、填空题11.复数2(1)1izi（i为虚数单位），则z的虚部为 _，|z_.【答案】(1).-1 (2).2【解析】【分析】复数 z 进行四则运算化简得1iz，利用复数虚部概念及模的定义得虚部为1，模为2.【详解】因为2(1)2(1)11(1)(1)iiiziiii，所以 z的虚部为1，22|(1)12z，故填：1;2.【点睛】本题考查复数的四则运算及虚部、模的概念，考查基本运算能力.12.某几何体的三视图为如图所示的三个正方形（单位：cm），则该几何体的体积为_3cm，表面积为_2cm.【答案】(1).233 (2).23【解析】【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积与表面积.【详解】由题意可知几何体为正方体去掉一个三棱锥的多面体，如图所示：正方体的棱长为2，去掉的三棱锥的底面是等腰直角三角形，直角边长为1，棱锥的高为2，所以多面体的体积为：11232221 1 23233cm，表面积为：2212116222(5)()1 12122322222cm【点睛】本题考查几何体的三视图的应用，几何体的体积与表面积的求法，考查空间想象能力和运算求解能力.13.若7280128(2)(21)xxaa xa xa x，则0a_，2a_.【答案】(1).2 (2).154【解析】【分析】令0 x得：02a，求出两种情况下得到2x项的系数，再相加得到答案.【详解】令0 x得：02a，展开式中含2x项为：（1）当(2)x出x，7(21)x出含x项，即1617(2)(1)Tx Cx；（2）当(2)x出2，7(21)x出含2x项，即225272(2)(1)TCx；所以2a1277224(1)154CC，故填：2；154.【点睛】本题考查二项式定理展开式中特定项的系数，考查逻辑推理和运算求解，注意利用二项式定理展开式中，项的生成原理进行求解.14.在ABC中，90ACB，点,D E分别在线段,BC AB上,36ACBCBD，60EDC，则BE_，cos CED_.【答案】(1).3 26 (2).22【解析】【分析】在BDE中利用正弦定理直接求出BE，然后在CEB中用余弦定理求出CE，再用余弦定理求出cosCEB，进一步得到cos CED的值.【详解】如图ABC中，因为60EDC，所以120EDB，所以sinsinBEBDEDBBED，即2sin120sin15BE，解得：333 26sin15232 12222BE，在CEB中，由余弦定理，可得：2222cosCEBECBBE CBB2246 2(42 2)，所以42 2CE，所以2221cos22CEBECBCEBCE BE，CEB60,CEDCEBBED45，所以2cos2CED，故答案为3 26；22.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理在三角形中的运用，求解过程中注意把相关的量标在同一个三角形中，然后利用正、余弦定理列方程，考查方程思想的应用.15.某高三班级上午安排五节课（语文，数学，英语，物理，体育），要求语文与英语不能相邻、体育不能排在第一节，则不同的排法总数是_（用数字作答）【答案】60【解析】【分析】先求出体育不能排在第一节的所有情况，从中减去体育不能排在第一节，且语文与英语相邻的情况，即为所求.【详解】体育不能排在第一节，则从其他4 门课中选一门排在第一节，其余的课任意排，它的所有可能共有144496AA种.其中，体育不能排在第一节，若语文与英语相邻，则把语文与英语当做一节，方法有22A种，则上午相当于排4 节课，它的情况有：13233236AAA种.故语文与英语不能相邻，体育不能排在第一节，则所有方法有963660种.【点睛】本题考查用间接法解决分类计数原理问题，以及特殊元素特殊处理，属于中档题.16.已知,A B是抛物线24yx上的两点，F是焦点，直线,AF BF的倾斜角互补，记,AF AB的斜率分别为1k,2k，则222111kk_.【答案】1【解析】【分析】设1122(,),(,)A xyB xy，由抛物线的对称性知点22(,)xy在直线AF上，直线1:(1)AFyk x代入24yx得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理得到12,k k的关系，从而求得222111kk的值.【详解】设1122(,),(,)A xyB xy，由抛物线的对称性知点22(,)xy在直线AF上，直线1:(1)AFyk x代入24yx得：2222111(24)0k xkxk，所以2112211224,1,kxxkx x，因为2221122221121121 22412yykkkxxkxxxxx x，所以212222211111111kkkkk，故填：1.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，会用坐标法思想把所要求解的问题转化成坐标运算，使几何问题代数化求解.17.已知非零平面向量,a b不共线，且满足24a ba，记3144cab，当,b c的夹角取得最大值时，|ab的值为 _【答案】4【解析】【分析】先建系，再结合平面向量数量积的坐标及基本不等式的应用求出向量b，进而通过运算求得|ab的值.【详解】由非零平面向量,a b不共线，且满足24a ba，建立如图所示的平面直角坐标系：则(2,0),(2,),0ABb b，则(2,0),(2,)abb，由3144cab，则(2,)4bC，则直线,OB OC的斜率分别为,2 8b b，由两直线的夹角公式可得：33328tanBOC848122822bbbbbbbb，当且仅当82bb，即4b时取等号，此时(2,4)B，则(0,4)ab，所以|4ab，故填：4.【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算及基本不等式求最值的运用，考查转化与化归思想，在使用基本不等式时，注意等号成立的条件.三、解答题18.已知函数2()cos3sincosfxxxx（1）求3f的值；（2）若13,0,2103f，求cos的值.【答案】(1)1；(2)3 34cos10【解析】【分析】（1）利用倍角公式、辅助角公式化简1()sin 226f xx，再把3x代入求值；（2）由13,0,2103f，43sin,cos6565，利用角的配凑法得：66，再利用两角差的余弦公式得3 34cos10.【详解】解:（1）因为21 cos231()cos3sincossin2sin 22226xf xxxxxx，所以121511sinsin132362622f.（2）由13,0,2103f得43sin,cos6565，3 34coscoscoscossinsin66666610【点睛】本题考查三角恒等变换中的倍角公式、辅助角公式、两角差的余弦公式等，考查角的配凑法，考查运算求解能力.19.在三棱柱111ABCA B C中，底面ABC是等腰三角形，且90ABC，侧面11ABB A是菱形，160BAA，平面11ABB A平面BAC，点M是1AA的中点（1）求证：1BBCM；（2）求直线BM与平面1CB M所成角的正弦值【答案】(1)证明见解析；(2)105【解析】【分析】（1）证明直线1BB垂直CM所在的平面BCM，从而证明1BBCM；（2）以A为原点，BC为 x 轴正方向，AB为y轴正方向，垂直平面ABC向上为z轴正方向建立平面直角坐标系，设2AB，线面角为，可得面1B MC的一个法向量(23,3,5)n，330,22BM，代入公式sin|cos,|n BM进行求值.【详解】（1）证明：在Rt ABC中，B 是直角，即BCAB，平面ABC平面11AA B B，平面ABC平面11AA B BAB，BC平面ABC，BC平面11AAB BAB，1BCB B.在菱形11AA B B中，160A AB，连接BM，1A B则1A AB是正三角形，点M是1AA中点，1AABM.又11/AAB B，1BBBM.又BMBCB，1BB平面BMC1BBMC.（2）作1BGMB于G，连结 CG 由（1）知 BC 平面11AAB B，得到1BCMB，又1BGMB，且BCBGB，所以1MB平面BCG.又因为1MB平面1CMB，所以1CMBBCG，又平面1CMB平面BCGCG,作BHCG于点H，则BH平面1CMB，则BMH即为所求线面角设 2ABBC，由已知得12 21302,3,75BBBMBGBH，30105sin53BHBMHBM，则BM与平面1CB M所成角的正弦值为105【点睛】本题考查空间中线面垂直判定定理、求线面所成的角，考查空间想象能力和运算求解能力.20.已知数列na为等差数列，nS是数列na的前n项和，且55a，36Sa，数列nb满足1 122(22)2nnna ba ba bnb（1）求数列na，nb的通项公式；（2）令*,nnnacnNb，证明：122nccc【答案】(1)nan.2nnb.(2)证明见解析【解析】【分析】（1）利用55a，36Sa得到关于1,a d的方程，得到nan；利用临差法得到12nnbb，得到nb是等比数列，从而有2nnb；（2）利用借位相减法得到12111121222222nnnnn，易证得不等式成立.【详解】（1）设等差数列na的公差为d，11145335adadad，解得111ad，数列na的通项公式为nan.122(22)2nnbbnbnb，当2n时，12112(1)(24)2nnbbnbnb11(24)(2)2nnnnbnbnbb，即nb是等比数列，且12b，2q，2nnb.（2）2nnnnancb，记121212222nnnSccc，则1212321222nnS，1211112212222222nnnnnSSS【点睛】本题考查数列通项公式、前n项和公式等知识的运用，考查临差法、错位相减法的运用，考查运算求解能力.21.已知抛物线24xy，F为其焦点，椭圆22221(0)xyabab，1F，2F为其左右焦点，离心率12e，过F作x轴的平行线交椭圆于,P Q两点，46|3PQ.（1）求椭圆的标准方程；（2）过抛物线上一点A作切线l交椭圆于,B C两点，设l与x轴的交点为D，BC的中点为E，BC的中垂线交x轴为K，KED，FOD的面积分别记为1S，2S，若121849SS，且点A在第一象限求点A的坐标【答案】(1)22143xy.(2)2,1【解析】【分析】（1）由题设可知2 6,13P，又12e，把,a b均用c表示，并把点2 6,13P代入标圆方程，求得1c；（2）根据导数的几可意义求得直线BC的方程，根据韦达定理及中点坐标公式求得点E的坐标，求得中垂线方程，即可求得K点坐标，根据三角形面积公式，即可求得点A坐标.【详解】（1）不妨设P在第一象限，由题可知2 6,13P，228113ab，又12e，22811123cc，可得1c，椭圆的方程为22143xy.（2）设200,4xA x则切线l的方程为20024xxyx代入椭圆方程得：422300031204xxxx x，设112233,B x yC xyE xy，则3012320223xxxxx，22000332032443xxxyxx，KE的方程为230022000324323xxyxxxx，即20200243xyxxx，令0y得302083Kxxx，在直线l方程中令0y得02Dxx，222004124xxFD23000022003428383xxxxDKxx，002,2FDBCxkkx，1FDBCkk，FDBC，DEKFOD，22200122220941849163xxSDKSFDx.化简得2200177240 xx，02x（02x舍去）A的坐标为2,1.422300031204xxxx x，46242000004 31234814404xxxxx，因为20084 7x，故此解符合题意【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理、中点坐标公式、三角形的面积公式，考查逻辑推理和运算求解能力.22.设a为实常数，函数2(),(),xf xaxg xexR（1）当12ae时，求()()()h xf xg x的单调区间；（2）设mN，不等式(2)()fxg xm的解集为A，不等式()(2)f xgxm的解集为B，当01a，时，是否存在正整数m，使得AB或BA成立若存在，试找出所有的m；若不存在，请说明理由【答案】(1)()h x在,1上单调递减，在1,上单调递增(2)存在，1m【解析】【分析】（1）当12ae时得21()2xh xxee，求导后发现()h x在R上单调递增，且(1)0h，从而得到原函数的单调区间；（2）令2()(2)()4xF xfxg xaxe，22()()(2)xG xf xgxaxe，利用导数和零点存在定理知存在120 xx，使得12F xF xm，再对m分1m和1m两种情况进行讨论.【详解】解:（1）21()2xh xxee，1()xhxxee，()h x在R上单调递增，且(1)0h，()h x在,1上负,在1,上正，故()h x在,1上单调递减，在1,上单调递增（2）设2()(2)()4xF xfxg xaxe，22()()(2)xG xfxgxaxe()8xFxaxe，()80 xFxae，()Fx单调递增又(0)0F，111202aF（也可依据lim()0 xFx），存在00 x使得00Fx，故()F x在0,x上单调递减，在0,x上单调递增又对于任意*mN存在lnxm使得()F xm，又lim()xF x，且有0(0)1F xFm，由零点存在定理知存在120 xx，使得12F xF xm，故34,Bx x.222()()4xxF xG xaxeaxe，令2()xH xaxe，由0a知Hx在(,0)上单调递减，当0 x时，()()(2)()0F xG xHxH x又m1，3x和1x均在各自极值点左侧,结合F x单调性可知133F xmG xF x，310 xx当1m时，240 xx，AB成立，故1m符合题意当0 x时，2222()()33xxxxF xG xaxeexee，令1()2lnP tttt，则22(1)()0tP tt，当1t时，()(1)0P tP在上式中令2xte，可得当0 x时，有22xxeex成立，322xxxeexe令()2tQ tet，则()2tQ te，()(ln2)22ln20Q tQ，2xe恒成立.故有32223xxxeexex成立，知当0 x时，()()0F xG x又()F x，()G x在0,上单调递增，当1m时，244F xmG xF x，240 xx，而310 xx，此时AB和BA均不成立.综上可得存在1m符合题意.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、零点存在定理，特别要注意使用零点存在定理判断零点的存在性，要注意说明端点值的正负.同时，对本题对构造法的考查比较深入，对逻辑推理、运算求解的能力要求较高，属于难题.