14年北京海淀区高三数学一模(理)含答案.pdf
海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科）2014.4 本试卷共4 页，150 分。考试时长120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合211,2,2ABy yxxAABI集合则A.21B.2C.1D.2.复数1 i1iz在复平面内对应的点的坐标为A.(1,0)B.(0,2)C.1,0D.(2,0)3.下列函数()f x图象中，满足1()(3)(2)4fff的只可能是A B C D 4.已知直线l的参数方程为1,1xtyt(t为参数)，则直线l的普通方程为A.02yxB.02yxC.0 xyD.02yx5.在数列na中，“12,2,3,4,nnaanL”是“na是公比为2 的等比数列”的A充分不必要条件B必要不充分条件1xyO1xyOxyOxyO1C充要条件D既不充分也不必要条件6.小明有 4 枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面.他想把 4 个硬币摆成一摞,且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对,不同的摆法有A.4 种B.5 种C.6 种D.9 种7.某购物网站在2013 年 11 月开展“全场 6 折”促销活动，在 11 日当天购物还可以再享受“每张订单金额（6 折后）满 300 元时可减免100 元”.某人在 11 日当天欲购入原价48 元（单价）的商品共42 件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为A.1 B.2C.3 D.4 8.已知(1,0)A，点B在曲线:Gln(1)yx上，若线段AB与曲线:M1yx相交且交点恰为线段AB的中点，则称B为曲线G关于曲线M的一个关联点.记曲线G关于曲线M的关联点的个数为a，则A0aB1aC2aD2a二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.9.一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为_.10.函数2yxx的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积等于_.11.如图，AB切圆O于B，3AB，1AC，则AO的长为 _12.已知圆04122mxyx与抛物线24yx的准线相切，则m_13.如图，已知ABC中，30BADo，45CADo，3,2ABAC，则BDDC_.14.已知向量序列：123,na aaaLL满足如下条件：ABDC33846俯视图主视图侧视图COBA1|4|2ad，121ad且1nnaad（2,3,4,nL）.若10kaa，则k_；123|,|,|,|,naaaaLL中第 _项最小.三、解答题:本大题共 6 小题,共 80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13 分）已知函数()2sincos66f xxx，过两点(,(),(1,(1)A t f tB tf t的直线的斜率记为()g t.（）求(0)g的值；（II）写出函数()g t的解析式，求()g t在3 3,2 2上的取值范围.16.（本小题满分13 分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30 天）的快递件数记录结果中随机抽取 10 天的数据，制表如下：甲公司某员工A乙公司某员工B3 9 6 5 8 3 3 2 3 4 6 6 6 7 7 0 1 4 4 2 2 2 每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5 元；乙公司规定每天35 件以内（含35 件）的部分每件4 元，超出35 件的部分每件7 元.（）根据表中数据写出甲公司员工A 在这 10 天投递的快递件数的平均数和众数；（）为了解乙公司员工B 的每天所得劳务费的情况，从这10 天中随机抽取1 天，他所得的劳务费记为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.17.（本小题满分14分）如图 1，在 Rt ABC中，ACB=30，ABC=90，D为AC中点，AEBD于E，延长AE交BC于F，将ABD沿BD折起，使平面 ABD平面 BCD，如图 2所示.（）求证：AE平面 BCD；（）求二面角A DC B 的余弦值（）在线段AF上是否存在点M使得/EM平面ADC？FEDABCAD若存在,请指明点M的位置；若不存在，请说明理由.18.（本小题满分13分）已知曲线:eaxCy.()若曲线 C 在点(0,1)处的切线为2yxm，求实数a和m的值；()对任意实数a，曲线C总在直线l:yaxb的上方，求实数b的取值范围.19.（本小题满分14 分）已知,A B是椭圆22:239Cxy上两点，点M 的坐标为(1,0).（）当,A B两点关于x轴对称，且MAB为等边三角形时，求AB的长；（）当,A B两点不关于x轴对称时，证明：MAB不可能为等边三角形.20.（本小题满分13 分）在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）()A n：123,nAAAAL与()B n：123,nB BBBL，其中3n，若同时满足：两点列的起点和终点分别相同；线段11iiiiA AB B，其中1,2,3,1inL，则称()A n与()B n互为 正交点列.（）求(3)A：123(0,2),(3,0),(5,2)AAA的正交点列(3)B；1图图 2（）判断(4)A：12340,0),3,1),6,0)(,9,1)(AAAA是否存在正交点列(4)B？并说明理由；（）5nn，N，是否都存在无正交点列的有序整点列()A n？并证明你的结论.海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数学（理科）2014.4 阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。一、选择题：本大题共8 小题,每小题 5 分,共 40 分.1.C 2.D 3.D 4.A 5.B 6.B 7.C 8.B 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.9.96 10.1611.2 12.3413.3 2414.9；3(本题第一空3 分，第二空2分)三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.15解：（）()sin3f xx-2分(1)(0)(0)1ffg-3分3sinsin 032.-5分（）(1)()()sin()sin1333f tf tg ttttt-6分sincoscossinsin33333ttt-7分13sincos2323tt-8分sin()33t-10分因为3 3,2 2t，所以5,3366t，-11分所以1sin()1,332t，-12分所以()g t在3 3,2 2上的取值范围是1,12-13分16.解：（）甲公司员工A 投递快递件数的平均数为36，众数为33.-2分（）设a为乙公司员工B 投递件数，则当a=34 时，X=136 元，当a35 时，354(35)7Xa元，X的可能取值为136,147,154,189,203-4分说明：X 取值都对给4 分，若计算有错，在4 分基础上错1 个扣 1 分，4 分扣完为止 X的分布列为：X136 147 154 189 203 P110310210310110-9分说明：每个概率值给1 分，不化简不扣分，随机变量值计算错误的此处不再重复扣分 13231()1361471541892031010101010E X1655=165.5()10元-11分（）根据图中数据，可估算甲公司被抽取员工该月收入4860 元，乙公司被抽取员工该月收入4965元.-13分17（）因为平面ABD平面BCD，交线为BD，又在ABD中，AEBD于E，AE平面ABD所以AE平面BCD.-3分（）由（）结论AE平面BCD可得AEEF.由题意可知EFBD，又AEBD.yzxEBCA1DF如图，以E为坐标原点，分别以,EF ED EA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Exyz-4分不妨设2ABBDDCAD，则1BEED.由图 1 条件计算得，3AE，2 3BC，33BF则3(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),(0,0,3),(,0,0),(3,2,0)3EDBAFC-5 分(3,1,0),(0,1,3)DCADu uu ru uu r.由AE平面BCD可知平面 DCB 的法向量为EAu uu r.-6分设平面ADC的法向量为(,)x y zn，则0,0.DCADuuu ru uu rnn即30,30.xyyz令1z，则3,1yx，所以(1,3,1)n.-8分平面 DCB 的法向量为EAu u u r所以5cos,5|EAEAEAnnnuu u ruu u ruu u r，所以二面角ADCB的余弦值为55-9分（）设AMAFuuuu ruu u r，其中0,1.由于3(,0,3)3AFu uu r，所以3(,0,3)3AMAFu uu u ruu u r，其中0,1-10分所以3,0,(1)33EMEAAMuuu u ruu u ruuuu r-11分由0EMuuu u rn，即3303-(1-）-12分解得3=(0,1)4.-13分所以在线段AF上存在点M使EMADCu uu u r平面，且34AMAF.-14分18解（）eaxya，-2分因为曲线C 在点（0，1）处的切线为L：2yxm，所以12 0m且0|2xy.-4分解得1m，2a-5分（）法1：对于任意实数a，曲线 C 总在直线的yaxb的上方，等价于?x,aR，都有eaxaxb，即?x,aR，e0axaxb恒成立，-6分令()eaxg xaxb，-7分若 a=0，则()1g xb，所以实数b 的取值范围是1b；-8分若0a,()(e1)axg xa，由()0g x得0 x，-9分(),()gx g x的情况如下：x0（-,）0（0,+）()gx0+()g x极小值Z-11分所以()g x的最小值为(0)1gb，-12分所以实数b 的取值范围是1b；综上，实数b 的取值范围是1b-13分法 2：对于任意实数a，曲线 C 总在直线的yaxb的上方，等价于?x,aR，都有eaxaxb，即?x,aR，eaxbax恒成立，-6分令tax，则等价于?tR，etbt恒成立，令()etg tt，则()e1tg t，-7分由()0g t得0t，-9分(),()g tg t的情况如下：t0（-,）0（0,+）()g t0+()g t极小值Z-11分所以()etg tt的最小值为(0)1g，-12分实数 b 的取值范围是1b-13分19解：（）设00(,)A xy,00(,)B xy，-1分因为ABM为等边三角形，所以003|1|3yx.-2分又点00(,)A xy在椭圆上，所以0022003|1|,3239,yxxy消去0y，-3分得到2003280 xx，解得02x或043x，-4分当02x时，2 3|3AB；当043x时，14 3|9AB.-5分说明：若少一种情况扣2分 （）法1：根据题意可知，直线AB斜率存在.设直线AB:ykxm，11(,)A xy，22(,)B xy，AB中点为00(,)N xy，联立22239,xyykxm消去y得222(23)6390kxkmxm，-6分由0得到222960mk-7分所以122623kmxxk,121224()223myyk xxmk，-8分所以2232(,)2323kmmNkk，又(1,0)M如果ABM为等边三角形，则有MNAB，-9分所以1MNkk，即2222313123mkkkmk，-10分化简2320kkm，-11分由得232kmk，代入得2222(32)23(32)0kkk，化简得2340k，不成立，-13分此步化简成42291880kkk或4291880kk或22(32)(34)0kk都给分 故ABM不能为等边三角形.-14 分法 2：设11(,)A x y，则2211239xy，且1 3,3x，所以222221111121|(1)(1)3(3)133MAxyxxx，-8分设22(,)B xy，同理可得221|(3)13MBx，且2 3,3x-9分因为21(3)13yx在 3,3上单调所以，有12xx|MAMB，-11分因为,A B不关于 x 轴对称，所以12xx.所以|MAMB，-13分所以ABM不可能为等边三角形.-14分20.解：（）设点列123(0,2),(3,0),(5,2)AAA的正交点列是123,BBB,由正交点列的定义可知13(0,2),(5,2)BB,设2(,)Bx y，1223(3,2),(2,2)u uuu ruu uu rA AA A，1223(,2)(5,2)u uuu ruuuu rB Bx yB Bxy，由正交点列的定义可知12120A AB Buuuu r u uu u r,23230A AB Buu uu r uuuu r,即32(2)0,2(5)2(2)0 xyxy解得25xy所以点列123(0,2),(3,0),(5,2)AAA的正交点列是123(0,2),(2,5),(5,2)BBB.-3分（）由题可得122334(3,1),(3,1)(3,1)A AA AA Auuuu ruuuu ruuu ur，设点列1234,B BBB是点列1234,A AAA的正交点列，则可设121232343(1,3),(1,3)(1,3)uu uu ru uuuru uuurB BB BB B，,123，Z因为1144,ABAB与与相同，所以有123123-+-=9,（1）3+3+3=1.（2）因为123，Z，方程（2）显然不成立，所以有序整点列12340,0),3,1),6,0)(,9,1)(AAAA不存在正交点列；-8分（）5nn，N，都存在整点列()A n无正交点列.-9分5nn，N，设1(,),iiiiAAa bu uuu ur其中,iia b是一对互质整数，1,2,3,1inL若有序整点列123,LnB BBB是点列123,nAAAAL正交点列,则1(,),1,2,3,1uuuuu rLiiiiiB Bb ain，则有11=1111=11,(1).(2)nniiiiinniiiiibaab当 n 为偶数时，取1,(0,0)A1,=3=,1,2,3,1-1Liiiabini为奇数，为偶数.由于123,LnBBBB是整点列，所以有iZ，1,2,3,1inL.等式（2）中左边是3 的倍数，右边等于1，等式不成立，所以该点列123,nAAAAL无正交点列；当 n 为奇数时，取1,(0,0)A11=3,2ab,1,=3=,2,3,1-1Liiiabini为奇数，为偶数,由于123,LnBBBB是整点列，所以有iZ，1,2,3,1inL.等式（2）中左边是3 的倍数，右边等于1，等式不成立，所以该点列123,nAAAAL无正交点列.综上所述，5nn，N，都不存在无正交点列的有序整数点列()A n-13分
