2015届高考数学总复习课时训练(基础过关能力训练)：第九章平面解析几何第10课时直线与圆锥曲线的综合.pdf

第九章平面解析几何第10 课时直线与圆锥曲线的综合应用(1)1.已知椭圆C：x2a2y2b21(ab0)，过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形，则椭圆的方程是_答案：x24y21 解析：由条件得2b2a1，2b a，即a2，b1，所以椭圆方程为x24y21.2.从抛物线y24x 上一点 P 引其准线的垂线，垂足为 M，设抛物线的焦点为F，且|PF|5，则 MPF 的面积为 _答案：10 解析：由题意，设 Py204，y0，则|PF|PM|y20415，所以 y0 4，则 S MPF12|PM|y0|10.3.过双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点F 作与 x 轴垂直的直线，分别与双曲线、双曲线的渐近线交于点M、N(均在第一象限内)，若 FM 4MN，则双曲线的离心率为_答案：53解析：由题意知F(c，0)，则易得M、N 的纵坐标分别为b2a、bca，由 FM4MN得b2a4bcab2a，即bc45.又 c2a2b2，则 eca53.4.直线 l 过抛物线yax2(a0)的焦点，并且与 y 轴垂直 若 l 被抛物线截得的线段长为4，则 a_答案：14解析：l 被抛物线截得的线段长，即为通径长1a，故1a4，即 a14.5.过抛物线y22x 的焦点作一条直线与抛物线交于A、B 两点，它们的横坐标之和等于 2，则这样的直线有_条答案：2 解析：设该抛物线焦点为F，则 AB AFFB xAp2 xBp2xAxB13 2p2.所以符合条件的直线有且仅有两条6.已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，过 F1作倾斜角为30的直线与椭圆有一个交点P，且 PF2x 轴，则此椭圆的离心率e_答案：33解析：在 Rt PF2F1中，PF1F230，|F1F2|2c，|PF1|2|PF2|，根据椭圆的定义得|PF2|23a，|PF1|43a.又|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即169a249a24c2，则 eca33.7.已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为 F(1，0)，过焦点 F 的直线 l 与抛物线 C 相交于 A、B 两点，若直线l 的倾斜角为45，则弦AB 的中点坐标为 _答案：(3，2)解析：依题意得，抛物线C 的方程是y24x，直线 l 的方程是yx1.由y24x，yx1消去 y，得(x1)24x，即 x26x10，因此线段AB 的中点的横坐标是623，纵坐标是y312，所以线段AB 的中点坐标是(3，2)8.过椭圆x2a2y2b21(ab0)的焦点且垂直于x 轴的弦长为a2，则双曲线x2a2y2b21 的离心率 e_答案：52解析：由题意，得 2b2aa2，即 a2b，则在双曲线中，c2a2b25b2，所以 eca5b2b52.9.已知直线ya 交抛物线yx2于 A、B 两点，若该抛物线上存在点C，使得 ACB为直角，则 a 的取值范围是多少解：设存在点 C(x0，y0)，y0 x20，A(a，a)，B(a，a)(a0)，kAC kBCy0 ax0ay0ax0a（y0 a）2x20ay0a 1，a1y01.10.已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率为22，椭圆上任意一点到右焦点F 的距离的最大值为21.(1)求椭圆的方程；(2)已知点 C(m，0)是线段 OF 上一个动点(O 为坐标原点)，是否存在过点F 且与 x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于A、B 点，使得ACBC？并说明理由解：(1)eca22，a c21，a2，c 1，b 1，椭圆的方程为x22y21.(2)由(1)得 F(1，0)，0m1.假设存在满足题意的直线l，设 l 的方程为yk(x 1)，代入x22y21 中，得(2k2 1)x24k2x2k220.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1 x24k22k21，x1x22k2 22k2 1，y1y2k(x1x22)2k2k21.设 AB 的中点为M，则 M2k22k2 1，k2k21.ACBC，CM AB，即 kCM kAB 1，k2k2 1m2k22k2 1 k 1，即(12m)k2m.当 0m12时，k m12m，即存在满足题意的直线l；当12m 1时，k 不存在，即不存在满足题意的直线l.11.如图，在直角坐标系xOy 中，已知椭圆C：x24y231 上一点 P 1，32，过点 P的直线 l1、l2与椭圆 C 分别交于A、B(不同于 P)，且它们的斜率k1、k2满足 k1k234.(1)求证：直线AB 过定点；(2)求 PAB 面积的最大值(1)证明：(证法 1)设直线l1的方程为yk1(x1)32，联立yk1（x1）32，x24y231，得(34k21)x2(12k18k21)x4k2112k130，解得x1 或 x4k2112k1334k21，即点A 的坐标为4k21 12k1334k21，12k2112k192（34k21）.同理点B 的坐标为4k2212k2334k22，12k2212k292（34k22）.因 为k1k2 34，即k2 34k1，所 以4k2212k2 334k22434k1212 34k1 33434k124k2112k1334k21，同理可得12k2212k292（34k22）12k2112k192（34k21）.所以 A、B 关于原点O 对称，即直线 AB 过定点 O.(证法 2)设 A(x0，y0)，则由x204y2031 得 y20334x20.设点 A 关于原点O 的对称点为A(x0，y0)，直线 PA 的斜率为k3，则 k1k332y01x032y01x094y201x2094 334x201x2034x20341x2034.又 k1k234，所以 k2k3，从而 P、B、A 三点共线因为B、A 都在椭圆C 上，所以 B 与A 重合所以A、B 关于原点O 对称，即直线AB 过定点 O.(2)解：由(1)可设 A(x0，y0)，B(x0，y0)，x0 1，则直线 AB 的方程为y0 xx0y 0，所以AB 2x20y20，点P 到直线AB 的距离为dy032x0 x20y20，所以S PAB12 AB d12 2x20y20y032x0 x20y20y032x0.(解法1)令 ty032x0，则 y032x0t，代入x204y2031 得 x20tx0t2310.令t24t231 0，解得|t|23，当且仅当x03，y032或x03，y032时，|t|有最大值23，即PAB面积的最大值为2 3.(解法 2)y032x0294x203x0y0y20.因为 3x0y032(x0)(2y0)32（x0）2（2y0）223x2012y204，所以y032x0294x203x2012y204y203x204y2012，从而y032x02 3，当且仅当 x02y0，即x03，y032或x03，y032时，PAB 面积的最大值为2 3.