2015届高考数学总复习课时训练(基础过关能力训练)：第九章平面解析几何第11课时直线与圆锥曲线的综合.pdf

第九章平面解析几何第11 课时直线与圆锥曲线的综合应用(2)1.以椭圆x24y231 的焦点为顶点、顶点为焦点的双曲线方程为_答案：x2y231 解析：椭圆x24y231 的焦点为(1，0)，顶点为(2，0)，则双曲线中a1，c 2，bc2a23，所以所求双曲线方程为x2y231.2.已知双曲线x2a2y2b21(a 0，b0)的一条渐近线方程是y3x，它的一个焦点与抛物线 y216x 的焦点相同，则双曲线的方程为_答案：x24y2121 解析：由题意知，双曲线的一个焦点为(4，0)，即 a2 b216.又双曲线x2a2y2b21(a 0，b0)的一条渐近线方程是y3x，所以有ba3，即 b3a，可解得a24，b212，故双曲线的方程为x24y2121.3.顶点在原点且以双曲线x23 y21 的右准线为准线的抛物线方程是_答案：y2 6x 解析：由题可得，双曲线x23y21 的右准线方程为x32，则所求抛物线是顶点在原点、开口向左的抛物线且p232，即 p3，所以所求抛物线方程为y2 6x.4.双曲线 x2y231 的渐近线与圆x2(y4)2r2(r0)相切，则r_答案：2 解析：渐近线的方程为3x y0，圆心(0，4)到渐近线的距离等于r，则 r|4|312.5.已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，它的长轴长等于圆C：x2y2 2x150的半径，则椭圆的标准方程是_答案：x24y231 解析：圆 C：(x1)2y216，2a4，即 a2.eca12.c1，b2a2c2413.椭圆方程为x24y231.6.已知椭圆C：x22y21 的两焦点为F1，F2，点 P(x0，y0)满足x202y201，则 PF1PF2的取值范围为 _答案：2，22 解析：当 P 在原点处时，PF1PF2取得最小值2；当 P 在椭圆上时，PF1PF2取得最大值 2 2，故 PF1PF2的取值范围为2，2 27.直线 l：xy0 与椭圆x22 y21 相交于 A、B 两点，点 C 是椭圆上的动点，则 ABC面积的最大值为_答案：2 解析：由x y0，x22y21，得 3x22，x 63，A63，63，B63，63，AB 433.设点C(2cos，sin)，则点 C 到 AB 的距离 d|2cos sin|232|sin()|32，S ABC12AB d12433322.8.若直线 mxny 4 和圆 O：x2y24 没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆x29y241 的交点个数为_个答案：2 解析：由题意得4m2n22，即 m2n24，则点(m，n)在以原点为圆心，以2 为半径的圆内，此圆在椭圆x29y241 的内部9.已知椭圆的一个顶点为A(0，1)，焦点在x 轴上，其右焦点到直线xy2 20的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)直线 y33x1 与椭圆交于P、N 两点，求|PN|.解：(1)设椭圆方程为x2a2y2b2 1(ab0)，右焦点 F 为(c，0)，则|c2 2|23，解得 c2.又 b1，a3.椭圆方程为x23 y21.(2)设直线与椭圆的交点为P(x1，y1)、N(x2，y2)，则y33x1，x23y21，解方程组得x10，y11或x23，y20.直线与椭圆的交点为P(0，1)、N(3，0)，|PN|（3）2122.10.已知圆 C 的圆心为C(m，0)，m3，半径为5，圆 C 与离心率e12的椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的其中一个公共点为A(3，1)，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点(1)求圆 C 的标准方程；(2)若点 P 的坐标为(4，4)，试探究直线PF1与圆 C 能否相切？若能，设直线PF1与椭圆 E 相交于 D、B 两点，求 DBF2的面积；若不能，请说明理由解：(1)由已知可设圆C 的方程为(xm)2y2 5(m 3)，将点 A 的坐标代入圆C 的方程中，得(3m)215，即(3m)2 4，解得 m1，或 m5.m3，m1.圆 C 的标准方程为(x1)2y25.(2)直线 PF1能与圆 C 相切，依题意设直线PF1的斜率为k，则直线PF1的方程为yk(x4)4，即 kxy4k40，若直线 PF1与圆 C 相切，则|k04k4|k215.4k2 24k11 0，解得 k112或 k12.当 k112时，直线PF1与 x 轴的交点的横坐标为3611，不合题意，舍去当 k12时，直线PF1与 x 轴的交点的横坐标为4，c4，F1(4，0)，F2(4，0)由椭圆的定义得：2aAF1AF2（34）212（34）2125 2262.a32，即 a218，e43222312，满足题意故直线 PF1能与圆 C 相切直线 PF1的方程为x 2y4 0，椭圆 E 的方程为x218y221.设 B(x1，y1)，D(x2，y2)，把直线 PF1的方程代入椭圆E 的方程并化简得，13y216y 20，由根与系数的关系得y1y21613，y1y2213，故 S DBF24|y1y2|4（y1y2）24y1y2241013.11.如图，已知椭圆C：x2a2y2b21(a b0)的离心率为32，以椭圆C 的左顶点T 为圆心作圆 T：(x2)2y2 r2(r0)，设圆 T 与椭圆 C 交于点 M 与点 N.(1)求椭圆 C 的方程；(2)求 TMTN的最小值，并求此时圆T 的方程；(3)设点 P 是椭圆 C 上异于 M、N 的任意一点，且直线MP、NP 分别与 x 轴交于点R、S，O 为坐标原点，求证：OR OS 为定值(1)解：依题意，得a2，eca32，c3，ba2c21.故椭圆 C 的方程为x24y21.(2)解：易知点 M 与点 N 关于 x 轴对称，设M(x1，y1)，N(x1，y1)，不妨设y10.由于点 M 在椭圆 C 上，y211x214.(*)由已知 T(2，0)，则 TM(x12，y1)，TN(x12，y1)，TM TN(x12，y1)(x12，y1)(x12)2y21(x12)2 1x21454x214x1354x185215.由于 2x12，故当 x185时，TM TN取得最小值15.把 x185代入(*)式，得 y135，故 M 85，35.又点 M 在圆 T 上，代入圆的方程得r21325.故圆 T 的方程为(x2)2y21325.(3)证明：设 P(x0，y0)，则直线 MP 的方程为yy0y0 y1x0 x1(xx0)，令 y0，得 xRx1y0 x0y1y0y1，同理：xSx1y0 x0y1y0y1，故 xR xSx21y20 x20y21y20y21.(*)又点 M 与点 P 在椭圆上，故x204(1y20)，x21 4(1y21)，代入(*)式，得 xR xS4（1y21）（y204）（1y20）y21y20y214y20y21y20y21 4.所以 OR OS|xR|xS|xR xS|4 为定值