北京市西城区(南片)普通中学20142015学年度第二学期高二数学(文科)期末综合测试题含答案.pdf
北京市西城区（南片）普通中学2014 2015 学年度第二学期高二数学（文科）期末综合测试题满分：150 分 时间：120 分钟一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设集合,Aa b，则满足,ABa b c的不同集合B共有（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个2“0ab”是“11ab”的（）（A）充分但不必要条件（B）必要但不充分条件（C）充要条件（D）既不是充分条件也不是必要条件3已知函数10 xy的反函数为()yf x，那么1()100f（）（A）2（B）2（C）1（D）14已知等差数列na的前n项和为nS，且50S，那么下列结论中一定正确的是（）（A）30a（B）30S（C）30a（D）30S5设cR，函数2()2f xxxc关于函数()f x的下述四个 命题中，真命题 为（）（A）(0)(2)ff（B）(0)(2)ff（C）()1fxc（D）()1f xc6已知数列na的前n项和3(2)2nnSa，1,2,3,n，那么na（）（A）33n（B）2 3n（C）12 3n（D）133n7函数21()logf xxx的零点所在的区间是（）（A）1(0,)2（B）1(,1)2（C）3(1,)2（D）3(,2)28设集合AR，如果实数0 x满足：对0r，总xA，使得00|xxr，则称0 x为集合A的聚点给定下列四个集合：Z；|0 xxR；|1nnnZ，0n；1|nnZ，0n上述 四个集合中，以0为聚点的集合是（）（A）、（B）、（C）、（D）、二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分.把答案填在题中横线上.9已知函数21,0,()2,0,xxf xxx那么(1)(1)ff_.10若幂函数yx的图象经过点1(2,)4，则_.11已知等差数列na的公差是2，其前4项和是20，则2a_.12已知()fx是周期为2的偶函数当01x时，()f x的图象是右图中的线段AB，那么4()3f_.13当 1,1x时，函数2()exxf x的值域是 _.14 在数 列na中，121aa，11(1)(1)nnnanana，2,3,4,n.关于 数列na给出下列四个结论：数列1nnana是常数列；对于任意正整数n，有1nnaa成立；数列na中的任意连续3项都不会成等比数列；121nkkkanan其中全部正确结论的序号是三、解答题：本大题共6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15（本小题满分13 分）已知全集UR，集合|(2)0Px x x，|26Qx axa.（）求集合UPe；（）若UPQe，求实数a的取值范围.16（本小题满分13 分）已知函数32()6f xxax，其中0a.（）当1a时，求曲线)(xfy在点(1,(1)f处的切线方程；（）讨论函数()f x的单调性 17（本小题满分13 分）已知等比数列na的各项均为正数，其前n项和为nS12a，314S（）求数列na的通项公式；（）设nnbn a，求数列nb的前n项和nT18（本小题满分13 分）如图，设计建造一个面积为24840 m的矩形蔬菜温室，其长与宽的比为(1)沿温室的左、右两侧各留8m宽的空道，上、下两侧各留5m宽的空道试确定温室的长和宽，使其占地（包括蔬菜温室及空道）面积最小19（本小题满分14 分）已知函数2()2lnf xxxax不是单调函数，且无最小值（）求实数a的取值范围；（）设0 x是函数()f x的极值点，证明：0()0f x.20（本小题满分14 分）已知n次多项式()(1 2)(14)(1 8)(1 2)nnS xxxxx，其中n是正整数.记()nSx的展开式中x的系数是na，2x的系数是nb.（）求na；（）证明：12142nnnnbb；（）是否存在等比数列nc和正数c，使得1()()nnnbcc cc对任意正整数n成立？若存在，求出通项nc和正数c；若不存在，说明理由.参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分.1.D；2.A；3.B；4.C；5.C；6.B；7.D；8.D.二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分.9.4；10.2；11.6；蔬菜温室12.53；13.0,e；14.、.注：14 题少解不给分.三、解答题：本大题共6 小题，共 80 分.（如有其他方法，仿此给分）15.（本小题满分13分）解：（）因为全集UR，集合|(2)0Px x x，所以|(2)0UPx x xe，4 分即集合|02UPxxe.6 分（）因为UPQe，所以0,262,aa 10 分解得0,2.aa所以 2,0a.13 分注：第（）小问没有等号扣2分.16.（本小题满分13分）解：（）当1a时，32()6f xxx，2()312fxxx 2 分所以曲线)(xfy在点(1,(1)f处的切线斜率是(1)9f 3 分因为(1)5f，所以曲线)(xfy在点(1,(1)f处的切线方程是59(1)yx，即940 xy.5 分（）令2()3123(4)0fxxaxx xa，得10 x，24xa.7分 当0a时，2()30fxx，故()f x在R上为增函数.9分 当40a，即0a时，列表分析如下：x(,0)0(0,4)a4a(4,)a()fx00所以函数()f x在(,0)和(4,)a内单调递增，在(0,4)a内单调递减 13 分综上，当0a时，()fx在R上单调递增；当0a时，()f x在(,0)和(4,)a内单调递增，在(0,4)a内单调递减.17.（本小题满分13分）解：（）设 等比数列na的公比是q，依题意0q 1 分由314S，得21(1)14aqq，整理得260qq 3 分解得2q，舍去3q 5 分所以数列na的通项公式为112nnnaaq 6 分（）由2nnnbn an，7 分得231 222322nnTn，所以2341212223 22nnTn 10 分两式相减，得231(2222)2nnnTn，12 分所以1(1)22nnTn 13 分18.（本小题满分13分）解：设矩形温室宽为mx，则长为mx，依题意有24840 x 2 分记矩形温室的占地面积为S，则2(16)(10)(1016)160Sxxxx 5 分将24840 x代入上式，整理得3025500016()Sxx 8 分根据均值定理，当3025xx时，即55x（此时815）时，S取得最小值 11 分此时，温室的长为85588m5x 12 分答：矩形温室的长为88 m，宽为55m时，温室的占地面积最小 13 分19.（本小题满分14分）解：（）函数()f x的定义域是|0 x x.1 分对()fx求导数，得222()22axxafxxxx.3 分显然，方程2()0220fxxxa(0)x.若()fx不是单调函数，且无最小值，则方程2220 xxa必有2个不相等的正根.5 分所以480,0,2aa解得102a.7 分（）设方程2220 xxa的2个不相等的正根是1x，2x，其中12xx.所以2122()()22()xxxxxxafxxx.9 分列表分析如下：x1(0,)x1x12(,)x x2x2(,)x()fx00所以，1x是极大值点，2x是极小值点，12()()f xf x.故只需证明1()0f x.11 分由120 xx，且121xx，得1102x.12 分因为102a，1102x，所以1111()(2)ln0f xx xax.从而0()0f x.14 分20.（本小题满分14分）解：（）由242nna，2 分得12(12)2212nnna.3分（）由()(1 2)(14)(1 2)nnS xxxx，得11()(1 2)()nnnSxxS x.6 分所以12122(21)nnnnnnnbbab，即21212(21)42nnnnnnbb.8 分（）由1()12S xx，得10b.9 分当2n时，由2211122222222()2(21)44(22)(1)141 23nnnnnkknnkkkkbbb，得18(21)(21)3nnnb.当1n时，10b也适合上式，故18(21)(21)3nnnb，*nN.12 分因此，存在正数82 633c和等比数列16223nnncc，使得1()()nnnbcc cc对于任意正整数n成立.14 分
