“算术平方根”教学设计_段碧.pdf
中国数学教育上半月 （初中版） 2020年第4期 （总第211期）中国数学教育上半月 （初中版） 2020年第4期 （总第211期）一、内容和内容解析1. 内容算术平方根的概念及性质，2的存在性及大小.2. 内容解析本节课是人教版义务教育教科书数学七年级下册（以下统称“教材” ）第六章“实数”的第一节课，主要介绍算术平方根的概念、表示方法和性质，以及用拼图的方法证明2是存在的，用夹逼法估计2的大致范围.教材先通过一道生活中的问题让学生看到算术平方根与实际的联系，将实际问题“已知正方形的面积，求它的边长”转化为数学问题“已知一个正数的平方，求这个正数” ，进一步抽象得到算术平方根的概念.“已知正方形的面积，求它的边长”与学生已有经验 “已知正方形的边长，求它的面积”的过程互逆.教学时可以让学生初步体会这种互逆过程，为后面的学习做准备.在算术平方根的概念中，a是一个非负数x的平方，所以a是非负数，即符号a中的被开方数a是非负数，算术平方根a也是非负数. 这一点可以根据学生的情况进行适当的解释，为后面研究平方根、二次根式做准备.教材中，通过例1巩固算术平方根的概念及表示方法，通过比较例题中被开方数和算术平方根的大小，得到“被开方数越大，对应的算术平方根越大，这个结论对所有的非负数都成立” ，从而为后面学习夹逼法做铺垫.对于可以表示成有理数的平方的数，由于它们的算术平方根都是有理数，所以学生容易求出这些数的算术平方根. 但是对于类似2这样不能表示成一个有理数的平方的数，它的算术平方根到底是什么，对学生来说是一个新问题. 为了研究这类数的算术平方根，教材以2的算术平方根2为例，研究它的存在性及大小.历史上2的发现是在毕达哥拉斯发现勾股定理之后，它的存在性经历了很长时间的争论. 本节课中，必须先让学生了解到2是客观存在的，才有进一步探究2大小的必要. 因为勾股定理是八年级要学习的内容，所以此处让学生用拼图的方法证明2是存在的.2是历史上人们发现的第一个无理数，引发了数学危机，也促使数系从有理数扩充到无理数. 教材采用夹逼的方法，利用2的一系列不足近似值和过剩近似值来估计它的大小，进而给出2是无限不循环小数的结论，并指出3和5等也是无限不循环小数，为后面学习无理数的概念打下基础.“算术平方根”教学设计段段碧碧（江西师范大学附属中学江西师范大学附属中学）收稿日期：2020-01-08基金项目：江西省教育科学“十三五”规划2019年度学科带头人专项重点课题改革开放四十年初中数学课堂教学形态变化及其特质研究（19ZXZD007） .作者简介：段碧（1984 ） ，女，中学一级教师，主要从事初中数学教学研究.摘要：本节“算术平方根”一课从七巧板拼图引入，采用探究式教学法，引导学生经历发现问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的抽象概括、逻辑推理能力，发展学生的符号意识、数感和估算意识.关键词：算术平方根；七巧板；概念 33中国数学教育上半月 （初中版） 2020年第4期 （总第211期）中国数学教育上半月 （初中版） 2020年第4期 （总第211期）基于以上分析，确定本节课的教学重点是了解算术平方根的概念，会估算2的大小.二、目标和目标解析1. 目标（1） 通过七巧板拼图活动，了解存在一个数的平方等于2.（2） 通过实际问题生成算术平方根的概念，了解平方与开平方互为逆运算，会用符号表示数的算术平方根.（3） 通过互动游戏，巩固算术平方根的概念，并归纳出算术平方根的性质.（4） 借助数轴和Excel表格探究2的大小，了解2是无限不循环小数.2. 目标解析目标 （1） 解析：通过七巧板拼图活动，建立数与形的关系，构建数学问题的直观模型，培养学生的直观想象能力，体会数形结合思想.目标 （2） 解析：学生经历由实际问题逐步抽象为数学问题的过程，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维；在经历由具体到抽象的过程中，体会从特殊到一般的数学思想，培养用数学语言抽象概括的能力.目标 （3） 解析：学生在积极参与游戏的过程中，巩固算术平方根的概念及表示方法；在师生问答互动的过程中，辨析概念，培养学生的推理、归纳能力.目标 （4） 解析：借助数轴，从几何的角度估算2的大小，体会数形结合思想；利用不等式的性质估算2的大小，了解夹逼法，培养估算意识；借助Excel自动计算功能估算2的大小，培养学生用信息技术手段处理数据的意识. 通过数学小故事“2与第一次数学危机” ，挖掘数学知识的文化内涵，使学生感受丰富的数学文化.三、教学问题诊断分析学生只有在认识到2这个数是客观存在的，同时又不能用已有的具体数字来表示，才能真正感受到引入新运算和新数的必要性，从而激发起学生学习的欲望.由面积为9的正方形的边长为3，很容易就求出9的算术平方根，为什么还要引进根号呢？学生会有一种将简单问题复杂化的感觉，凭空冒出一个根号，学生内心是不接受的，甚至是抵触的，这对接下来的学习极为不利. 所以在本节课一开始，笔者就引导学生发现问题：面积为2的正方形的边长表示不出来，需要引入一种新的运算来解决这个问题，需要引入一种新数来表示此边长.“”作为一种新的运算符号，学生掌握起来有一定的难度. 了解算术平方根和被开方数都是非负数，可以帮助学生更好地认识“”这个运算符号. 被开方数a是一个数的平方，所以一定是非负的. 算术平方根a为什么是非负的呢？+2和-2的平方都是4，为什么只有2才是4的算术平方根呢？算术平方根的非负性是概念中规定的. 这样规定的原因有以下几点： （1）从概念形成的角度来说，算术平方根是在解决实际问题的过程中产生的数学概念，而实际问题中往往要求结果是非负的； （2）从运算符号的明确性的角度来说，以往所学的所有运算 （加、减、乘、除、乘方） 都是“一对一”的对应关系，即经过一种甚至多种运算，其结果仍然是一个数. 被开方数和算术平方根也是“一对一”的关系，被开方数是正数时与平方根是“一对二”的关系，而“一对二”的关系会造成运算结果的不 确 定 性 . 例 如 ， 如 果9 =3,16 = 4,那 么9 +16就有4个答案，使计算的表示和书写都比较麻烦. 规定算术平方根是非负的，规定“”是求算术平方根的运算符号（不是求平方根的运算符号） ，就避免了这些问题.学生对2是一个无限不循环小数的认识要循序渐进. 整数的平方仍是整数，分数的平方仍是分数.2在两个连续的整数1和2之间，一定不是整数，它的平方是2，所以2也不会是分数，由此学生很快能想到2是一个小数. 小数点后面有几位数呢？用夹逼法逐步确定2的十分位、百分位、千分位、让学生了解这种夹逼的过程可以无止境的进行下去. 可能有学生会质疑：如果一直算下去万一哪一天就算完了呢？此时学生已经感受到其中涉及的数学核心思想极限思想. 这时可以告诉学生教材上有2是无理数的推理证明，从而消除学生心中的疑问.基于以上分析，确定本节课的教学难点是：了解 34中国数学教育上半月 （初中版） 2020年第4期 （总第211期）中国数学教育上半月 （初中版） 2020年第4期 （总第211期）算术平方根的双重非负性，会估算2的大小.四、教学支持条件分析为了更好地突出重点、突破难点，本节课采用了探究式教学法，引导学生经历发现问题、分析问题、解决问题的过程，并采用了多元化的手段辅助教学.（1） 益智玩具七巧板的使用具有可操作性、趣味性和实效性，可以让每位学生都参与其中，让学生感受到学习乐趣的同时，从形的角度体会到2的存在，粗略感受到2的大小.（2） 运用有多种动画效果的PPT，能直观地帮助学生突破教学难点. 例如，设计的“神秘工厂”的动画，很好地突破了教学难点，形象直观地让学生感受到“一进一出” ，即非负数才能“进入”根号里面，从根号里面“出来”的数也必须是非负数.（3）Excel表格的使用，使得学生不需要花时间在平方计算上，而有更多的时间体会夹逼法的作用，以及其体现的数学思想方法. 学生自己动手现场生成数据，让师生之间的互动更灵活.（4） 课前播放视频进行文化熏陶，让学生感受中国古代益智玩具的魅力；课程快结束时播放音频讲数学小故事，让学生体会数学文化的丰富内涵.五、教学过程设计课前准备活动如下.在上课铃声响之前，播放一个时长为两分钟的视频，介绍中国古代益智玩具七巧板. 视频较为详细地介绍了七巧板的构成、趣味性及实用价值.学生两人一组，每组发放一个七巧板.【设计意图】通过以上课前准备活动，让学生了解中国古代益智玩具的神奇，建立文化自信；调动起学生的好奇心，激发学生动手拼七巧板的欲望，为以下活动引入做好铺垫.环节1：七巧板拼图，激趣设疑.（1） 七巧板是一款非常有趣的游戏，小小的七块板，能拼出各种各样的图形. 七巧板有一种玩法叫“见影排形” . 用如图1所示的一副七巧板能拼出多种图形.（1）（2）图2图1师生活动：通过播放视频，给出用七巧板拼出如图2所示的“箭头、天鹅”两个实例，让学生了解七巧板的一种玩法见影排形，接着教师给出如图3所示的“天天向上”的图案，让学生用手中的七巧板拼图. 学生拼图的过程中，教师观察，请拼得最快的小组在黑板上用带有吸铁石的七巧板教具展示本小组的拼图方法.图3（2） 图4中有三个正方形，是用如图1所示的七巧板拼成的，设最小正方形的面积为1， 以最小正方形的边长为参照，比一比，算一算，求出另外两个正方形的面积.（1）（2）（3）图4师生活动：小组交流合作，动手操作，用拼图的方法求出第二个正方形的面积为2，第三个正方形的面积为4.（3）填表1，求出图4中三个正方形的边长.正方形的面积正方形的边长11242表1教师引导学生求正方形的边长，在求第二个正方形的边长时遇到困难，教师顺势引入课题算术平方根.【设计意图】通过以上活动，在引入课题的同时还达成了以下三个教学目标： （1） 从形的角度证明了2是客观存在的，它就是面积为2的正方形的边长. 35中国数学教育上半月 （初中版） 2020年第4期 （总第211期）中国数学教育上半月 （初中版） 2020年第4期 （总第211期）先知道2是客观存在的，再去表示它并估算它的大小，更符合学生的认知心理. （2） 粗略感知2的大小. 图4中三个正方形的面积和边长的大小关系一目了然，学生可以估计出2在1和2之间.（3）体验数学来源于生活. 算术平方根概念的生成源于解决生活实际问题的需要.环节2：分析问题，生成概念.填表2，求面积分别为5，9，425，0.36的正方形的边长.正方形的面积正方形的边长11242590.36ax表2通过分析“已知正方形的面积，求它的边长”与“已知正方形的边长，求它的面积”的过程是互逆的，所用到的平方运算和开平方运算是互逆运算.对于x2=a,将具体问题一般化，当指数为2时，平方运算是已知底数x求幂a，开平方运算是已知幂a求底数x. 在开平方运算中，正数x叫做a的算术平方根，a叫做被开方数.例如，因为22=4，所以正数2是4的算术平方根；因为32=9，所以正数3是9的算术平方根.要写出2，3，5这一类数的算术平方根，需要引入一个符号表示. 用2表示2的算术平方根，它是一个新数，这个数的平方是2.3表示3的算术平方根，它的平方等于3. 4的算术平方根也能表示成4，4和2都是4的算术平方根，它们相等.总结根号的两个作用： （1） 表示一个数的算术平方根. 对2，3，5这样不是某个有理数平方的数，根号显得尤为重要.（2）表示运算符号.4表示“求4的算术平方根” ，运算结果是2.再把问题一般化，得到算术平方根的符号表示，即a的算术平方根表示为a.师生活动：学生填表后，教师用如下问题串引导学生分析问题.追问1： “已知正方形的边长，求它的面积”要用到我们已经学过的什么运算？ “已知正方形的面积，求它的边长”是我们已经学过的运算吗？它与平方运算有什么关系？追问2：在乘方运算x2=a中，x和a分别叫做什么？在开方运算中，a叫做被开方数，正数x叫做算术平方根. 正数x为什么叫做算术平方根呢？数学中根是什么意思？追问3：像2，3这样的一类数的算术平方根都表示不出来，怎么办呢？追问4：像4和9这类数的算术平方根能不能也用根号来表示？有什么意义？追问5：说一说“”的作用.追问6：结合前面的分析，用数学语言概括出算术平方根的概念.【设计意图】（1）通过具体实例，以及与已学知识的联系，抽象出算术平方根的概念，体会从特殊到一般的数学思想； （2）让学生体会引入根号的必要性，得到算术平方根的表示方法，培养符号意识； （3） 教会学生“表达数学是学生学好数学的重要标志” ，引导学生用数学语言表述算术平方根的概念，培养学生的数学语言表达能力.环节3：辨析释疑，巩固概念.师生完成“神秘工厂”的互动游戏，如图5所示.原料名：被开方数成份：a产品名：算术平方根成份：a10049640.000 119160-1神秘工厂图5师生活动： （1） 通过师生一问一答，数字一进一出. 教师板书示范规范的解题过程.（2）教师引导学生辨析“原料”和“产品”的成分，得到结论：被开方数是非负数（因为它是一个数的平方） ，算术平方根也是非负的（算术平方根的概念中规定的） .（3）比较被开方数的大小，并用“”连接，比较算术平方根的大小并用“”连接. 学生发现并归纳结论被开方数越大，对应的算术平方根也越大.【设计意图】（1）将教材中的例1融入到互动游戏中，巩固了求各种形式的数 （完全平方数、带分数、 36中国数学教育上半月 （初中版） 2020年第4期 （总第211期）中国数学教育上半月 （初中版） 2020年第4期 （总第211期）小数、0、非完全平方数）的算术平方根.（2）加深学生对被开方数和算术平方根的非负性的理解，帮助学生正确认识“”这个新的运算符号.（3）让学生先入为主，形成被开方数与算术平方根是“一对一”的潜意识，减少学生犯类似4 =2错误的概率.（4 ）为后面用夹逼法估算2的大小做铺垫. （5） 概念是思维的细胞. 在教学中，教师要注意培养学生在解答数学问题遇到困难时养成“回到基本概念中去，从概念的联系中寻找解决问题的思路”的好习惯.环节4：探究2的大小.分以下三个层次来估算2的大小.（1）借助数轴估算.师生活动：教师引导学生联系实际生活经验，借助数轴估算2的大小，并运用动画演示. 如图6，以图4中第一个小正方形的边长为单位长度，将第二个小正方形的边长的一个端点放在原点处，另一个端点对应的数就是2. 学生通过观察会发现2比1.5略小.0-1122图6【设计意图】 借助数轴，从几何的角度估算2的大小，体会数形结合思想.（2）用夹逼法估算2的大小.师生活动：学生分组讨论进一步估算2大小的方法，讨论得到2在1.4到1.5之间. 教师引导学生用结论“被开方数越大，对应的算术平方根也越大”解释估算的依据，总结出估算的方法夹逼法.【设计意图】通过引导学生充分推导论证，用不等式逼近的方法来估算2的大小，培养学生的估算意识.（3）借助Excel表格进行估算.师生活动：学生协助教师用键盘输入想尝试计算的数值，Excel表格自动得到数值的平方，用夹逼法估算出2的百分位、千分位、万分位、十万分位.【设计意图】 借助Excel表格的计算功能，实现更加精准的估计，进一步体验夹逼法，培养学生利用信息技术手段处理数据的意识.师生活动：教师展示2的小数点后400位的图片（如图7）后，学生发现2的小数点后有很多位，而且找不到循环节. 类比小学学过的圆周率，猜测2是一个无限不循环小数，并告知学生在教材本章的“阅读和思考”中对此有严谨的推理证明.图7【设计意图】结合图片，联系已经学过的无限不循环小数，让学生了解2是一个无限不循环小数的事实，培养学生的数感.环节5：课堂小结.引导学生从内容、方法和思想等方面进行课堂小结，交流学习过程中的体验与感受，以及可能存在的困惑.【设计意图】培养学生“学习总结反思”的良好习惯.环节6：播放数学小故事音频.师生活动：教师播放“2与第一次数学危机”的音频，学生听后谈谈听数学小故事的感受.音频文本如下：古代人们都是从实际生产生活过程中发现数学，再运用数学知识去解决实际问题. 例如，在日常生活中要度量各种量，像长度、质量、时间等，整数和分数就是在解决实际问题的过程中产生的数学概念. 公元前500年左右的古希腊，用整数和分数就可以解决人们生活当中的所有问题. 兴旺于这一时代的毕达哥拉斯学派就认为“万物皆数” ，即一切数均可以表示成整数或整数的比. 后来，这一学派中的希帕索斯却发现边长为1的正方形的对角线长度既不能用整数表示，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示. 希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数2的诞生，推翻了毕达哥拉斯的著名理论，引发了第一次数学危机. 希帕索斯正是因为这一数学发现，被毕达哥拉斯学派的人投进了大海，处以“淹死”的惩罚. 文明的进步不会因为某个人或某学派的阻挡，而停止前进. 无理数的存在逐渐成为人类所共知的事实. 同时，人们也认识到数可以由几何量表示出来，数学结论不能只靠直觉和经验来得到，更需要通过推理证明来求证. 从此希腊人开始从“自明的”公理出发，经过演绎推理，建立了几何学体系. 这是数学思 37中国数学教育上半月 （初中版） 2020年第4期 （总第211期）中国数学教育上半月 （初中版） 2020年第4期 （总第211期）想上的一次革命，是第一次数学危机的自然产物.【设计意图】 通过“2与第一次数学危机”故事的讲解，让学生体会数学源于生活又应用于生活，了解第一个无理数2发现的曲折经历，以及对数学发展的影响，鼓励学生学习数学家希帕索斯的科学质疑精神，以及坚持真理的勇气.环节7：布置作业.1. 巩固性作业：完成教材习题6.1中的第1，2题.2. 拓展性作业：自学教材第58页“阅读与思考”为什么说2不是有理数？3. 研究性作业：你想了解更多2与第一次数学危机的知识吗？请查阅相关资料，以第一人称写一篇“我是2”的小论文.【设计意图】巩固性作业巩固这节课所学基本概念及方法；拓展性作业让学生了解并证明“2不是有理数”的推理过程，消除课堂中存留的疑点问题；研究性作业，让学生像数学研究者一样查阅资料，在数学史中寻找知识的来龙去脉.六、教学反思章建跃博士曾指出：在课堂教学中，要以数学知识的发生、发展过程和理解数学知识的心理过程为基本线索，为学生构建前后一致、逻辑连贯的学习过程，使他们在掌握数学知识的过程中学会思考. 教师要充分钻研义务教育数学课程标准 （2011年版） 、教材和学情，以学生的视角去参与概念的发生、发展，收获能力素养.1. 教学设计始终站在学生的立场本节课以学生“为什么学？学什么？怎么学？学到什么程度？ ”为教学设计取向，使学生在体验中发现问题、分析问题、解决问题，参与知识的发生、发展与形成的全过程，充分体现了学生的主体地位.2. 对教材的内容进行整合笔者先让学生用七巧板拼出面积为2的正方形，然后提出问题“面积为2的正方形的边长为多少？ ” ，从而引发学生的认知冲突，让学生体会到学习算术平方根和引入根号的必要性，符合学生的认知心理，很好地激发了学生学习新知识的欲望. 整节课以“求面积为2的正方形的边长”为内在主线，教学内容浑然一体、自然流畅.3. 设计活泼、有效的数学活动，激发学习兴趣本节课中采用的“七巧板拼图” “神秘工厂” “借助Excel表格探究2大小”的数学活动都非常吸引学生，使学生参与的热情高涨. 课堂所追求的“以学生为主体”的教育理念，在学生动手实践和师生的互动过程中得以实现.4. 注重对数学思想方法的渗透学生只有认识到具体知识中蕴涵的数学思想，才能深刻理解和牢固掌握具体的数学知识. 本节课中渗透了多种数学思想，如从特殊到一般、数形结合、极限思想等.5. 注重数学文化的渗透通过课前播放的七巧板视频、数学家笛卡儿发明根号、数学小故事的讲解等，将中外数学文化的渗透贯穿于课堂始终.6. 信息技术与数学课堂的深度融合本节课中的“神秘工厂”活动，Excel表格的使用，音频、视频的播放，无不体现出信息技术与数学课堂融合得自然而有效.总之，本节课的设计层层铺垫，环环相扣，引导学生经历了知识的发生、发展过程，注重培养学生的数学核心素养. 同时，本节课也有如下一些不足之处：（1）数系需要由有理数扩充到实数. 在引入2时可以类比七年级上学期负数的引入表示具有相反意义的量时，正数和0不够用，需要引入负数.（2）将例题融入“神秘工厂”的互动游戏中后，学生没有上黑板板书的机会，冲淡了对解题过程书写规范的要求.参考文献：1章建跃. 构建逻辑连贯的学习过程使学生学会思考 J . 数学通报，2013，52 （6 ） ：5-8，封底.读者可加入地域读者沟通群获 取 相 关 阅 读 资 源参 加 线 下 交 流 活 动群 类 别 ： 地 域 读 者入 群 指 南 详 见 本 刊 封 二 38
