2011年全国统一高考真题数学试卷(文科)(大纲版)(含答案解析版).pdf

2011 年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1（5 分）设集合 U=1，2，3，4，M=1，2，3，N=2，3，4，则U（MN）=（）A1，2 B2，3 C2，4 D1，4 2（5 分）函数 y=（x0）的反函数为（）Ay=（xR）By=（x0）Cy=4x2（xR）Dy=4x2（x0）3（5 分）设向量、满足|=|=1，=，|+2|=（）A.B C、D.4（5 分）若变量 x、y 满足约束条件，则 z=2x+3y 的最小值为（）A17 B14 C5 D3 5（5 分）下面四个条件中，使 ab 成立的充分而不必要的条件是（）Aab+1 Bab1 Ca2b2 Da3b3 6（5 分）设 Sn为等差数列an的前 n 项和，若 a1=1，公差 d=2，Sk+2Sk=24，则 k=（）A8 B7 C6 D5 7（5 分）设函数 f（x）=cosx（0），将 y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则 的最小值等于（）A B3 C6 D9 8（5 分）已知直二面角 l，点 A，ACl，C 为垂足，点 B，BDl，D 为垂足，若 AB=2，AC=BD=1，则 CD=（）A2 B C D1 9（5 分）4 位同学每人从甲、乙、丙 3 门课程中选修 1 门，则恰有 2 人选修课程甲的不同选法共有（）A12 种 B24 种 C30 种 D36 种 10（5 分）设 f（x）是周期为 2 的奇函数，当 0 x1 时，f（x）=2x（1x），则=（）A B C D 11（5 分）设两圆 C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离|C1C2|=（）A4 B C8 D 12（5 分）已知平面 截一球面得圆 M，过圆心 M 且与 成 60二面角的平面 截该球面得圆 N，若该球的半径为 4，圆 M 的面积为 4，则圆 N 的面积为（）A7 B9 C11 D13 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13（5 分）（1x）10的二项展开式中，x 的系数与 x9的系数之差为：14（5 分）已知 a（，），tan=2，则 cos=15（5 分）已知正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为 C1D1的中点，则异面直线 AE与 BC 所成的角的余弦值为 16（5 分）已知 F1、F2分别为双曲线 C：的左、右焦点，点 AC，点M 的坐标为（2，0），AM 为F1AF2的平分线，则|AF2|=三、解答题（共 6 小题，满分 70 分）17（10 分）设等比数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a2=6，6a1+a3=30，求 an和Sn 18（12 分）ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c已知 asinA+csinCasinC=bsinB，（）求 B；（）若 A=75，b=2，求 a，c 19（12 分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为 0.3，设各车主购买保险相互独立（）求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率；（）求该地的 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率 20（12 分）如图，四棱锥 SABCD 中，ABCD，BCCD，侧面 SAB 为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1（）证明：SD平面 SAB；（）求 AB 与平面 SBC 所成的角的大小 21（12 分）已知函数 f（x）=x3+3ax2+（36a）x+12a4（aR）（）证明：曲线 y=f（x）在 x=0 处的切线过点（2，2）；（）若 f（x）在 x=x0处取得极小值，x0（1，3），求 a 的取值范围 22（12 分）已知 O 为坐标原点，F 为椭圆 C：在 y 轴正半轴上的焦点，过 F 且斜率为的直线 l 与 C 交于 A、B 两点，点 P 满足（）证明：点 P 在 C 上；（）设点 P 关于点 O 的对称点为 Q，证明：A、P、B、Q 四点在同一圆上 2011 年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1（5 分）设集合 U=1，2，3，4，M=1，2，3，N=2，3，4，则U（MN）=（）A1，2 B2，3 C2，4 D1，4 【考点】1H：交、并、补集的混合运算【专题】11：计算题【分析】先根据交集的定义求出 MN，再依据补集的定义求出U（MN）【解答】解：M=1，2，3，N=2，3，4，MN=2，3，则U（MN）=1，4，故选：D【点评】本题考查两个集合的交集、补集的定义，以及求两个集合的交集、补集的方法 2（5 分）函数 y=（x0）的反函数为（）Ay=（xR）By=（x0）Cy=4x2（xR）Dy=4x2（x0）【考点】4R：反函数【专题】11：计算题【分析】由原函数的解析式解出自变量 x 的解析式，再把 x 和 y 交换位置，注明反函数的定义域（即原函数的值域）【解答】解：y=（x0），x=，y0，故反函数为 y=（x0）故选：B【点评】本题考查函数与反函数的定义，求反函数的方法和步骤，注意反函数的定义域是原函数的值域 3（5 分）设向量、满足|=|=1，=，|+2|=（）A.B C、D.【考点】91：向量的概念与向量的模；9O：平面向量数量积的性质及其运算【专题】11：计算题【分析】由|+2|=，代入已知可求【解答】解：|=|=1，=，|+2|=故选：B【点评】本题主要考查了向量的数量积 性质的基本应用，属于基础试题 4（5 分）若变量 x、y 满足约束条件，则 z=2x+3y 的最小值为（）A17 B14 C5 D3 【考点】7C：简单线性规划【专题】31：数形结合【分析】我们先画出满足约束条件的平面区域，然后求出平面区域内各个顶点的坐标，再将各个顶点的坐标代入目标函数，比较后即可得到目标函数的最值【解答】解：约束条件的平面区域如图所示：由图可知，当 x=1，y=1 时，目标函数 z=2x+3y 有最小值为 5 故选：C 【点评】本题考查的知识点是线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域是解答本题的关键 5（5 分）下面四个条件中，使 ab 成立的充分而不必要的条件是（）Aab+1 Bab1 Ca2b2 Da3b3 【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件【专题】5L：简易逻辑【分析】利用不等式的性质得到 ab+1ab；反之，通过举反例判断出 ab推不出 ab+1；利用条件的定义判断出选项【解答】解：ab+1ab；反之，例如 a=2，b=1 满足 ab，但 a=b+1 即 ab 推不出 ab+1，故 ab+1 是 ab 成立的充分而不必要的条件 故选：A【点评】本题考查不等式的性质、考查通过举反例说明某命题不成立是常用方法 6（5 分）设 Sn为等差数列an的前 n 项和，若 a1=1，公差 d=2，Sk+2Sk=24，则 k=（）A8 B7 C6 D5 【考点】85：等差数列的前 n 项和【专题】11：计算题【分析】先由等差数列前 n 项和公式求得 Sk+2，Sk，将 Sk+2Sk=24 转化为关于 k的方程求解【解答】解：根据题意：Sk+2=（k+2）2，Sk=k2 Sk+2Sk=24 转化为：（k+2）2k2=24 k=5 故选：D【点评】本题主要考查等差数列的前 n 项和公式及其应用，同时还考查了方程思想，属中档题 7（5 分）设函数 f（x）=cosx（0），将 y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则 的最小值等于（）A B3 C6 D9 【考点】HK：由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【专题】56：三角函数的求值【分析】函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果【解答】解：f（x）的周期 T=，函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，所以，kZ令 k=1，可得=6 故选：C【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，考查技术能力，常考题型 8（5 分）已知直二面角 l，点 A，ACl，C 为垂足，点 B，BDl，D 为垂足，若 AB=2，AC=BD=1，则 CD=（）A2 B C D1 【考点】MK：点、线、面间的距离计算【专题】11：计算题【分析】根据线面垂直的判定与性质，可得 ACCB，ACB 为直角三角形，利用勾股定理可得 BC 的值；进而在 RtBCD 中，由勾股定理可得 CD 的值，即可得答案【解答】解：根据题意，直二面角 l，点 A，ACl，可得 AC面，则 ACCB，ACB 为 Rt，且 AB=2，AC=1，由勾股定理可得，BC=；在 RtBCD 中，BC=，BD=1，由勾股定理可得，CD=；故选：C 【点评】本题考查两点间距离的计算，计算时，一般要把空间图形转化为平面图形，进而构造直角三角形，在直角三角形中，利用勾股定理计算求解 9（5 分）4 位同学每人从甲、乙、丙 3 门课程中选修 1 门，则恰有 2 人选修课程甲的不同选法共有（）A12 种 B24 种 C30 种 D36 种 【考点】D3：计数原理的应用【专题】11：计算题【分析】本题是一个分步计数问题，恰有 2 人选修课程甲，共有 C42种结果，余下的两个人各有两种选法，共有 22 种结果，根据分步计数原理得到结果【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，恰有 2 人选修课程甲，共有 C42=6 种结果，余下的两个人各有两种选法，共有 22=4 种结果，根据分步计数原理知共有 64=24 种结果 故选：B【点评】本题考查分步计数问题，解题时注意本题需要分步来解，观察做完这件事一共有几步，每一步包括几种方法，这样看清楚把结果数相乘得到结果 10（5 分）设 f（x）是周期为 2 的奇函数，当 0 x1 时，f（x）=2x（1x），则=（）A B C D 【考点】3I：奇函数、偶函数；3Q：函数的周期性【专题】11：计算题【分析】由题意得 =f（）=f（），代入已知条件进行运算【解答】解：f（x）是周期为 2 的奇函数，当 0 x1 时，f（x）=2x（1x），=f（）=f（）=2（1 ）=，故选：A【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值 11（5 分）设两圆 C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离|C1C2|=（）A4 B C8 D 【考点】J1：圆的标准方程【专题】5B：直线与圆【分析】圆在第一象限内，设圆心的坐标为（a，a），（b，b），利用条件可得 a和 b 分别为 x210 x+17=0 的两个实数根，再利用韦达定理求得两圆心的距离|C1C2|=的值【解答】解：两圆 C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），故圆在第一象限内，设两个圆的圆心的坐标分别为（a，a），（b，b），由于两圆都过点（4，1），则有=|a|，|=|b|，故 a 和 b 分别为（x4）2+（x1）2=x2 的两个实数根，即 a 和 b 分别为 x210 x+17=0 的两个实数根，a+b=10，ab=17，（ab）2=（a+b）24ab=32，两圆心的距离|C1C2|=8，故选：C【点评】本题考查直线和圆相切的性质，两点间的距离公式、韦达定理的应用，属于基础题 12（5 分）已知平面 截一球面得圆 M，过圆心 M 且与 成 60二面角的平面 截该球面得圆 N，若该球的半径为 4，圆 M 的面积为 4，则圆 N 的面积为（）A7 B9 C11 D13 【考点】MJ：二面角的平面角及求法【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】先求出圆 M 的半径，然后根据勾股定理求出求出 OM 的长，找出二面角的平面角，从而求出 ON 的长，最后利用垂径定理即可求出圆 N 的半径，从而求出面积【解答】解：圆 M 的面积为 4 圆 M 的半径为 2 根据勾股定理可知 OM=过圆心 M 且与 成 60二面角的平面 截该球面得圆 N OMN=30，在直角三角形 OMN 中，ON=圆 N 的半径为 则圆的面积为 13 故选：D 【点评】本题主要考查了二面角的平面角，以及解三角形知识，同时考查空间想象能力，分析问题解决问题的能力，属于基础题 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13（5 分）（1x）10的二项展开式中，x 的系数与 x9的系数之差为：0 【考点】DA：二项式定理【专题】11：计算题【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x 的指数分别取 1；9 求出展开式的 x 的系数与 x9的系数；求出两个系数的差【解答】解：展开式的通项为 Tr+1=（1）rC10rxr 所以展开式的 x 的系数10 x9的系数10 x 的系数与 x9的系数之差为（10）（10）=0 故答案为：0【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题 14（5 分）已知 a（，），tan=2，则 cos=【考点】GG：同角三角函数间的基本关系【专题】11：计算题【分析】先利用 的范围确定 cos 的范围，进而利用同脚三角函数的基本关系，求得 cos 的值【解答】解：a（，），cos0 cos=故答案为：【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用解题的关键是利用那个角的范围确定三角函数符号 15（5 分）已知正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为 C1D1的中点，则异面直线 AE与 BC 所成的角的余弦值为 【考点】LM：异面直线及其所成的角【专题】11：计算题；16：压轴题；31：数形结合；35：转化思想【分析】根据题意知 ADBC，DAE 就是异面直线 AE 与 BC 所成角，解三角形即可求得结果【解答】解：连接 DE，设 AD=2 易知 ADBC，DAE 就是异面直线 AE 与 BC 所成角，在RtADE 中，由于 DE=，AD=2，可得 AE=3 cosDAE=，故答案为：【点评】此题是个基础题考查异面直线所成角问题，求解方法一般是平移法，转化为平面角问题来解决，体现了数形结合和转化的思想 16（5 分）已知 F1、F2分别为双曲线 C：的左、右焦点，点 AC，点M 的坐标为（2，0），AM 为F1AF2的平分线，则|AF2|=6 【考点】KC：双曲线的性质【专题】16：压轴题【分析】利用双曲线的方程求出双曲线的参数值；利用内角平分线定理得到两条焦半径的关系，再利用双曲线的定义得到两条焦半径的另一条关系，联立求出焦半径【解答】解：不妨设 A 在双曲线的右支上 AM 为F1AF2的平分线=又|AF1|AF2|=2a=6 解得|AF2|=6 故答案为 6【点评】本题考查内角平分线定理；考查双曲线的定义：解有关焦半径问题常用双曲线的定义 三、解答题（共 6 小题，满分 70 分）17（10 分）设等比数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a2=6，6a1+a3=30，求 an和Sn 【考点】88：等比数列的通项公式；89：等比数列的前 n 项和【专题】54：等差数列与等比数列【分析】设出等比数列的公比为 q，然后根据等比数列的通项公式化简已知得两等式，得到关于首项与公比的二元一次方程组，求出方程组的解即可得到首项和公比的值，根据首项和公比写出相应的通项公式及前n 项和的公式即可【解答】解：设an的公比为 q，由题意得：，解得：或，当 a1=3，q=2 时：an=32n1，Sn=3（2n1）；当 a1=2，q=3 时：an=23n1，Sn=3n1【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式及前 n 项和的公式化简求值，是一道基础题 18（12 分）ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c已知 asinA+csinCasinC=bsinB，（）求 B；（）若 A=75，b=2，求 a，c 【考点】HU：解三角形【专题】11：计算题【分析】（）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转换成边的关系，代入余弦定理中求得 cosB 的值，进而求得 B（）利用两角和公式先求得 sinA 的值，进而利用正弦定理分别求得 a 和 c【解答】解：（）由正弦定理得 a2+c2ac=b2，由余弦定理可得 b2=a2+c22accosB，故 cosB=，B=45（）sinA=sin（30+45）=sin30cos45+cos30sin45=故 a=b=1+c=b=2=【点评】本题主要考查了解三角形问题 考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运用 19（12 分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为 0.3，设各车主购买保险相互独立（）求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率；（）求该地的 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率 【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；CN：二项分布与 n 次独立重复试验的模型【专题】5I：概率与统计【分析】（I）设该车主购买乙种保险的概率为 P，由相互独立事件概率公式可得P（10.5）=0.3，解可得 p，先求出该车主甲、乙两种保险都不购买的概率，由对立事件的概率性质计算可得答案（II）该地的 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买，是一个 n 次独立重复试验恰好发生 k 次的概率，根据上一问的结果得到该地的一位车主甲、乙两种保险都不购买的概率，代入公式得到结果【解答】解：（I）设该车主购买乙种保险的概率为 p，根据题意可得 p（10.5）=0.3，解可得 p=0.6，该车主甲、乙两种保险都不购买的概率为（10.5）（10.6）=0.2，由对立事件的概率该车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率 10.2=0.8（II）每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为 0.2，则该地的 3 位车主中恰有1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率 P=C310.20.82=0.384【点评】本题考查互斥事件的概率公式加法公式，考查 n 次独立重复试验恰好发生 k 次的概率，考查对立事件的概率公式，是一个综合题目 20（12 分）如图，四棱锥 SABCD 中，ABCD，BCCD，侧面 SAB 为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1（）证明：SD平面 SAB；（）求 AB 与平面 SBC 所成的角的大小 【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角【专题】11：计算题；14：证明题【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，即证明 SD 垂直于面 SAB 中两条相交的直线 SA，SB；在证明 SD 与 SA，SB 的过程中运用勾股定理即可（）求 AB 与平面 SBC 所成的角的大小即利用平面 SBC 的法向量，当为锐角时，所求的角即为它的余角；当为钝角时，所求的角为【解答】（）证明：在直角梯形ABCD 中，ABCD，BCCD，AB=BC=2，CD=1 AD=侧面 SAB 为等边三角形，AB=2 SA=2 SD=1 AD2=SA2+SD2 SDSA 同理：SDSB SASB=S，SA，SB 面 SAB SD平面 SAB（）建立如图所示的空间坐标系 则 A（2，1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），作出 S 在底面上的投影 M，则由四棱锥 SABCD 中，ABCD，BCCD，侧面 SAB为等边三角形知，M 点一定在 x 轴上，又 AB=BC=2，CD=SD=1 可解得 MD=，从而解得 SM=，故可得 S（，0，）则 设平面 SBC 的一个法向量为 则，即 取 x=0，y=，z=1 即平面 SBC 的一个法向量为=（0，1）又=（0，2，0）cos，=，=arccos 即 AB 与平面 SBC 所成的角的大小为 arcsin 【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角以及空间向量的基本知识，属于中档题 21（12 分）已知函数 f（x）=x3+3ax2+（36a）x+12a4（aR）（）证明：曲线 y=f（x）在 x=0 处的切线过点（2，2）；（）若 f（x）在 x=x0处取得极小值，x0（1，3），求 a 的取值范围 【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】（）求出函数 f（x）在 x=0 处的导数和 f（0）的值，结合直线方程的点斜式方程，可求切线方程；（）f（x）在 x=x0处取得最小值必是函数的极小值，可以先通过讨论导数的零点存在性，得出函数有极小值的 a 的大致取值范围，然后通过极小值对应的x0（1，3），解关于 a 的不等式，从而得出取值范围【解答】解：（）f（x）=3x2+6ax+36a 由 f（0）=12a4，f（0）=36a，可得曲线 y=f（x）在 x=0 处的切线方程为 y=（36a）x+12a4，当 x=2 时，y=2（36a）+12a4=2，可得点（2，2）在切线上 曲线 y=f（x）在 x=0 的切线过点（2，2）（）由 f（x）=0 得 x2+2ax+12a=0（1）方程（1）的根的判别式 当时，函数 f（x）没有极小值 当或时，由 f（x）=0 得 故 x0=x2，由题设可知（i）当时，不等式没有实数解；（ii）当时，不等式 化为 a+1a+3，解得 综合，得 a 的取值范围是【点评】将字母 a 看成常数，讨论关于 x 的三次多项式函数的极值点，是解决本题的难点，本题中处理关于 a 的无理不等式，计算也比较繁，因此本题对能力的要求比较高 22（12 分）已知 O 为坐标原点，F 为椭圆 C：在 y 轴正半轴上的焦点，过 F 且斜率为的直线 l 与 C 交于 A、B 两点，点 P 满足（）证明：点 P 在 C 上；（）设点 P 关于点 O 的对称点为 Q，证明：A、P、B、Q 四点在同一圆上 【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；KH：直线与圆锥曲线的综合【专题】15：综合题；16：压轴题；35：转化思想【分析】（1）要证明点 P 在 C 上，即证明 P 点的坐标满足椭圆 C 的方程，根据已知中过 F 且斜率为的直线 l 与 C 交于 A、B 两点，点 P 满足，我们求出点 P 的坐标，代入验证即可（2）若 A、P、B、Q 四点在同一圆上，则我们可以先求出任意三点确定的圆的方程，然后将第四点坐标代入验证即可【解答】证明：（）设 A（x1，y1），B（x2，y2）椭圆 C：，则直线 AB 的方程为：y=x+1 联立方程可得 4x22x1=0，则 x1+x2=，x1x2=则 y1+y2=（x1+x2）+2=1 设 P（p1，p2），则有：=（x1，y1），=（x2，y2），=（p1，p2）；+=（x1+x2，y1+y2）=（，1）；=（p1，p2）=（+）=（，1）p 的坐标为（，1）代入方程成立，所以点 P 在 C 上 （）设点 P 关于点 O 的对称点为 Q，证明：A、P、B、Q 四点在同一圆上 设线段 AB 的中点坐标为（，），即（，），则过线段AB的中点且垂直于AB的直线方程为：y=（x），即y=x+；P 关于点 O 的对称点为 Q，故 0（0.0）为线段 PQ 的中点，则过线段 PQ 的中点且垂直于 PQ 的直线方程为：y=x；联立方程组，解之得：x=，y=的交点就是圆心 O1（，），r2=|O1P|2=（）2+（1）2=故过 P Q 两点圆的方程为：（x+）2+（y）2=，把 y=x+1 代入，有 x1+x2=，y1+y2=1 A，B 也是在圆上的 A、P、B、Q 四点在同一圆上【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，向量在几何中的应用，其中判断点与曲线关系时，所使用的坐标代入验证法是解答本题的关键