2011年湖北高考数学试题及答案(理科).pdf

.2011 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(理科)考试说明：本卷分第一卷选择题和第二卷非选择题两局部，总分值 150 分，考试时间120 分钟。1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。2请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，在草稿纸和试卷上答题视为无效。3保持卡面清洁，不得折叠、不要弄皱，不准使用涂改液和刮纸刀等用具。第 I 卷选择题 一、选择题：本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。1.设复数121,2zi zbi，假设12zz为纯虚数，那么实数b A2 B2 C1 D 1 2.设，ab都是非零向量，假设函数()()()f xxxabab(xR)是偶函数，那么必有 Aab Bab C|ab D|ab 3.3a 是直线230axya和直线3(1)7xaya平行的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 4.设函数2()215f xxx，集合(),()Ax yf xBy yf x，那么右图中阴影局部表示的集合为 A0,3 B(0,3)C(5,03,4)D 5,0)(3,4 5.把函数)6sin(xy图象上各点的横坐标缩短到原来的21倍纵坐标不变，再将图象向右平移3个 单位，那么所得图象的一条对称轴方程为 A2x B4x C8x D4x 6.,a b为两条不同的直线，,为两个不同的平面，且a，b，那么以下命题中的假命题是 A假设ab，那么 B假设，那么ab C假设,a b相交，那么,相交 D假设,相交，那么,a b相交 7甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚刚所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中,1,2,3,4,5,6a b，假设1ab，就称甲乙“心有灵犀.现任意找两人玩这个游戏，那么他们“心有灵犀的概率为 B A.开始 T=1,n=1 T=Tn n输出 T n=n+1 结束 是 否 A19 B29 C718 D49 8函数2()cos()f nnn，且()(1)naf nf n，那么123100aaaa A0 B100 C100 D10200 第二卷 非选择题(共 110 分)二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每题 5 分，总分值 30 分.一必做题912 题 9某校有高级教师 26 人，中级教师 104 人，其他教师假设干人为了了解该校教师的工资收入情况，假设按分层抽样从该校的所有教师中抽取 56 人进行调查，从其他教师中共抽取了 16 人，那么该校共有教师 人 10圆柱形容器的内壁底半径是10cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，假设取出这个铁球，测得容器的水面下降了53cm，那么这个铁球的外表积为 2cm.11右图所示的算法流程图中，假设3a，那么输出的T值为 ；假设输出的120T，那么a的值为 *()aN.12()f x是R上的奇函数，2)1(f，且对任意xR都有(6)()(3)f xf xf成立，那么(3)f ；)2009(f .二选做题1315 题，考生只能从中选做两题 13 坐标系与参数方程选做题 坐标系与参数方程选做题假设直线 340 xym与曲线 sin2cos1yx 为参数没有公共 点，那么实数m的取值范围是_.14 不等式选讲选做题设关于x的不等式1xxa(aR).假设2a，那么不等式的解集 为 ；假设不等式的解集为，那么a的取值范围是 .15 几何证明选讲选做题如图，圆M与圆N交于AB、两点，以A为切点作两圆的切线分别交圆M和圆N于CD、两点，延长DB交圆M于点E，延长CB交圆N于点F，5BC，10BD，那么AB ；CFDE .A B C D MNE F.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解容许写出详细文字说明，证明过程或演算步骤.16(本小题总分值 12 分)设向量(sin,cos)xxa，(sin,3sin)xxb，xR，函数()(2)f x a ab.(1)求函数()f x的最大值与单调递增区间；(2)求使不等式()2fx成立的x的取值集合.17(本小题总分值 12 分)某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请 50 名一线教师参加，使用不同版 本教材的教师人数如下表所示：版本 人教 A 版 人教 B 版 苏教版 北师大版 人数 20 15 5 10 (1)从这 50 名教师中随机选出 2 名，求 2 人所使用版本相同的概率；(2)假设随机选出 2 名使用人教版的教师发言，设使用人教 A 版的教师人数为，求随机 变量的分布列和数学期望.18(本小题总分值 14 分)四棱锥PABCD中，PA 底面ABCD，且12PAABADCD，/ABCD，90ADC.(1)在侧棱PC上是否存在一点Q，使/BQ平面PAD？证明你的结论；(2)求证：平面PBC 平面PCD；(3)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值.19(本小题总分值 14 分)函数()logkf xxk为常数，0k 且1k ，且数列()nf a是首项为 4，公差为2 的等差 数列.(1)求证：数列 na是等比数列；(2)假设()nnnbaf a，当2k 时，求数列 nb的前n项和nS；(3)假设lgnnncaa，问是否存在实数k，使得 nc中的每一项恒小于它后面的项？假设存在，求出k的 范围；假设不存在，说明理由.20(本小题总分值 14 分)如图，设F是椭圆22221,(0)xyabab的左焦点，直线l为对应的准线，直线l与x轴交于P点，A P B C D Q FABPOxyMN.MN为椭圆的长轴，8MN，且|2|PMMF(1)求椭圆的标准方程；(2)求证：对于任意的割线PAB，恒有AFMBFN；(3)求三角形ABF 面积的最大值 21(本小题总分值 14 分)设函数()lnf xxx(0)x.(1)求函数()f x的最小值；(2)设2()()F xaxfx()aR，讨论函数()F x的单调性；(3)斜率为k的直线与曲线()yfx交于11(,)A x y、22(,)B xy12()xx两点，求证：121xxk.【答案及详细解析】一、选择题：本大题理科共 8 小题，每题 5 分，共 40 分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。1.A.【解析】12221(1)(2)(2)(2)244ziibibb izbibb为纯虚数，得20b，即2b .【链接高考】本小题考查复数的概念和复数的根本运算，难度不大，属于送分题.2.C.【解 析】222()()()()()f xxxxx ababa baba b为 偶 函 数，得()()fxf x恒成立，故220ab，即22ab，故|ab.【链接高考】本小题考查偶函数的定义和向量的根本运算，表达了在知识网络的交汇处命题的指导思想，属于小综合的根底题.3C.【解析】当3a 时，直线3290 xy和直线324xy 平行；反之，假设两直线平行，那么它们 的斜率相等，得321aa，解得：3a 或2a .但检验知，当2a 时，直线2260 xy和直线339xy 重合.故3a 是这两直线平行的充要条件.【链接高考】本小题考查解析几何中两直线平行关系的判定和充要条件的概念，考生容易错选 A，忽略了斜率相等时两直线除平行以外还可能重合，这提醒我们在解决这类问题时考虑要细致，要注意检验！4D.【解析】由22150 xx即22150 xx，得53x，故 5,3A .由22()215(1)160,4f xxxx，得0,4B.从而 5,4AB ，0,3AB.阴影局部表示由在AB内且不在AB内的元素构成的集合，故答案选 D.【链接高考】本小题考查集合的概念、函数的定义域和值域等知识，并通过韦恩图“隐性考查集合的交、并、补等根本运算，题目设置巧妙，令人耳目一新.审题时，要注意集合A和B是不同的，分别表示函数()f x的定义域和值域.5A.【解析】)6sin(xy图象上各点的横坐标缩短到原来的21倍纵坐标不变，得到函 数sin(2)6yx；再 将 图 象 向 右 平 移3个 单 位，得 函 数sin2()sin(2)362yxx，2x是其图象的一条对称轴方程.【链接高考】本小题综合考查三角函数的图象变换和性质.图象变换是考生很容易搞错的问题，值得重视.一般地，sin()yAx的图象有无数条对称轴，它在这些对称轴上一定取得最大值或最小值.6D.【解析】假设,相交，那么,a b可能相交，也可能异面，故 D 为假命题.【链接高考】本小题主要考查空间中线、面的各种位置关系，解题时要灵活运用立体几何中各位置关系的判定定理和性质定理，并借助空间想象寻找反例，判断命题的真假，这种类型的问题在高考选择题中非常普遍.选项 A、B 易证是真命题，选项 C 可用反证法证之.7D.【解析】任意找两人玩这个游戏，共有6 636中猜字结果，其中满足1ab的有如下情形：假设1a，那么1,2b；假设2a，那么1,2,3b；假设3a，那么2,3,4b；假设4a，那么3,4,5b；假设5a，那么4,5,6b；假设6a，那么5,6b，总共 16 种，故他们“心有灵犀的概率为164369P.【链接高考】本小题是古典概型问题，属于高考新增内容，解题的关键是准确的分类，得到他们“心有灵犀的各种情形.8B.【解析】2222()cos()(1)()nnnf nnnnnn 为奇数）为偶数，由212221()(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(21)nnnnnaf nf nnnnnn ，得 1231003(5)7(9)199(201)50(2)100aaaa .【链接高考】本小题是一道分段数列的求和问题，综合三角知识，主要考查分析问题和解决问题的能 力.二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每题 5 分，总分值 30 分.一必做题912 题 9.52.【解析】设该校其他教师有x人，那么16,5226 10456xxx，故全校教师共有2610452182人.【链接高考】统计是高考的新增内容,要求不高,但概念要清晰.10.100.【解析】设实心铁球的半径为R，那么32451033R，得5R，故这个铁球的外表 积为24100SR2cm.【链接高考】本小题是立体几何的应用题，涉及圆柱的体积和球的外表积、体积的计算，考查考生理解、解决实际问题的能力.11.2；6.【解析】假设3a，那么输出的1 22T ，假设输出的1201 2 3 4 5T ，那么5 16n ，故a的值为 6.【链接高考】算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的广东高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视.12.0；2.【解析】在(6)()(3)f xf xf中，令3x ，得(3)(3)(3)fff，即(3)0f，又()f x是R上的奇函数，故(3)0f，故(6)()f xf x，知()f x是周期为 6 的周期函数，从而 2)1()1()5()53346()2009(fffff.【链接高考】此题是一道抽象函数问题，题目的设计“小而巧，解题的关键是巧妙的赋值，利用其奇偶性得到函数的周期性，再利用周期性求函数值.“赋值法是解决抽象函数问题的根本方法.二选做题1315 题，考生只能从中选做两题 13.10m 或0m.【解析】曲线 sin2cos1yx 为参数 的普通方程是22(1)(2)1xy圆心1,2到直线340 xym的距离223 1 4(2)5534mmd，令515m，得10m 或0m.【链接高考】本小题主要考查圆的参数方程、直线与圆位置关系的有关知识,以及转化与化归的思想方法.14.1 3(,)2 2；(,1.【解析】2a 时，不等式12xx化为012xxx 或0112xxx 或 112xxx，解得102x或01x或312x，即1322x，故不等式的解集为1 3(,)2 2；因为1(1)1xxxx，所以假设不等式1xxa的解集为，那么a的取值范围是1a.【链接高考】本小题主要考查含绝对值的不等式的解法，以及绝对值三角不等式的性质.这类问题是高考选做题中的常规题，解题方法要熟练掌握.15.5 2；1.【解析】根据弦切角定理，知BACBDA，ACBDAB，故ABCDBA，那么ABBCDBBA，故250,5 2ABBC BDAB.根据切割线定理，知2CACB CF，2DADB DE，两式相除，得22CACB CFDADB DE*.由ABCDBA，得5 22102ACABDADB，2212CADA，又51102CBDB，由*得1CFDE.【链接高考】本小题主要考查圆的切线及有关知识，如弦切角定理和切割线定理，以及分析问题与解决问题的能力、转化与化归的思想方法.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.解：(1)2()(2)2f x a abaa b222sincos2(sin3sincos)xxxxx 2 分 311 1 cos23sin222(sin 2cos2)22xxxx 4分 22(sin 2 coscos2 sin)22sin(2)666xxx.5分 当sin(2)16x时，()f x取得最大值4.6 分 由222262kxk，得63kxk()k Z，()f x的单调递增区间为,63kk()k Z.8 分(2)由()22sin(2)6f xx，得()4cos(2)6fxx.9 分 由()2fx，得1cos(2)62x，那么222363kxk，11 分 即124kxk()k Z.使不等式()2fx成立的x的取值集合为.,124x kxkkZ.12 分【链接高考】向量、导数都是数学解题的重要工具，同时又是新旧知识的一个重要的交汇点.解决此题的关键是，利用两个向量数量积的坐标运算，将问题转化为三角函数问题来处理，其中三角降幂公式和合一变换公式是三角变换中最常用的公式，一定要熟练记忆.另外对()f x求导要注意是复合函数求导.17.解：(1)从50名教师随机选出2名的方法数为2501225C，1 分 选出2人使用版本相同的方法数为22222015510350CCCC，3 分 故2人使用版本相同的概率为350212257P.5 分(2)的所有可能取值为0，1，2.6 分 173CC)0(235215P，7 分 112015235C60(1)C119CP，8 分 11938CC)2(235220P.9 分 的分布列为 10 分 360381368012171191191197E .12 分【链接高考】概率统计的综合题，一般考察概率与期望的计算，在高考中占有极其重要的地位，几乎每年高考都有一道大题，大都属于比拟根底的中档题，因此是历年高考的“兵家必争之地.18.(1)解：当Q为侧棱PC中点时，有/BQ平面PAD.证明如下：如图，取PD的中点E，连AE、EQ.Q为PC中点，那么EQ为PCD的中位线，/EQCD且12EQCD.0 1 2 P 173 11960 11938 A P B D Q E l x z y./ABCD且12ABCD，/EQAB且EQAB，四边形ABQE为平行四边形，那么/BQAE.BQ 平面PAD，AE 平面PAD，/BQ平面PAD.4 分 (2)证：PA 底面ABCD，PACD.ADCD，PAADA，CD 平面PAD.AE 平面PAD，CDAE.PAAD，E为PD中点，AEPD.CDPDD，AE 平面PCD./BQAE，BQ 平面PCD.BQ 平面PBC，平面PBC 平面PCD.9 分 (3)解法一：设平面PAD平面PBCl./BQ平面PAD，BQ 平面PBC，/BQl.BQ 平面PCD，l 平面PCD，,lPD lPC.故DPC就 是 平 面PAD与 平 面PBC所 成 锐 二 面 角 的 平 面角.12 分 CD 平面PAD，CDPD.设12PAABADCDa，那么222PDPAADa，226PCCDPDa，故3cos3PDDPCPC.平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为33.14 分 解法二：如图建立直角坐标系，设1,2PAABADCD，那么(0,0,0)A,(0,1,0),(1,2,0),(0,0,1)BCP，那么(0,1,1)PB，(1,1,0)BC .设平面PBC的法向量为(,)nx y z，那么 由00n PBn BC00yzxyzxy，取(1,1,1)n.11 分 由CD 平面PAD，/ABCD，知AB 平面PAD，平面PAD的法向量为(0,1,0)AB.12 分 设所求锐二面角的大小为，那么13cos313AB nABn.所求锐二面角的的余弦值为33.14 分【链接高考】此题主要考查四棱锥的有关知识，涉及线面、面面位置关系的判定与证明，还有二面角的计算.高考立体几何综合题大都以棱柱和棱锥为载体，综合考查空间想象能力和分析、解决问题的能力.空间角的计算一般有传统法和坐标向量法两种根本方法，前者着.重思维，后者重在向量的坐标运算，各有优点，解题时既要具体问题具体分析，又要考虑到考生本人对这两种方法掌握的熟练程度而定.19.(1)证：由题意()4(1)222nf ann，即log22knan，1 分 22nnak，2(1)22122nnnnakkak.2 分 常数0k 且1k，2k为非零常数，数列 na是以4k为首项，2k为公比的等比数列.3 分(2)解：由(1)知，22()(22)nnnnba f akn，当2k 时，12(22)2(1)2nnnbnn.4 分 25432)1(242322nnnS，2nS 45232 23 22(1)2nnnn.5 分，得345232 2222(1)2nnnSn 3345232(2222)(1)2nnn 3332(12)2(1)212nnnSn 32nn.8 分(3)解：由(1)知，22lg(22)lgnnnncaankk，要使1nncc对一切*nN成立，即2(1)lg(2)lgnknkk对一切*nN成立.9 分 当1k 时，lg0k，21(2)nnk 对 一 切*nN恒 成立；10 分 当01k时，lg0k，21(2)nnk 对 一 切*nN恒 成 立，只 需2min12nkn，11 分 11122nnn 单调递增，当1n 时，min1223nn.12 分 223k，且01k，603k.13 分 综上所述，存在实数6(0,)(1,)3k 满足条件.14 分【链接高考】此题综合考查数列的根本知识、方法和运算能力，以及分类讨论和化归、转化的思想方法.错位相减法是数列求和的一种重要方法，备考复习中要引起重视.20.(1)解：8MN，4a，又|2|PMMF，12e，2222,12cbac，椭圆的标准方程为2211612xy 3 分(2)证：当AB的斜率为 0 时，显然0AFMBFN，满足题意，当AB的斜率不为 0 时，设AB方程为8xmy，代入椭圆方程整理得：22(34)481440mymy 2576(4)m，24834ABmyym，214434ABy ym 那么22ABAFBFAByykkxx(6)(6)66(6)(6)ABABBAABAByyymyymymymymymy 26()(6)(6)ABABABmy yyymymy，而221444826()2603434ABABmmy yyymmm 0AFBFkk，从而AFMBFN 综合可知：对于任意的割线PAB，恒有AFMBFN 8 分(3)解：221724234ABFPBFPAFBAmSSSPFyym，即：222272472723 3163(4)162 3 16344ABFmSmmm，当且仅当2216344mm，即2 213m 此时适合于0的条件取到等号 ABF面积的最大值是33 14 分【链接高考】解析几何的综合题，根本上是每年都有一道大题，主要考查直线与圆锥曲线的位置关系.其中字母运算能力和综合分析、解决问题的能力是考生最薄弱的一环.此题中的第二、第三问都突出表达了解析几何中化归、转化的思想方法，以到达化繁为简的目的，值得我们深思.21.(1)解：()ln1fxx(0)x，令()0fx，得1xe.2 分 当1(0,)xe时，()0fx；当1(,)xe时，()0fx，3 分 当1xe时，.min111()lnf xeee.4 分(2)2()ln1F xaxx(0)x，2121()2(0)axF xaxxxx.5 分 当0a时，恒 有()0F x，()F x在),0(上 是 增 函数；6 分 当0a时，令()0F x，得2210ax ，解得102xa；7 分 令()0F x，得2210ax ，解得12xa.8 分 综上，当0a时，()F x在),0(上是增函数；当0a时，()F x在1(0,)2a上 单 调递增，在1(,)2a上 单调递减.9 分(3)证：21212121()()lnlnfxfxxxkxxxx.要证121xxk，即证211221lnlnxxxxxx，等价于证21221111lnxxxxxx，令21xtx，那么只要证11lnttt，由1t 知ln0t，故等价于证ln1ln(1)tttt t (*).设()1 ln(1)g ttt t ，那么1()10(1)g ttt，故()g t在1,)上是增函数，当1t 时，()1 ln(1)0g tttg ，即1ln(1)tt t.设()ln(1)(1)h ttttt，那么()ln0(1)h ttt，故()h t在1,)上是增函数，当1t 时，()ln(1)(1)0h tttth，即1ln(1)ttt t.由知(*)成立，得证.14 分【链接高考】自从导数走进高考，就一直和函数、方程与不等式形影不离，并且经常扮演高考压轴题的重要角色，预计未来的高考，导数还会继续发挥其巨大的工具功能，与其它知识紧密结合，展示其独特的魅力.此题中对函数单调性的分类讨论、构造函数利用导数方法证明不等式都是难点，对综合能力的考查到达了相当的高度.