2018年高考数学总复习第10章第5讲古典概型含解析.pdf

第 5 讲 古典概型 最新考纲 1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.知 识 梳 理 1.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.2.古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.(2)每个基本事件出现的可能性相等.3.如果一次试验中可能出现的结果有 n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n；如果某个事件 A 包括的结果有 m 个，那么事件 A 的概率 P(A)mn.4.古典概型的概率公式 P(A)A包含的基本事件的个数基本事件的总数.诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“”或“”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”.()(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件.()(3)从3，2，1，0，1，2 中任取一数，取到的数小于 0 与不小于 0 的可能性相同.()(4)利用古典概型的概率可求“在边长为 2 的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于 1”的概率.()解析 对于(1)，发芽与不发芽不一定是等可能，所以(1)不正确；对于(2)，三个事件不是等可能，其中“一正一反”应包括正反与反正两个基本事件，所以(2)不正确；对于(4)，应利用几何概型求概率，所以(4)不正确.答案(1)(2)(3)(4)2.(必修 3P127 例 3 改编)掷两颗均匀的骰子，则点数之和为 5 的概率等于()A.118 B.19 C.16 D.112 解析 所有基本事件的个数为 6636，点数之和为 5 的基本事件有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)共 4 个，故所求概率为P43619.答案 B 3.(2016北京卷)从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人，则甲被选中的概率为()A.15 B.25 C.825 D.925 解析 甲被选中的概率为 PC11C14C2541025.答案 B 4.(2017嘉兴一模)从 3 名男同学，2 名女同学中任选 2 人参加知识竞赛，则选到的 2 名同学中至少有 1 名男同学的概率是_.解析 所求概率为 P1C22C25910.答案 910 5.从 1，2，3，4，5，6 这 6 个数字中，任取 2 个数字相加，其和为奇数的概率是_.解析 和为奇数的两个数为一奇一偶，故所求概率为PC13C13C2691535.答案 35 6.(2017金华十校联考)如果下了课后，教室里最后还剩下 3 位女同学，2 位男同学，一会儿又走了一位女同学.如果没有两位同学一块儿走，则下一位是男同学走的可能性为_.解析 已知走了一位女同学，还剩下两位女同学和两位男同学，所有走的可能顺序为(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)一共 6 种.那么下一位是男同学的可能性只有(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，故 P3612，下一位是女同学走的可能性为 11212.答案 12 考点一 基本事件与古典概型的判断【例 1】袋中有大小相同的 5 个白球，3 个黑球和 3 个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球.(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？(2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？解(1)由于共有 11 个球，且每个球有不同的编号，故共有 11 种不同的摸法.又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型.(2)由于 11 个球共有 3 种颜色，因此共有 3 个基本事件，分别记为 A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”，又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为111，而白球有5 个，故一次摸球摸到白球的可能性为511，同理可知摸到黑球、红球的可能性均为311，显然这三个基本事件出现的可能性不相等，所以以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型.规律方法 古典概型需满足两个条件：对于每次随机试验来说，只可能出现有限个不同的试验结果；对于所有不同的试验结果而言，它们出现的可能性是相等的.【训练 1】(1)下列问题中是古典概型的是()A.种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率 B.掷一颗质地不均匀的骰子，求出现 1 点的概率 C.在区间1，4上任取一数，求这个数大于 1.5 的概率 D.同时掷两颗骰子，求向上的点数之和是 5 的概率(2)将一枚硬币抛掷三次共有_种结果.解析(1)A、B 两项中的基本事件的发生不是等可能的；C 项中基本事件的个数是无限多个；D 项中基本事件的发生是等可能的，且是有限个.(2)设出现正面为 1，反面为 0，则共有(1，1，1)，(1，1，0)，(1，0，1)，(1，0，0)，(0，1，1)，(0，1，0)，(0，0，1)，(0，0，0)8 种结果.答案(1)D(2)8 考点二 简单的古典概型的概率【例 2】将一颗骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数，求：(1)两数中至少有一个奇数的概率；(2)以第一次向上点数为横坐标 x，第二次向上的点数为纵坐标 y 的点(x，y)在圆x2y215 的外部或圆上的概率.解 由题意，先后掷 2 次，向上的点数(x，y)共有 n6636 种等可能结果，为古典概型.(1)记“两数中至少有一个奇数”为事件 B，则事件 B 与“两数均为偶数”为对立事件，记为B.事件B包含的基本事件数 mC13C139.P(B)93614，则 P(B)1P(B)34，因此，两数中至少有一个奇数的概率为34.(2)点(x，y)在圆 x2y215 的内部记为事件 C，则C表示“点(x，y)在圆 x2y215 上或圆的外部”.又事件 C 包含基本事件：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)共有 8 个.P(C)83629，从而 P(C)1P(C)12979.点(x，y)在圆 x2y215 上或圆外部的概率为79.规律方法 计算古典概型的概率可分三步：(1)算出基本事件的总个数 n；(2)求出事件 A 所包含的基本事件个数 m；(3)代入公式求出概率 P.解题时可根据需要灵活选择列举法、列表法或树形图法.【训练 2】(1)(2015广东卷)袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有10 个白球，5 个红球.从袋中任取 2 个球，所取的 2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球的概率为()A.521 B.1021 C.1121 D.1(2)(2016江苏卷)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有 1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具)先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和小于 10 的概率是_.解析(1)从袋中任取 2 个球共有 C215105 种取法，其中恰好 1 个白球 1 个红球共有 C110C1550 种取法，所以所取的球恰好1 个白球 1 个红球的概率为501051021.(2)将一颗质地无均匀的骰子先后抛掷 2 次，所有等可能的结果有 36 种，其中点数之和不小于 10 的有(6，6)，(6，5)，(6，4)，(5，6)，(5，5)，(4，6)，共 6 种，故所求概率为 163656.答案(1)B(2)56 考点三 复杂的古典概型的概率【例 3】(2015四川卷改编)某市 A，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了 3 名男生、2 名女生，B 中学推荐了 3 名男生、4 名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取 3人、女生中随机抽取3 人组成代表队.(1)求 A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛，求参赛女生人数不少于 2 人的概率.解(1)由题意，参加集训的男、女生各有 6 名.参赛学生全从 B 中学抽取(等价于 A 中学没有学生入选代表队)的概率为C33C34C36C361100，因此，A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率为 1110099100.(2)设“参赛的 4 人中女生不少于 2 人”为事件 A，记“参赛女生有 2 人”为事件B，“参赛女生有 3 人”为事件 C.则 P(B)C23C23C4635，P(C)C33C13C4615.由互斥事件的概率加法，得 P(A)P(B)P(C)351545，故所求事件的概率为45.规律方法(1)求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解.(2)注意区别排列与组合，以及计数原理的正确使用.【训练 3】(2016威海模拟)一个盒子里装有大小均匀的 6 个小球，其中有红球 4个，编号分别为 1，2，3，4，白球 2 个，编号分别为 4，5，从盒子中任取 3 个小球(假设取到任何一个小球的可能性相同).(1)求取出的 3 个小球中，含有编号为 4 的小球的概率；(2)在取出的 3 个小球中，求小球编号最大值为 4 的概率.解 基本事件总数为 nC3620，(1)取出的 3 个小球中，含有编号为 4 的小球的基本事件个数为 mC12C24C22C1416，取出的 3 个球中，含有编号为 4 的小球的概率 Pmn162045.(2)小球编号最大值为 4 的基本事件个数为 C23C12C13C229，所以，小球编号最大值为 4 的概率 P920.思想方法 1.古典概型计算三步曲 第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A 是什么，它包含的基本事件有多少个.2.确定基本事件个数的方法 列举法、列表法、树状图法或利用排列、组合.易错防范 1.古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，它们是不是等可能的.2.对较复杂的古典概型，其基本事件的个数常涉及排列数、组合数的计算，计算时要首先判断事件是否与顺序有关，以确定是按排列处理，还是按组合处理.基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、选择题 1.集合 A2，3，B1，2，3，从 A，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于 4 的概率是()A.23 B.12 C.13 D.16 解析 从 A，B 中任意取一个数，共有 C12C136 种情形，两数和等于 4 的情形只有(2，2)，(3，1)两种，P2613.答案 C 2.(2017黄山一模)从 1，2，3，4，5 中任取 3 个不同的数，则取出的 3 个数可作为三角形的三边边长的概率是()A.310 B.15 C.12 D.35 解析 从 1，2，3，4，5 中任取 3 个不同的数的基本事件数有 C3510 种.根据三角形三边关系能构成三角形的只有(2，3，4)，(2，4，5)，(3，4，5)共 3 个基本事件，故所求概率为 P3C35310.答案 A 3.(2017台州调研)某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为 x，第二次向上的点数记为 y，在直角坐标系 xOy 中，以(x，y)为坐标的点落在直线 2xy1 上的概率为()A.112 B.19 C.536 D.16 解析 落在 2xy1 上的点有(1，1)，(2，3)，(3，5)共 3 个，故所求的概率为P366112.答案 A 4.(2017台州调研)一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为 a，b，c，当且仅当 ab，bc 时称为“凹数”(如 213，312 等)，若 a，b，c1，2，3，4，且 a，b，c 互不相同，则这个三位数是“凹数”的概率是()A.16 B.524 C.13 D.724 解析 选出一个三位数有 A3424 种情况，取出一个凹数有 C3428 种情况，所以，所求概率为 P82413.答案 C 5.如图，三行三列的方阵中有九个数 aij(i1，2，3；j1，2，3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是()a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33 A.37 B.47 C.114 D.1314 解析 从九个数中任取三个数的不同取法共有 C3984 种，因为取出的三个数分别位于不同的行与列的取法共有 C13C12C116 种，所以至少有两个数位于同行或同列的概率为 16841314.答案 D 二、填空题 6.(2015江苏卷)袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球，1 只红球，2只黄球，从中一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为 _.解析 这两只球颜色相同的概率为C22C2416，故两只球颜色不同的概率为 11656.答案 56 7.(2016 上海卷)某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为_.解析 甲同学从四种水果中选两种，选法种数有 C24，乙同学的选法种数为 C24，则两同学的选法种数为 C24C24，两同学各自所选水果相同的选法种数为 C24，由古典概型概率计算公式可得，甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为 PC24C24C2416.答案 16 8.高一某班级在学校数学嘉年华活动中推出了一款数学游戏，受到大家的一致追捧.游戏规则如下：游戏参与者连续抛掷一颗质地均匀的骰子，记第 i 次得到的点数为 xi，若存在正整数 n，使得 x1x2xn6，则称 n 为游戏参与者的幸运数字.(1)游戏参与者的幸运数字为 1 的概率为_；(2)游戏参与者的幸运数字为 2 的概率为_.解析(1)设“游戏参与者的幸运数字为 1”为事件 A，由题意知 x16，抛掷了 1 次骰子，相应的基本事件空间为 A1，2，3，4，5，6，共有 6 个基本事件，而 A6，只有 1 个基本事件，所以 P(A)16.(2)设“游戏参与者的幸运数字为 2”为事件 B，由题意知 x1x26，抛掷了 2 次骰子，相应的基本事件空间为 B(x1，x2)|1x16，1x26，x1N，x2N，共有 36 个基本事件，而 B(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，共有 5 个基本事件，所以 P(B)536.答案(1)16(2)536 三、解答题 9.海关对同时从 A，B，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取 6 件样品进行检测.地区 A B C 数量 50 150 100(1)求这 6 件样品中来自 A，B，C 各地区商品的数量；(2)若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测，求这 2 件商品来自相同地区的概率.解(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650150100150，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：501501，1501503，1001502.所以 A，B，C 三个地区的商品被选取的件数分别为 1，3，2.(2)从 6 件样品中抽取 2 件商品的基本事件数为 C26652115，每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的.记事件 D：“抽取的这 2 件商品来自相同地区”，则事件 D 包含的基本事件数为 C23C224，所以 P(D)415.故这 2 件商品来自相同地区的概率为415.10.一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字 1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取 3 次，每次抽取 1 张，将抽取的卡片上的数字依次记为 a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足 abc”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字 a，b，c 不完全相同”的概率.解(1)由题意，(a，b，c)所有的可能的结果有 3327(种).设“抽取的卡片上的数字满足 abc”为事件 A，则事件 A 包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共 3 种.所以 P(A)32719.因此，“抽取的卡片上的数字满足 abc”的概率为19.(2)设“抽取的卡片上的数字 a，b，c 不完全相同”为事件 B，则事件 B 包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共 3 种.所以 P(B)1P(B)132789.因此，“抽取的卡片上的数字 a，b，c 不完全相同”的概率为89.能力提升题组(建议用时：25 分钟)11.随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5 的概率记为 p1，点数之和大于 5 的概率记为 p2，点数之和为偶数的概率记为 p3，则()A.p1p2p3 B.p2p1p3 C.p1p3p2 D.p3p1p2 解析 随机掷两枚质地均匀的骰子，所有可能的结果共有 36 种.事件“向上的点数之和不超过 5”包含的基本事件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(4，1)共 10 种，其概率 p11036518.事件“向上的点数之和大于 5”与“向上的点数之和不超过 5”是对立事件，所以“向上的点数之和大于 5”的概率 p21318.因为朝上的点数之和不是奇数就是偶数，所以“点数之和为偶数”的概率 p312.故 p1p3p2.答案 C 12.(2017金华质检)安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为()A.115 B.15 C.14 D.12 解析 由题意，甲连续三天参加活动的所有情况为：第 13 天，第 24 天，第35 天，第 46 天，共 4 种.故所求事件的概率 P4A33C36A3315.答案 B 13.(2017台州质量评估)某艺校在一天的 6 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各 1 节，则在课程表上的相邻两节文化课之间至少间隔 1 节艺术课的概率为_(用数字作答).解析 法一 6 节课的全排列为 A66种，相邻两节文化课之间至少间隔 1 节艺术课的排法是：先排三节文化课，再利用插空法排艺术课，即为(A33C23A22A222A33A33)种，由古典概型概率公式得 P(A)A33C23A22A222A33A33A6615.法二 6 节课的全排列为 A66种，先排三节艺术课有 A33种不同方法，同时产生四个空，再利用插空法排文化课共有 A34种不同方法，故由古典概型概率公式得 P(A)A33A34A6615.答案 15 14.甲、乙两校各有 3 名教师报名支教，其中甲校 2 男 1 女，乙校 1 男 2 女.(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名，求选出的 2 名教师性别相同的概率；(2)若从报名的 6 名教师中任选 2 名，求选出的 2 名老师来自同一学校的概率.解(1)从甲、乙两校报名的教师中各选 1 名，共有 nC13C139 种选法.记“2 名教师性别相同”为事件 A，则事件 A 包含基本事件总数 mC12 1C12 14，P(A)mn49.(2)从报名的 6 人中任选 2 名，有 nC2615 种选法.记“选出的 2 名老师来自同一学校”为事件 B，则事件 B 包含基本事件总数 m2C236.选出 2 名教师来自同一学校的概率 P(B)61525.15.袋中装有黑球和白球共 7 个，从中任取 2 个球都是白球的概率为17，现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的.(1)求袋中原有白球的个数；(2)求取球 2 次即终止的概率；(3)求甲取到白球的概率.解(1)设袋中原有 n 个白球，从袋中任取 2 个球都是白球的结果数为 C2n，从袋中任取 2 个球的所有可能的结果数为 C27.由题意知从袋中任取2 球都是白球的概率PC2nC2717，则n(n1)6，解得 n3(舍去 n2)，即袋中原有 3 个白球.(2)设事件 A 为“取球 2 次即终止”.取球 2 次即终止，即乙第一次取到的是白球而甲取到的是黑球，P(A)C14C13C17C16437627.(3)设事件 B 为“甲取到白球”，“第 i 次取到白球”为事件 Ai，i1，2，3，4，5，因为甲先取，所以甲只可能在第 1 次，第 3 次和第 5 次取到白球.所以 P(B)P(A1A3A5)P(A1)P(A3)P(A5)374337654321376543376351352235.