2015年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含答案及解析).pdf

2015 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1（5 分）设复数 z 满足=i，则|z|=（）A1 B C D2 2（5 分）sin20cos10cos160sin10=（）A B C D 3（5 分）设命题 p：nN，n22n，则p 为（）A nN，n22n B nN，n22n C nN，n22n D nN，n2=2n 4（5 分）投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）A0.648 B0.432 C0.36 D0.312 5（5 分）已知 M（x0，y0）是双曲线 C：=1 上的一点，F1，F2是 C 的左、右两个焦点，若0，则 y0的取值范围是（）A B C D 6（5 分）九章算术 是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有（）A14 斛 B22 斛 C36 斛 D66 斛 7（5 分）设 D 为ABC 所在平面内一点，则（）A B C D 8（5 分）函数 f（x）=cos（x+）的部分图象如图所示，则 f（x）的单调递减区间为（）A（k，k+），kz B（2k，2k+），kz C（k，k+），kz D（，2k+），kz 9（5 分）执行如图所示的程序框图，如果输入的 t=0.01，则输出的 n=（）A5 B6 C7 D8 10（5 分）（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为（）A10 B20 C30 D60 11（5 分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为16+20，则 r=（）A1 B2 C4 D8 12（5 分）设函数 f（x）=ex（2x1）ax+a，其中 a1，若存在唯一的整数x0使得 f（x0）0，则 a 的取值范围是（）A）B）C）D）二、填空题（本大题共有 4 小题，每小题 5 分）13（5 分）若函数 f（x）=xln（x+）为偶函数，则 a=14（5 分）一个圆经过椭圆=1 的三个顶点 且圆心在 x 轴的正半轴上 则该圆标准方程为 15（5 分）若 x，y 满足约束条件则的最大值为 16（5 分）在平面四边形 ABCD 中，A=B=C=75BC=2，则 AB 的取值范围是 三、解答题：17（12 分）Sn为数列an的前 n 项和，已知 an0，an2+2an=4Sn+3（I）求an的通项公式：（）设 bn=，求数列bn的前 n 项和 18（12 分）如图，四边形 ABCD 为菱形，ABC=120，E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点，BE 丄平面 ABCD，DF 丄平面 ABCD，BE=2DF，AE 丄 EC（）证明：平面 AEC 丄平面 AFC（）求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值 19（12 分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x（单位：千元）对年销售量 y（单位：t）和年利润 z（单位：千元）的影响，对近 8 年的年宣传费 xi和年销售量 yi（i=1，2，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值 （xi）2（wi）2（xi）（yi）（wi）（yi）46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中 wi=i，=（）根据散点图判断，y=a+bx 与 y=c+d哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（）根据（）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；（）已知这种产品的年利润 z 与 x、y 的关系为 z=0.2yx根据（）的结果回答下列问题：（i）年宣传费 x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）.（un vn），其回归线 v=+u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=20（12 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C：y=与直线 l：y=kx+a（a0）交于 M，N 两点（）当 k=0 时，分別求 C 在点 M 和 N 处的切线方程（）y 轴上是否存在点 P，使得当 k 变动时，总有OPM=OPN？（说明理由）21（12 分）已知函数 f（x）=x3+ax+，g（x）=lnx（i）当 a 为何值时，x 轴为曲线 y=f（x）的切线；（ii）用 minm，n表示 m，n 中的最小值，设函数 h（x）=minf（x），g（x）（x0），讨论 h（x）零点的个数 选修 4 一 1:几何证明选讲 22（10 分）如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，BC 交O 于点 E（）若 D 为 AC 的中点，证明：DE 是O 的切线；（）若 OA=CE，求ACB 的大小 选修 4 一 4：坐标系与参数方程 23（10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x=2，圆 C2：（x1）2+（y2）2=1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（）求 C1，C2的极坐标方程；（）若直线 C3的极坐标方程为=（R），设 C2与 C3的交点为 M，N，求C2MN 的面积 选修 4 一 5：不等式选讲 24（10 分）已知函数 f（x）=|x+1|2|xa|，a0（）当 a=1 时，求不等式 f（x）1 的解集；（）若 f（x）的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围 2015 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1（5 分）设复数 z 满足=i，则|z|=（）A1 B C D2 【考点】A8：复数的模【专题】11：计算题；5N：数系的扩充和复数【分析】先化简复数，再求模即可【解答】解：复数 z 满足=i，1+z=izi，z（1+i）=i1，z=i，|z|=1，故选：A【点评】本题考查复数的运算，考查学生的计算能力，比较基础 2（5 分）sin20cos10cos160sin10=（）A B C D 【考点】GP：两角和与差的三角函数【专题】56：三角函数的求值【分析】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可【解答】解：sin20cos10cos160sin10=sin20cos10+cos20sin10=sin30=故选：D【点评】本题考查诱导公式以及两角和的正弦函数的应用，基本知识的考查 3（5 分）设命题 p：nN，n22n，则p 为（）A nN，n22n B nN，n22n C nN，n22n D nN，n2=2n 【考点】2J：命题的否定【专题】5L：简易逻辑【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论【解答】解：命题的否定是：nN，n22n，故选：C【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础 4（5 分）投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）A0.648 B0.432 C0.36 D0.312 【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式【专题】5I：概率与统计【分析】判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可【解答】解：由题意可知：同学 3 次测试满足 XB（3，0.6），该同学通过测试的概率为=0.648 故选：A【点评】本题考查独立重复试验概率的求法，基本知识的考查 5（5 分）已知 M（x0，y0）是双曲线 C：=1 上的一点，F1，F2是 C 的左、右两个焦点，若0，则 y0的取值范围是（）A B C D 【考点】KC：双曲线的性质【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用向量的数量积公式，结合双曲线方程，即可确定 y0的取值范围【解答】解：由题意，=（x0，y0）（x0，y0）=x023+y02=3y0210，所以y0 故选：A【点评】本题考查向量的数量积公式，考查双曲线方程，考查学生的计算能力，比较基础 6（5 分）九章算术 是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有（）A14 斛 B22 斛 C36 斛 D66 斛 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】5F：空间位置关系与距离【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可【解答】解：设圆锥的底面半径为 r，则r=8，解得 r=，故米堆的体积为（）25，1 斛米的体积约为 1.62 立方，1.6222，故选：B【点评】本题主要考查椎体的体积的计算，比较基础 7（5 分）设 D 为ABC 所在平面内一点，则（）A B C D 【考点】96：平行向量（共线）【专题】5A：平面向量及应用【分析】将向量利用向量的三角形法则首先表示为，然后结合已知表示为的形式【解答】解：由已知得到如图 由=；故选：A 【点评】本题考查了向量的三角形法则的运用；关键是想法将向量表示为 8（5 分）函数 f（x）=cos（x+）的部分图象如图所示，则 f（x）的单调递减区间为（）A（k，k+），kz B（2k，2k+），kz C（k，k+），kz D（，2k+），kz 【考点】HA：余弦函数的单调性【专题】57：三角函数的图像与性质【分析】由周期求出，由五点法作图求出，可得 f（x）的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得 f（x）的减区间【解答】解：由函数 f（x）=cos（x+）的部分图象，可得函数的周期为=2（）=2，=，f（x）=cos（x+）再根据函数的图象以及五点法作图，可得+=，kz，即=，f（x）=cos（x+）由 2kx+2k+，求得 2kx2k+，故 f（x）的单调递减区间为（，2k+），kz，故选：D【点评】本题主要考查由函数 y=Asin（x+）的部分图象求解析式，由周期求出，由五点法作图求出 的值；还考查了余弦函数的单调性，属于基础题 9（5 分）执行如图所示的程序框图，如果输入的 t=0.01，则输出的 n=（）A5 B6 C7 D8 【考点】EF：程序框图【专题】5K：算法和程序框图【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：第一次执行循环体后，S=，m=，n=1，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=2，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=3，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=4，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=5，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=6，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=7，满足退出循环的条件；故输出的 n 值为 7，故选：C【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答 10（5 分）（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为（）A10 B20 C30 D60 【考点】DA：二项式定理【专题】11：计算题；5P：二项式定理【分析】利用展开式的通项，即可得出结论【解答】解：（x2+x+y）5的展开式的通项为 Tr+1=，令 r=2，则（x2+x）3的通项为=，令 6k=5，则 k=1，（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为=30 故选：C【点评】本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，确定通项是关键 11（5 分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为16+20，则 r=（）A1 B2 C4 D8 【考点】L!：由三视图求面积、体积【专题】5Q：立体几何【分析】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可【解答】解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体是一个半球拼接半个圆柱，其表面积为：4r2+r22r2r+2r2r+r2=5r2+4r2，又该几何体的表面积为 16+20，5r2+4r2=16+20，解得 r=2，故选：B 【点评】本题考查由三视图求表面积问题，考查空间想象能力，注意解题方法的积累，属于中档题 12（5 分）设函数 f（x）=ex（2x1）ax+a，其中 a1，若存在唯一的整数x0使得 f（x0）0，则 a 的取值范围是（）A）B）C）D）【考点】51：函数的零点；6D：利用导数研究函数的极值【专题】2：创新题型；53：导数的综合应用【分析】设 g（x）=ex（2x1），y=axa，问题转化为存在唯一的整数 x0使得 g（x0）在直线 y=axa 的下方，求导数可得函数的极值，数形结合可得ag（0）=1 且 g（1）=3e1aa，解关于 a 的不等式组可得【解答】解：设 g（x）=ex（2x1），y=axa，由题意知存在唯一的整数 x0使得 g（x0）在直线 y=axa 的下方，g（x）=ex（2x1）+2ex=ex（2x+1），当 x时，g（x）0，当 x 时，g（x）0，当 x=时，g（x）取最小值2，当 x=0 时，g（0）=1，当 x=1 时，g（1）=e0，直线 y=axa 恒过定点（1，0）且斜率为 a，故ag（0）=1 且 g（1）=3e1aa，解得a1 故选：D 【点评】本题考查导数和极值，涉及数形结合和转化的思想，属中档题 二、填空题（本大题共有 4 小题，每小题 5 分）13（5 分）若函数 f（x）=xln（x+）为偶函数，则 a=1 【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断【专题】51：函数的性质及应用【分析】由题意可得，f（x）=f（x），代入根据对数的运算性质即可求解【解答】解：f（x）=xln（x+）为偶函数，f（x）=f（x），（x）ln（x+）=xln（x+），ln（x+）=ln（x+），ln（x+）+ln（x+）=0，ln（+x）（x）=0，lna=0，a=1 故答案为：1【点评】本题主要考查了偶函数的定义及对数的运算性质的简单应用，属于基础试题 14（5 分）一个圆经过椭圆=1 的三个顶点 且圆心在 x 轴的正半轴上 则该圆标准方程为（x）2+y2=【考点】K3：椭圆的标准方程【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用椭圆的方程求出顶点坐标，然后求出圆心坐标，求出半径即可得到圆的方程【解答】解：一个圆经过椭圆=1 的三个顶点且圆心在 x 轴的正半轴上 可知椭圆的右顶点坐标（4，0），上下顶点坐标（0，2），设圆的圆心（a，0），则，解得 a=，圆的半径为：，所求圆的方程为：（x）2+y2=故答案为：（x）2+y2=【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，圆的方程的求法，考查计算能力 15（5 分）若 x，y 满足约束条件则的最大值为 3 【考点】7C：简单线性规划【专题】59：不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分 ABC）设 k=，则 k 的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知 OA 的斜率最大，由，解得，即 A（1，3），kOA=3，即的最大值为 3 故答案为：3 【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义以及直线的斜率，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法 16（5 分）在平面四边形 ABCD 中，A=B=C=75BC=2，则 AB 的取值范围是（，+）【考点】HT：三角形中的几何计算【专题】15：综合题；2：创新题型；58：解三角形【分析】如图所示，延长 BA，CD 交于点 E，设 AD=x，AE=x，DE=x，CD=m，求出x+m=+，即可求出 AB 的取值范围【解答】解：方法一：如图所示，延长 BA，CD 交于点 E，则 在ADE 中，DAE=105，ADE=45，E=30，设 AD=x，AE=x，DE=x，CD=m，BC=2，（x+m）sin15=1，x+m=+，0 x4，而 AB=x+mx=+x，AB 的取值范围是（，+）故答案为：（，+）方法二：如下图，作出底边 BC=2 的等腰三角形 EBC，B=C=75，倾斜角为 150的直线在平面内移动，分别交 EB、EC 于 A、D，则四边形 ABCD 即为满足题意的四边形；当直线移动时，运用极限思想，直线接近点 C 时，AB 趋近最小，为；直线接近点 E 时，AB 趋近最大值，为+；故答案为：（，+）【点评】本题考查求 AB 的取值范围，考查三角形中的几何计算，考查学生的计算能力，属于中档题 三、解答题：17（12 分）Sn为数列an的前 n 项和，已知 an0，an2+2an=4Sn+3（I）求an的通项公式：（）设 bn=，求数列bn的前 n 项和 【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式【专题】54：等差数列与等比数列【分析】（I）根据数列的递推关系，利用作差法即可求an的通项公式：（）求出 bn=，利用裂项法即可求数列bn的前 n 项和【解答】解：（I）由 an2+2an=4Sn+3，可知 an+12+2an+1=4Sn+1+3 两式相减得 an+12an2+2（an+1an）=4an+1，即 2（an+1+an）=an+12an2=（an+1+an）（an+1an），an0，an+1an=2，a12+2a1=4a1+3，a1=1（舍）或 a1=3，则an是首项为 3，公差 d=2 的等差数列，an的通项公式 an=3+2（n1）=2n+1：（）an=2n+1，bn=（），数列bn的前 n 项和 Tn=（+）=（）=【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键 18（12 分）如图，四边形 ABCD 为菱形，ABC=120，E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点，BE 丄平面 ABCD，DF 丄平面 ABCD，BE=2DF，AE 丄 EC（）证明：平面 AEC 丄平面 AFC（）求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值 【考点】LM：异面直线及其所成的角；LY：平面与平面垂直【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角；5H：空间向量及应用【分析】（）连接 BD，设 BDAC=G，连接 EG、EF、FG，运用线面垂直的判定定理得到 EG平面 AFC，再由面面垂直的判定定理，即可得到；（）以 G 为坐标原点，分别以 GB，GC 为 x 轴，y 轴，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系 Gxyz，求得 A，E，F，C 的坐标，运用向量的数量积的定义，计算即可得到所求角的余弦值【解答】解：（）连接 BD，设 BDAC=G，连接 EG、EF、FG，在菱形 ABCD 中，不妨设 BG=1，由ABC=120，可得 AG=GC=，BE平面 ABCD，AB=BC=2，可知 AE=EC，又 AEEC，所以 EG=，且 EGAC，在直角EBG 中，可得 BE=，故 DF=，在直角三角形 FDG 中，可得 FG=，在直角梯形 BDFE 中，由 BD=2，BE=，FD=，可得 EF=，从而 EG2+FG2=EF2，则 EGFG，（或由 tanEGBtanFGD=1，可得EGB+FGD=90，则 EGFG）ACFG=G，可得 EG平面 AFC，由 EG 平面 AEC，所以平面 AEC平面 AFC；（）如图，以 G 为坐标原点，分别以 GB，GC 为 x 轴，y 轴，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系 Gxyz，由（）可得 A（0，0），E（1，0，），F（1，0，），C（0，0），即有=（1，），=（1，），故 cos，=则有直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值为 【点评】本题考查空间直线和平面的位置关系和空间角的求法，主要考查面面垂直的判定定理和异面直线所成的角的求法：向量法，考查运算能力，属于中档题 19（12 分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x（单位：千元）对年销售量 y（单位：t）和年利润 z（单位：千元）的影响，对近 8 年的年宣传费 xi和年销售量 yi（i=1，2，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值 （xi）2（wi）2（xi）（yi）（wi）（yi）46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中 wi=i，=（）根据散点图判断，y=a+bx 与 y=c+d哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（）根据（）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；（）已知这种产品的年利润 z 与 x、y 的关系为 z=0.2yx根据（）的结果回答下列问题：（i）年宣传费 x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）.（un vn），其回归线 v=+u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=【考点】BK：线性回归方程【专题】5I：概率与统计【分析】（）根据散点图，即可判断出，（）先建立中间量 w=，建立 y 关于 w 的线性回归方程，根据公式求出 w，问题得以解决；（）（i）年宣传费 x=49 时，代入到回归方程，计算即可，（ii）求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出【解答】解：（）由散点图可以判断，y=c+d适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型；（）令 w=，先建立 y 关于 w 的线性回归方程，由于=68，=563686.8=100.6，所以 y 关于 w 的线性回归方程为=100.6+68w，因此 y 关于 x 的回归方程为=100.6+68，（）（i）由（）知，当 x=49 时，年销售量 y 的预报值=100.6+68=576.6，年利润 z 的预报值=576.60.249=66.32，（ii）根据（）的结果可知，年利润 z 的预报值=0.2（100.6+68）x=x+13.6+20.12，当=6.8 时，即当 x=46.24 时，年利润的预报值最大【点评】本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题，准确的计算是本题的关键，属于中档题 20（12 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C：y=与直线 l：y=kx+a（a0）交于 M，N 两点（）当 k=0 时，分別求 C 在点 M 和 N 处的切线方程（）y 轴上是否存在点 P，使得当 k 变动时，总有OPM=OPN？（说明理由）【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合【分析】（I）联立，可得交点 M，N 的坐标，由曲线 C：y=，利用导数的运算法则可得：y=，利用导数的几何意义、点斜式即可得出切线方程（II）存在符合条件的点（0，a），设 P（0，b）满足OPM=OPNM（x1，y1），N（x2，y2），直线 PM，PN 的斜率分别为：k1，k2直线方程与抛物线方程联立化为 x24kx4a=0，利用根与系数的关系、斜率计算公式可得k1+k2=k1+k2=0直线 PM，PN 的倾斜角互补OPM=OPN即可证明【解答】解：（I）联立，不妨取 M，N，由曲线 C：y=可得：y=，曲线 C 在 M 点处的切线斜率为=，其切线方程为：ya=，化为 同理可得曲线 C 在点 N 处的切线方程为：（II）存在符合条件的点（0，a），下面给出证明：设 P（0，b）满足OPM=OPNM（x1，y1），N（x2，y2），直线 PM，PN 的斜率分别为：k1，k2 联立，化为 x24kx4a=0，x1+x2=4k，x1x2=4a k1+k2=+=当 b=a 时，k1+k2=0，直线 PM，PN 的倾斜角互补，OPM=OPN 点 P（0，a）符合条件【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 21（12 分）已知函数 f（x）=x3+ax+，g（x）=lnx（i）当 a 为何值时，x 轴为曲线 y=f（x）的切线；（ii）用 minm，n表示 m，n 中的最小值，设函数 h（x）=minf（x），g（x）（x0），讨论 h（x）零点的个数 【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】2：创新题型；53：导数的综合应用【分析】（i）f（x）=3x2+a设曲线 y=f（x）与 x 轴相切于点 P（x0，0），则 f（x0）=0，f（x0）=0 解出即可（ii）对 x 分类讨论：当 x（1，+）时，g（x）=lnx0，可得函数 h（x）=min f（x），g（x）g（x）0，即可得出零点的个数 当 x=1 时，对 a 分类讨论：a，a，即可得出零点的个数；当 x（0，1）时，g（x）=lnx0，因此只考虑 f（x）在（0，1）内的零点个数即可对 a 分类讨论：当 a3 或 a0 时，当3a0 时，利用导数研究其单调性极值即可得出【解答】解：（i）f（x）=3x2+a 设曲线 y=f（x）与 x 轴相切于点 P（x0，0），则 f（x0）=0，f（x0）=0，解得，a=因此当 a=时，x 轴为曲线 y=f（x）的切线；（ii）当 x（1，+）时，g（x）=lnx0，函数 h（x）=min f（x），g（x）0，故 h（x）在 x（1，+）时无零点 当 x=1 时，若 a，则 f（1）=a+0，h（x）=min f（1），g（1）=g（1）=0，故 x=1 是函数 h（x）的一个零点；若 a，则 f（1）=a+0，h（x）=min f（1），g（1）=f（1）0，故x=1 不是函数 h（x）的零点；当 x（0，1）时，g（x）=lnx0，因此只考虑 f（x）在（0，1）内的零点个数即可 当 a3 或 a0 时，f（x）=3x2+a 在（0，1）内无零点，因此 f（x）在区间（0，1）内单调，而 f（0）=，f（1）=a+，当 a3 时，函数 f（x）在区间（0，1）内有一个零点，当 a0 时，函数 f（x）在区间（0，1）内没有零点 当3a0 时，函数 f（x）在内单调递减，在内单调递增，故当 x=时，f（x）取得最小值=若0，即，则 f（x）在（0，1）内无零点 若=0，即 a=，则 f（x）在（0，1）内有唯一零点 若0，即，由 f（0）=，f（1）=a+，当时，f（x）在（0，1）内有两个零点当3a时，f（x）在（0，1）内有一个零点 综上可得：a时，函数 h（x）有一个零点 当时，h（x）有一个零点；当 a=或时，h（x）有两个零点；当时，函数 h（x）有三个零点【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题 选修 4 一 1:几何证明选讲 22（10 分）如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，BC 交O 于点 E（）若 D 为 AC 的中点，证明：DE 是O 的切线；（）若 OA=CE，求ACB 的大小 【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明【专题】5B：直线与圆【分析】（）连接 AE 和 OE，由三角形和圆的知识易得OED=90，可得 DE 是O 的切线；（）设 CE=1，AE=x，由射影定理可得关于 x 的方程 x2=，解方程可得 x值，可得所求角度【解答】解：（）连接 AE，由已知得 AEBC，ACAB，在 RTABC 中，由已知可得 DE=DC，DEC=DCE，连接 OE，则OBE=OEB，又ACB+ABC=90，DEC+OEB=90，OED=90，DE 是O 的切线；（）设 CE=1，AE=x，由已知得 AB=2，BE=，由射影定理可得 AE2=CEBE，x2=，即 x4+x212=0，解方程可得 x=ACB=60 【点评】本题考查圆的切线的判定，涉及射影定理和三角形的知识，属基础题 选修 4 一 4：坐标系与参数方程 23（10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x=2，圆 C2：（x1）2+（y2）2=1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（）求 C1，C2的极坐标方程；（）若直线 C3的极坐标方程为=（R），设 C2与 C3的交点为 M，N，求C2MN 的面积 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程【专题】5S：坐标系和参数方程【分析】（）由条件根据 x=cos，y=sin 求得 C1，C2的极坐标方程（）把直线 C3的极坐标方程代入 23+4=0，求得 1和 2的值，结合圆的半径可得 C2MC2N，从而求得C2MN 的面积C2MC2N 的值【解答】解：（）由于 x=cos，y=sin，C1：x=2 的 极坐标方程为 cos=2，故 C2：（x1）2+（y2）2=1 的极坐标方程为：（cos1）2+（sin2）2=1，化简可得 2（2cos+4sin）+4=0（）把直线 C3的极坐标方程=（R）代入 圆 C2：（x1）2+（y2）2=1，可得 2（2cos+4sin）+4=0，求得 1=2，2=，|MN|=|12|=，由于圆 C2的半径为 1，C2MC2N，C2MN 的面积为 C2MC2N=11=【点评】本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义，属于基础题 选修 4 一 5：不等式选讲 24（10 分）已知函数 f（x）=|x+1|2|xa|，a0（）当 a=1 时，求不等式 f（x）1 的解集；（）若 f（x）的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围 【考点】R5：绝对值不等式的解法【专题】59：不等式的解法及应用【分析】（）当 a=1 时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求（）化简函数f（x）的解析式，求得它的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得 f（x）的图象与 x 轴围成的三角形面积；再根据 f（x）的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6，从而求得 a 的取值范围【解答】解：（）当 a=1 时，不等式 f（x）1，即|x+1|2|x1|1，即，或，或 解求得 x，解求得x1，解求得 1x2 综上可得，原不等式的解集为（，2）（）函数 f（x）=|x+1|2|xa|=，由此求得 f（x）的图象与 x 轴的交点 A（，0），B（2a+1，0），故 f（x）的图象与 x 轴围成的三角形的第三个顶点 C（a，a+1），由ABC 的面积大于 6，可得2a+1（a+1）6，求得 a2 故要求的 a 的范围为（2，+）【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题