2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅲ)(解析版).pdf

1 绝密启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合21,0,1,21ABx x，则AB（）A.1,0,1 B.0,1 C.1,1 D.0,1,2【答案】A【解析】【分析】先求出集合 B 再求出交集.【详解】21,x 11x，11Bxx，则1,0,1AB，故选 A【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.2.若(1i)2iz，则z（）A.1 i B.1+i C.1 i D.1+i【答案】D 2【解析】【分析】根据复数运算法则求解即可.【详解】()(2i2i 1 i1 i1 i1 i 1 i)()z 故选 D【点睛】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养采取运算法则法，利用方程思想解题 3.西游记 三国演义 水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有 90 位，阅读过红楼梦的学生共有 80 位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有60 位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8【答案】C【解析】【分析】根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解.【详解】由题意得，阅读过 西游记 的学生人数为 90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为 70100=0.7 故选 C【点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养采取去重法，利用转化与化归思想解题 4.（1+2x2）（1+x）4的展开式中 x3的系数为 A.12 B.16 C.20 D.24【答案】A【解析】【分析】3 本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数【详解】由题意得 x3的系数为314424812CC，故选 A【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数 5.已知各项均为正数的等比数列 na的前 4 项和为 15，且53134aaa，则3a（）A.16 B.8 C.4 D.2【答案】C【解析】【分析】利用方程思想列出关于1,aq的方程组，求出1,aq，再利用通项公式即可求得3a的值【详解】设正数的等比数列an的公比为q，则2311114211115,34aa qa qa qa qa qa，解得11,2aq，2314aa q，故选 C【点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键。6.已知曲线elnxyaxx在点1,ae处的切线方程为2yxb，则（）A.,1ae b B.,1ae b C.1,1aeb D.1,1aeb 【答案】D【解析】【分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a，将点的坐标代入直线方程，求得b【详解】详解：ln1,xyaex 1|12xkyae，1ae 将(1,1)代入2yxb得21,1bb，故选 D 4【点睛】本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系。7.函数3222xxxy在6,6的图像大致为 A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)f的近似值即可得出结果【详解】设32()22xxxyf x，则332()2()()2222xxxxxxfxf x ，所以()f x是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项 C又3442 4(4)0,22f排除选项 D；3662 6(6)722f，排除选项A，故选 B【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查 8.如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD 平面,ABCD M是线段ED的中 5 点，则（）A.BMEN，且直线,BM EN是相交直线 B.BMEN，且直线,BM EN是相交直线 C.BMEN，且直线,BM EN是异面直线 D.BMEN，且直线,BM EN是异面直线【答案】B【解析】【分析】利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题【详解】如图所示，作EOCD于O，连接ON，过M作MFOD于F 连BF，平面CDE 平面ABCD,EOCD EO平面CDE，EO平面ABCD，MF 平面ABCE，MFB与EON均为直角三角形设正方形边长为 2，易知3,12EOONEN，35,722MFBFBMBMEN，故选 B 6 【点睛】本题考查空间想象能力和计算能力，解答本题的关键是构造直角三角性。9.执行如图所示的程序框图，如果输入的为0.01，则输出s的值等于（）A.4122 B.5122 C.6122 D.7122【答案】C【解析】【分析】根据程序框图，结合循环关系进行运算，可得结果.【详解】输入的为0.01，1.01,0.50.01?xSx不满足条件；110 1,0.01?24Sx 不满足条件；7 61110 1,0.00781250.01?22128Sx 满足条件 输出676111112 112222S ，故选 D【点睛】解答本题关键是利用循环运算，根据计算精确度确定数据分析 10.双曲线 C：2242xy=1 的右焦点为 F，点 P在 C的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=POPF，则PFO的面积为 A.3 24 B.3 22 C.12xx D.3 2【答案】A【解析】【分析】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题【详解】由222,2,6,abcab 6,2PPOPFx，又 P 在 C的一条渐近线上，不妨设为在22yx上，1133 262224PFOPSOFy，故选 A【点睛】忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积 11.设 f x是定义域为R的偶函数，且在0,单调递减，则（）8 A.233231log224fff B.233231log224fff C.23332122log4fff D.23323122log4fff【答案】C【解析】【分析】由已知函数为偶函数，把233231log,2,24fff，转化为同一个单调区间上，再比较大小【详解】f x是 R的偶函数，331loglog 44ff 223303322333log 4log 31,1222,log 422，又 f x在(0，+)单调递减，23323log 422fff，23323122log4fff，故选 C【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值 12.设函数 f x=sin（5x）(0)，已知 f x在0,2有且仅有 5个零点，下述四个结论：f x在（0,2）有且仅有 3 个极大值点 f x在（0,2）有且仅有 2 个极小值点 9 f x在（0,10）单调递增 的取值范围是12 295 10，)其中所有正确结论的编号是 A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，通过整体换元得5265，结合正弦函数的图像分析得出答案【详解】当0,2 x时，,2555x，f（x）在0,2 有且仅有 5 个零点，5265，1229510，故正确，由5265，知,2555x时，令59,5222x时取得极大值，正确；极小值点不确定，可能是 2 个也可能是 3 个，不正确；因此由选项可知只需判断是否正确即可得到答案，当0,10 x时，(2),5510 x，若f（x）在0,10单调递增，则(2)102，即3，1229510，故正确 1 0 故选：D【点睛】极小值点个数动态的，易错，正确性考查需认真计算，易出错，本题主要考查了整体换元的思想解三角函数问题，属于中档题 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.已知,a b为单位向量，且a b=0，若25cab，则cos,a c_.【答案】23.【解析】【分析】根据2|c结合向量夹角公式求出|c，进一步求出结果.【详解】因为25cab，0a b，所以225a caa b2，222|4|4 55|9caa bb，所以|3c，所以cos,a c 221 33a ca c【点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角渗透了数学运算、直观想象素养使用转化思想得出答案 14.记 Sn为等差数列an的前 n项和，12103aaa，则105SS_.【答案】4.【解析】【分析】根据已知求出1a和d的关系，再结合等差数列前n项和公式求得结果.【详解】因213aa，所以113ada，即12ad，1 1 所以105SS111110 910100245 42552adaaad【点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算渗透了数学运算素养使用转化思想得出答案 15.设12FF，为椭圆22:+13620 xyC的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若12MF F为等腰三角形，则M的坐标为_.【答案】3,15【解析】【分析】根据椭圆的定义分别求出12MFMF、，设出M的坐标，结合三角形面积可求出M的坐标.【详解】由已知可得2222236,20,16,4abcabc，11228MFFFc24MF 设点M的坐标为0000,0,0 xyxy，则1 21200142MF FSFFyy，又1 222014824 15,44 152MF FSy，解得015y，2201513620 x，解得03x（03x 舍去），M的坐标为3,15【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养 16.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCDABC D挖去四棱锥OEFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，,E F G H分别为所在棱的中点，1 2 16cm4cmAB=BC=,AA=，3D打印所用原料密度为30.9/g cm，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_g.【答案】1188【解析】【分析】根据题意可知模型的体积为四棱锥体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质量.【详解】由题意得，214 642 3122EFGHScm ，四棱锥OEFG的高 3cm，3112 3123O EFGHVcm 又长方体1111ABCDABC D的体积为32466144Vcm，所以该模型体积为22114412132VVVcm，其质量为0.9 132118.8g【点睛】本题考查几何体的体积问题，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17.为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200 只小鼠随机分成,A B两组，每组100 只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：1 3 记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到 P C的估计值为0.70.（1）求乙离子残留百分比直方图中,a b的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.【答案】(1)0.35a，0.10b；(2)4.05，6.【解析】【分析】(1)由()0.70P C 及频率和为 1 可解得a和b的值；(2)根据公式求平均数.【详解】(1)由题得0.200.150.70a，解得0.35a，由0.050.151()10.70bP C ，解得0.10b.(2)由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为0.15 20.20 30.3040.20 50.10 60.05 74.05 ，乙离子残留百分比的平均值为0.05 3 0.10 40.15 50.35 60.20 70.15 86 【点睛】本题考查频率分布直方图和平均数，属于基础题.18.ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，已知sinsin2ACabA（1）求B；（2）若ABC为锐角三角形，且1c，求ABC面积的取值范围【答案】(1)3B;(2)33(,)82.【解析】【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于 B 的三角方程，最后根据 A,B,C 均为三角形内角解得3B.(2)1 4 根据三角形面积公式1sin2ABCSacB，又根据正弦定理和1c 得到ABCS关于C的函数，由于ABC是锐角三角形，所以利用三个内角都小于2来计算C的定义域，最后求解()ABCSC的值域.【详解】(1)根据题意sinsin2ACabA，由正弦定理得sinsinsinsin2ACABA，因为0A，故sin0A，消去sin A得sinsin2ACB。0B ，02AC因为故2ACB或者2ACB，而根据题意ABC，故2ACB不成立，所以2ACB，又因为ABC，代入得3B ，所以3B.(2)因为ABC是锐角三角形，由（1）知3B，ABC得到23AC，故022032CC，解得62C.又应用正弦定理sinsinacAC，1c，由三角形面积公式有：222sin()111sin33sinsinsin222sin4sinABCCaASacBcBcBcCC22sincoscossin3321231333(sincos)4sin43 tan38 tan8CCCCC.又因3,tan623CC,故3313388 tan82C，故3382ABCS.故ABCS的取值范围是33(,)82【点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查ABC是锐角三角形这个条件的利用。考查的很全面，是一道很好的考题.1 5 19.图 1 是由矩形 ADEB，RtABC和菱形 BFGC 组成的一个平面图形，其中 AB=1，BE=BF=2，FBC=60，将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连结 DG，如图 2.（1）证明：图 2中的 A，C，G，D四点共面，且平面 ABC平面 BCGE；（2）求图 2中的二面角 BCGA 的大小.【答案】(1)见详解；(2)30.【解析】【分析】(1)因为折纸和粘合不改变矩形ABED，Rt ABC和菱形BFGC内部的夹角，所以/ADBE，/BFCG依然成立，又因E和F粘在一起，所以得证.因为AB是平面BCGE垂线，所以易证.(2)在图中找到BCGA对应的平面角，再求此平面角即可.于是考虑B关于GC的垂线，发现此垂足与A的连线也垂直于CG.按照此思路即证.【详解】(1)证：/ADBE，/BFCG，又因为E和F粘在一起./ADCG，A，C，G，D 四点共面.又,ABBE ABBC.AB平面 BCGE，AB 平面 ABC，平面 ABC平面 BCGE，得证.(2)过 B 作BHGC延长线于 H，连结 AH，因为 AB平面 BCGE，所以ABGC 而又BHGC，故GC 平面HAB，所以AHGC.又因为BHGC所以BHA是二面角BCGA的平面角，而在BHC中90BHC，又因为60FBC故60BCH，所以sin 603BHBC.而在ABH中90ABH,13tan33ABBHABH，即二面角BCGA的度数为30.1 6 【点睛】很新颖的立体几何考题。首先是多面体粘合问题，考查考生在粘合过程中哪些量是不变的。再者粘合后的多面体不是直棱柱，建系的向量解法在本题中略显麻烦，突出考查几何方法。最后将求二面角转化为求二面角的平面角问题考查考生的空间想象能力。20.已知函数32()2f xxaxb.（1）讨论()f x的单调性；（2）是否存在,a b，使得()f x在区间0,1的最小值为1且最大值为 1？若存在，求出,a b的所有值；若不存在，说明理由.【答案】(1)见详解；(2)01ab 或41ab.【解析】【分析】(1)先求()f x的导数，再根据a的范围分情况讨论函数单调性；(2)根据a的各种范围，利用函数单调性进行最大值和最小值的判断，最终得出a,b的值.【详解】(1)对32()2f xxaxb求导得2()626()3afxxaxx x.所以有 当0a 时，(,)3a区间上单调递增，(,0)3a区间上单调递减，(0,)区间上单调递增；当0a 时，(,)区间上单调递增；当0a 时，(,0)区间上单调递增，(0,)3a区间上单调递减，(,)3a区间上单调递增.(2)若()f x在区间0,1有最大值 1 和最小值-1，所以 若0a，(,)3a区间上单调递增，(,0)3a区间上单调递减，(0,)区间上单调递增；此时在区间0,1上单调递增，所以(0)1f，(1)1f代入解得1b ，0a，与0a 矛盾，所以0a 不成立.1 7 若0a，(,)区间上单调递增；在区间0,1.所以(0)1f，(1)1f代入解得 01ab.若02a，(,0)区间上单调递增，(0,)3a区间上单调递减，(,)3a区间上单调递增.即()f x在区间(0,)3a单调递减，在区间(,1)3a单调递增，所以区间0,1上最小值为()3af 而(0),(1)2(0)fb fabf，故所以区间0,1上最大值为(1)f.即322()()13321aaabab 相减得32227aa，即(3 3)(3 3)0a aa，又因为02a，所以无解.若23a，(,0)区间上单调递增，(0,)3a区间上单调递减，(,)3a区间上单调递增.即()f x在区间(0,)3a单调递减，在区间(,1)3a单调递增，所以区间0,1上最小值为()3af 而(0),(1)2(0)fb fabf，故所以区间0,1上最大值为(0)f.即322()()1331aaabb 相减得3227a，解得33 2x，又因为23a，所以无解.若3a，(,0)区间上单调递增，(0,)3a区间上单调递减，(,)3a区间上单调递增.所以有()f x区间0,1上单调递减，所以区间0,1上最大值为(0)f，最小值为(1)f 即121bab 解得41ab.综上得01ab 或41ab.【点睛】这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少。考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算。思考量不大，由计算量补充。21.已知曲线 C：y=22x，D为直线 y=12上的动点，过 D 作 C的两条切线，切点分别为 A，B.（1）证明：直线 AB过定点：1 8 （2）若以 E(0，52)为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB的中点，求四边形 ADBE的面积.【答案】(1)见详解；(2)3或4 2.【解析】【分析】（1）可设11(,)A x y，22(,)B xy，1(,)2D t 然后求出 A，B两点处的切线方程，比如AD：1111()2yx xt，又因为BD也有类似的形式，从而求出带参数直线AB方程，最后求出它所过的定点.（2）由(1)得带参数的直线AB方程和抛物线方程联立，再通过M为线段AB的中点，EMAB得出t的值，从而求出M坐标和EM的值，12,d d分别为点,D E到直线AB的距离，则212221,1dtdt，结合弦长公式和韦达定理代入求解即可.【详解】(1)证明：设1(,)2D t,11(,)A x y,则21112yx。又因为212yx，所以 yx.则切线 DA的斜率为1x，故1111()2yx xt，整理得112210txy.设22(,)B xy，同理得112210txy.11(,)A x y,22(,)B xy都满足直线方程2210txy.于是直线2210txy 过点,A B，而两个不同的点确定一条直线，所以直线AB方程为2210txy.即2(21)0txy，当20,210 xy 时等式恒成立。所以直线AB恒过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB的方程为12ytx.由2122ytxxy，可得2210 xtx，于是2121212122,1,()121xxt x xyyt xxt 1 9 2222121212|1|1()42(1)ABtxxtxxx xt.设12,d d分别为点,D E到直线AB的距离，则212221,1dtdt.因此，四边形 ADBE的面积22121|312SABddtt.设 M为线段 AB 的中点，则21,2M t t，由于EMAB，而2,2EMt t，AB与向量(1,)t平行，所以220ttt，解得0t 或1t.当0t 时，3S；当1t 时4 2S 因此，四边形ADBE的面积为 3或4 2.【点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班的求解就可以。思路较为清晰，但计算量不小。（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.如图，在极坐标系Ox中，(2,0)A，(2,)4B，(2,)4C，(2,)D，弧AB，BC，CD所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2，(1,)，曲线1M是弧AB，曲线2M是弧BC，曲线3M是弧CD.（1）分别写出1M，2M，3M的极坐标方程；（2）曲线M由1M，2M，3M构成，若点P在M上，且|3OP，求P的极坐标.【答案】(1)2cos(0,)4,32sin(,)44,32cos(,)4 ,(2)(3,)6,(3,)3,2(3,)3,5(3,)6.【解析】2 0 【分析】(1)将三个过原点的圆方程列出，注意题中要求的是弧，所以要注意的方程中的取值范围.(2)根据条件3逐个方程代入求解，最后解出P点的极坐标.【详解】(1)由题意得，这三个圆的直径都是 2，并且都过原点.1:2cos(0,)4M，23:2cos()2sin(,)244M,33:2cos()2cos(,)4M .(2)解方程2cos3(0,)4得6，此时 P 的极坐标为(3,)6 解方程32sin3(,)44得3或23，此时 P 的极坐标为(3,)3或2(3,)3 解方程32cos3(,)4得56，此时 P 的极坐标为5(3,)6 故 P 的极坐标为(3,)6,(3,)3,2(3,)3,5(3,)6.【点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题.23.设,x y zR，且1xyz.（1）求222(1)(1)(1)xyz的最小值；（2）若2221(2)(1)()3xyza成立，证明：3a或1a .【答案】(1)43；(2)见详解.【解析】【分析】(1)根据条件1xyz，和柯西不等式得到2224(1)(1)(1)3xyz，再讨论,x y z是否可以达到等号成立的条件.(2)恒成立问题，柯西不等式等号成立时构造的,x y z代入原不等式，便可得到参数a的取值范围.【详解】(1)22222222(1)(1)(1)(111)(1)(1)(1)(1)4xyzxyzxyz故 2 1 2224(1)(1)(1)3xyz等号成立当且仅当111xyz 而又因1xyz，解得531313xyz 时等号成立 所以222(1)(1)(1)xyz的最小值为43.(2)因为2221(2)(1)()3xyza，所以222222(2)(1)()(111)1xyza.根据柯西不等式等号成立条件，当21xyza，即22321323axayaza 时有22222222(2)(1)()(111)(21)(2)xyzaxyzaa 成立.所以2(2)1a成立，所以有3a或1a .【点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型.