2013山东高考数学理科试题及答案1.pdf

2013 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学 第 I 卷（共 60 分)一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若复数z满足(3)(2)5zi（i为虚数单位）,则z的共轭复数z为(A）2i （B)2i （C）5i (D）5i 2 已知集合A=0，1，2，则集合B,xy xA yA中元素的个数是（A）1 (B）3 (C)5 （D)9 3已知函数()f x为奇函数,且当0 x 时，21()f xxx,则(1)f (A）2 (B）0 (C)1 （D）2 4已知三棱柱111ABCABC的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形。若P为底面111ABC的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为(A)512 （B)3 (C)4 (D）6 5将函数sin(2)yx的图象沿x轴向左平移8个单位后,得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为（A）34 （B)4 （C）0 （D）4 6 在平面直角坐标系 xoy 中，M为不等式组220,210,380,xyxyxy 所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为(A）2 (B）1 （C)13 （D）12 7给定两个命题p，q。若p是q的必要而不充分条件，则p是q的（A)充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C)充要条件 (D）既不充分也不必要条件 8函数cossinyxxx的图象大致为 9过点(3,1)作圆22(1)1xy的两条切线，切点分别为A,B，则直线AB的方程为（A）230 xy (B）230 xy （C）430 xy （D）430 xy 10用 0，1，,9 十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为(A）243 （B）252 (C）261 （D）279 11已知抛物线1C:212yxp(0)p 的焦点与双曲线2C：2213xy的右焦点的连线交1C于第一象限的点M。若1C在点M处的切线平行于2C的一条渐近线,则p （A)316 （B)38 (C)2 33 (D）4 33 12设正实数,x y z满足22340 xxyyz,则当xyz取得最大值时，212xyz的最大值为（A）0 （B）1 (C）94 （D)3 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。13执行右图的程序框图,若输入的的值为 0。25,则输出的 n 的值为_。14在区间3,3上随机取一个数x，使得121xx 成立的概率为_.15 已知向量AB与AC的夹角为120，且3AB，2AC,若APABAC，且APBC，则实数的值为_。16定义“正对数：0,01,lnln,1,xxx x现有四个命题:若0,0ab，则ln()lnbaba;若0,0ab，则ln()lnlnabab 若0,0ab,则ln()lnlnaabb 若0,0ab，则ln()lnlnln2abab 其中的真命题有_.(写出所有真命题的编号）三、解答题：本大题共 6 小题,共 74 分。17（本小题满分 12 分）设ABC的内角,A B C所对的边分别为,a b c，且6ac,2b，7cos9B.否 是 开始 输入(0)011,2,1FFn 101FFF 010FFF 1nn 11?F 输出n 结束(）求,a c的值；（)求sin()AB的值。18(本小题满分 12 分)如图所示，在三棱锥PABQ中,PB 平面ABQ,BABPBQ,D C E F 分别是,AQ BQ AP BP的中点，2AQBD,PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH。（)求证：AB GH；（）求二面角DGHE的余弦值。19（本小题满分 12 分)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜 3 局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是12外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是23，假设各局比赛结果相互独立。（)分别求甲队以 3：0，3：1，3:2 胜利的概率；()若比赛结果为 3：0 或 3:1,则胜利方得 3 分，对方得 0 分;若比赛结果为 3：2,则胜利方得 2 分、对方得 1 分。求乙队得分X的分布列及数学期望.20（本小题满分 12 分）设等差数列 na的前 n 项和为nS，且424SS，221nnaa。（）求数列 na的通项公式；（）设数列 nb前 n 项和为nT，且 12nnnaT(为常数)。令2nncb*()nN。求数列 nc的前 n 项和nR。21（本小题满分 13 分)设函数2()xxf xce（e=2。71828是自然对数的底数，cR）。(）求()f x的单调区间、最大值；（）讨论关于x的方程ln()xf x根的个数。22（本小题满分 13 分）椭圆2222:1xyCab(0)ab的左、右焦点分别是12,F F，离心率为32，过1F且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为 1.（）求椭圆C的方程；（）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接12,PF PF，设12FPF的角平分线PM交C 的长轴于点(,0)M m，求m的取值范围；（）在（)的条件下，过P点作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线12,PF PF的斜率分别为12,k k，若0k，试证明1211kkkk为定值，并求出这个定值.参考答案 一、选择题 1D【解析】由（z-3）(2i）=5,得55(2)5(2)3332352(2)(2)5iiziiiii，所以5zi,选 D。2C【解析】因为,x yA,所以2,1,0,1,2xy，即 2,1,0,1,2B ，有 5 个元素，选 C.3A【解析】因为函数为奇函数，所以(1)(1)(1 1)2ff ，选 A.4 B【解析】取正三角形 ABC 的中心，连结OP，则PAO是 PA 与平面 ABC 所成的角.因为底面边长为3,所以33322AD,2231332AOAD。三棱柱的体积为21139(3)224AA,解得13AA,即13OPAA，所 以tan3OPPAOOA，即3PAO，选B。5 B【解 析】将 函 数 y=sin(2x+）的 图 像 沿 x轴 向 左 平 移8 个 单 位，得 到 函 数sin2()sin(2)84yxx，因为此时函数为偶函数,所以,42kkZ，即,4kkZ，所以选B.6C【解析】作出可行域如图 由图象可知当 M 位于点 D 处时，OM 的斜率最小.由210380 xyxy 得31xy，即(3,1)D，此时 OM 的斜率为1133,选 C。7A【解析】因为p 是 q 的必要而不充分条件，所以q 是 p 的必要而不充分条件，即 p 是q 的充分而不必要条件，选 A.8 D【解析】函数 y=xcosx+sinx 为奇函数，所以图象关于原点对称，所以排除 B，C。当x时，()0f,排除 A，选 D。9A【解析】由图象可知，(1,1)A是一个切点,所以代入选项知,B D不成立,排除。又AB直线的斜率为负,所以排除 C，选 A 10B【解析】有重复数字的三位数个数为9 10 10900。没有重复数字的三位数有1299648C A，所以有重复数字的三位数的个数为900648=252,选 B。11D【解析】经过第一象限的双曲线的渐近线为33yx.抛物线的焦点为(0,)2pF,双曲线的右焦点为2(2,0)F。1 yxp,所以在200(,)2xM xp处的切线斜率为33，即0133xp，所以033xp,即三点(0,)2pF，2(2,0)F,3(,)36pMp共线，所以06220233pppp，即4 33p，选 D。12B 【解析】由22340 xxyyz，得2234zxxyy。所以2214343xyxyxyzxxyyyx11423xyyx，当且仅当4xyyx，即2xy时取等号此时22yz，1)(maxzxy。xyyyzyx2122212)211(2)11(2yyxy 1)221121(42yy，故选 B。133【解析】第一次循环，10123,3 12,2FFn ，此时1110.253F不成立。第二次循环,10235,523,3FFn，此时1110.255F成立，输出3n。1413【解析】设()12f xxx,则3,31()1221,123,23xf xxxxxx 。由21 1x,解得12x,即当13x时，()1f x。由几何概型公式得所求概率为3 1213(3)63.15 712【解 析】向 量AB与AC的 夹 角 为120，且|3,|2,ABAC所 以1cos1203 232AB ACABAC 。由APBC得，0AP BC,即()()0AP BCABACACAB,所以22(1)0ACABAB AC,即493(1)0，解得712.16【解析】当1,0ab时，1ba，ln()lnln,lnlnbbaaba baba，所以ln()lnbaba成 立。当01,0ab时,01ba,此 时ln()0,ln0baba，即ln()lnbaba成 立。综 上ln()lnbaba恒 成 立.当1,ae be时，ln()ln10,lnln1,ln0abaeb,所以ln()lnlnabab不成立.讨论,a b的取值，可知正确。讨论,a b的取值,可知正确。所以正确的命题为。17解:（)由余弦定理2222cosbacacB，得222(1cos)bacacB，又6ac，2b,7cos9B,所以9ac，解得3a,3c。()在ABC中,24 2sin1 cos9BB，由正弦定理得 sin2 2sin3aBAb，因为ac，所以A为锐角，所以21cos1 sin3AA 因此 10 2sin()sincoscossin27ABABAB.18解：（）证明：因为,D C E F 分别是,AQ BQ AP BP的中点，所以EFAB，DCAB,所以EFDC，又EF 平面PCD,DC 平面PCD，所以EF平面PCD，又EF 平面EFQ，平面EFQ平面PCDGH，所以EFGH,又EFAB，所以ABGH。（)解法一：在ABQ中，2AQBD，ADDQ,所以=90ABQ，即ABBQ，因为PB 平面ABQ，所以ABPB，又BPBQB，所以AB 平面PBQ,由（）知ABGH，所以GH 平面PBQ，又FH 平面PBQ，所以GHFH，同理可得GHHC，所以FHC为二面角DGHE的平面角，设2BABQBP,连接PC，在tRFBC中，由勾股定理得,2FC，在tRPBC中，由勾股定理得,5PC,又H为PBQ的重心，所以1533HCPC 同理 53FH,在FHC中，由余弦定理得552499cos5529FHC，即二面角DGHE的余弦值为45。解法二：在ABQ中，2AQBD,ADDQ，所以90ABQ,又PB 平面ABQ，所以,BA BQ BP两两垂直,以B为坐标原点,分别以,BA BQ BP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设2BABQBP，则(1,0,1)E，(0,0,1)F，(0,2,0)Q,(1,1,0)D,(0,1,0)C(0,0,2)P,，所以(1,2,1)EQ ，(0,2,1)FQ，(1,1,2)DP ，(0,1,2)CP，设平面EFQ的一个法向量为111(,)mx y z,由0m EQ，0m FQ,得111112020 xyzyz 取11y，得(0,1,2)m.设平面PDC的一个法向量为222(,)nxy z 由0n DP，0n CP,得222222020 xyzyz 取21z，得(0,2,1)n。所以4cos,5m nm nm n 因为二面角DGHE为钝角，所以二面角DGHE的余弦值为45。19解:（）记“甲队以 3：0 胜利”为事件1A，“甲队以 3：1 胜利”为事件2A，“甲队以 3：2 胜利”为事件3A，由题意，各局比赛结果相互独立，故3128()()327P A，22232228()()(1)33327P AC，122342214()()(1)33227P AC 所以,甲队以 3：0,3:1,3：2 胜利的概率分别是827，827，427；(）设“乙队以 3:2 胜利为事件4A,由题意,各局比赛结果相互独立,所以 122442214()(1)()(1)33227P AC 由题意，随机变量X的所有可能的取值为 0，1，2，3，,根据事件的互斥性得 1212(0)()()()P XP AAP AP A1627,34(1)()27P XP A，44(2)()27P XP A，(3)P X 1(0)P X(1)P X(2)P X327 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 1627 427 427 327 所以16443012327272727EX 79 20解:()设等差数列 na的首项为1a，公差为d，由424SS，221nnaa得 11114684(21)22(1)1adadanand,解得,11a，2d 因此 21nan*()nN（)由题意知：12nnnT 所以2n 时，112122nnnnnnnbTT 故，1221221(1)()24nnnnncbn *()nN 所以01231111110()1()2()3()(1)()44444nnRn ，则12311111110()1()2()(2)()(1)()444444nnnRnn 两式相减得1231311111()()()()(1)()444444nnnRn 11()144(1)()1414nnn 整理得1131(4)94nnnR 所以数列数列 nc的前 n 项和1131(4)94nnnR 21解：（）2()(12)xfxx e,由()0fx，解得12x，当12x 时，()0fx,()f x单调递减 所以,函数()f x的单调递增区间是1(,)2，单调递减区间是1(,)2，最大值为11()22fce（)令2()ln()lnxxg xxf xxce (0,)x （1）当(1,)x时,ln0 x,则2()lnxxg xxce,所以，22()(21)xxeg xexx 因为210 x,20 xex 所以()0g x 因此()g x在(1,)上单调递增.(2)当(0,1)x时，当时,ln0 x,则2()lnxxg xxce,所以，22()(21)xxeg xexx 因为22(1,)xee，210 xex，又21 1x 所以2210 xexx 所以()0g x 因此()g x在(0,1)上单调递减。综合（1）(2）可知 当(0,)x时,2()(1)g xgec，当2(1)0gec，即2ce 时，()g x没有零点，故关于x的方程ln()xf x根的个数为 0；当2(1)0gec，即2ce 时，()g x只有一个零点，故关于x的方程ln()xf x根的个数为 1;当2(1)0gec,即2ce 时，当(1,)x时，由（）知 121()lnln()ln12xxg xxcxecxce 要使()0g x，只需使ln10 xc，即1(,)cxe；当(0,1)x时，由()知 121()lnln()ln12xxg xxcxecxce ；要使()0g x,只需使ln10 xc,即1(0,)cxe；所以当2ce 时，()g x有两个零点，故关于x的方程ln()xf x根的个数为 2；综上所述：当2ce 时,关于x的方程ln()xf x根的个数为 0；当2ce 时，关于x的方程ln()xf x根的个数为 1；当2ce 时，关于x的方程ln()xf x根的个数为 2。22解：(）由于222cab，将xc 代入椭圆方程22221xyab得2bya 由题意知221ba，即22ab 又cea32 所以2a，1b 所以椭圆方程为2214xy（）由题意可知：11|PF PMPFPM=22|PFPMPFPM,11|PF PMPF=22|PFPMPF，设00(,)P xy其中204x,将向量坐标代入并化简得：m（23000416)312xxx，因为204x，所以034mx，而0(2,2)x ，所以3 3(,)2 2m （3)由题意可知，l 为椭圆的在 p 点处的切线，由导数法可求得，切线方程为：0014x xy y，所以004xky，而0012,33yykkxx，代入1211kkkk中得 00120033114()8xxkkkkxx 为定值。