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高二数学选修 4-1学案 4 相似三角形的判定与性质（二）主备：审核 班级 姓名 学号 时间 教学目标 知识与技能：复习相似三角形的定义与性质，证明直角三角形射影定理。过程与方法：以“平行线分线段成比例定理”为起点，给出相似三角形定义后，逐步讨论相似三角形的判定定理、性质定理等等。情感态度价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。教学重点：相似三角形的判定定理、性质定理等等。教学难点：相似三角形的判定定理、性质定理等等。课 时 3 课时 一基础知识回顾 1、如图 15-14，ABC 中，1=B，则 此时若 AD=3，BD=2，则 AC=答案:ACD，ABC，；2、两个三角形相似，它们的周长分别是 12 和 18，周长较小的三角形的最短边长为 3，则另一个三角形的最短边长为 答案:.3、如图 15-15，CD 是 RtABC 的斜边上的高（1）若 AD=9，CD=6，则 BD=；（2）若 AB=25，BC=15，则 BD=答案:4；9.4、如图 15-16，已知1=2，请补充条件：（写一个即可），使得 ABCADE 答案:B=D（或C=E，或）二典型例题讲解 例 1如图 15-17，A、B、C、D 在一条直线上，EAAD，垂足为 A，AB=BC=CD=AE 求证：BCE BED 分析：BCE 与 BED 有一个公共角，因此只要再找一对角对应相等或证明夹这个公共角的两边成比例 证明：设 AB=a，在 RtABE 中，AB=AE=a，BE=a 在 BCE 和 BED 中，又CBE=EBD，BCEBED 评析：三角形相似的证明方法很多，解题时应根据条件，结合图形选择恰当的方法 一般的思考程序是：先找两对内角对应相等；若只有一个角对应相等，再判定夹这个角的两边是否对应成比例；若无角对应相等，就证明三边对应成比例 例 2如图 15-18，E，F 分别是正方形 ABCD 的边 AB 和 AD 上的点，且 求证：AEF=FBD 分析：AEF 是 RtAEF 的一个锐角，因此要证明AEF=FBD，可以通过证明 三角形相似得到 证明：过点 F 作 FMBD 于点 M 设正方形的边长为 a，则 BD=a ，EB=AF=a，AE=DF=a 在 RtDMF 中，EM=DM=DF=a，BM=a a=a 在 RtAEF 和 RtMBF 中，A=BMF=90，AEFMBF AEF=FBD 评析：本题的难点是构造含AEF 和FBD 的相似三角形在含正方形的有关证明中，常借助正方形的性质采用计算法证明 例 3如图 15-19，AD、BE 是 ABC 的两条高，DFAB，垂足为 F，直线 FD 交 BE 于点G，交 AC 的延长线于 H求证：DF2=GFHF 分析：由于 DF，GF，HF 三条线段在同一条直线上，因此想直 接得到关系式比较困难，考虑用第三个量作代换 证明：在 AFH 与 GFB 中，HBAC=90，GBFBAC=90，H=GBF AFH=GFD=90，AFHGFB ，AFBF=GFHF 在 RtABD 中，FDAB，DF2=AFBF DF2=GFHF 评析：本题涉及两个基本图形：含斜边上高的直角三角形，含两条高的锐角三角形含两条高的锐角三角形是相似形中的基本图形，图中有多对相似三角形，在解题时要充分利用图形提供的有效信息，选择有用的条件和结论 另外直角三角形的射影定理是相似三角形的性质在直角三角形中的应用，在解题中使用十分频繁 三精选试题演练 1、已知，如图 15-20，在平行四边形 ABCD 中，DB 是对角线，E 是 AB 上一点，连结 CE且延长和 DA 的延长线交于 F，则图中相似三角形的对数是（）A2 B3 C4 D大于 4 答案:D.2、如图 15-21，已知 ABC 中，BC=30，高 AD=18，EFGH 是 ABC 的内接矩形，EF=12，则 GF=（）A7.2 B10.8 C12 D9 答案:B.3、如图15-22，EDFGBC，且DE，FG把ABC的面积分为相等的三部分，若BC=15，则FG的长为（）A5 B10 C4 D7.5 答案:A.4、如图 15-23，已知矩形 ABCD 中，AEF=90，则下列结论一定正确的是（）A ABFAEF B ABFCEF C CEFDAE D ADEAEF 答案:C.A F E B C G D 图 15-20 图 15-21 A B C D E F G H A D E C B F G 图 15-22 5、如图 15-24，在 RtABC 中，C=90，D 是 BC 中点，DEAB，垂足为 E，B=30，AE=7求 DE 的长 答案:.6、如图 15-25，四边形 ACBD 中，E 是 CD 上一点，且DAB=EAC，DBA=ECA 求证：ADEABC 提示：先证明 ABDACE，可得，再证明DAE=BAC；7、如图 15-26，在 ABC 中，ACB=90，M 是 BC 的中点，CDAM，垂足为 D 求证：AMBBMD 提示：由直角三角形射影定理得 CM2=DMAM，从而有 BM2=DMAM，即，又AMB 是公共角，可得结论；8、如图 15-27，已知 RtABC 中，C=90，AC=3cm，BC=4cm，在该直角三角形中作内接正方形，使其顶点均在 ABC 的边上，求正方形的边长 提示：要分两种情况，（1）正方形的一个顶点在斜边上，一个顶点与 C 点重合，正方形的边长为 cm；（2）正方形的一条边在斜边上，正方形的边长为 cm；9、如图 15-28，已知直角梯形 ABCD 中，A=B=90，设 AB=a，AD=b，BC=2b，作 DEDC，交 AB 于点 E，连结 EC（1）对于DCE 与 ADE；ADE 与 BCE，试判断各组的三角形是否一定相似；（2）如果两个三角形一定相似，请加以证明；（3）如果不一定相似，请指出它们相似时，a，b 应满足什么关系 答案:（1）DCE 与 ADE 一定相似，ADE 与 BCE 不一定相似；（2）提示：作 DFBC，垂足为 F，利用 RtADERtFDC 得到，则 AE=，用勾股定理可以计算得 ED=，从而可以得到，可以证得 RtDCE 与 RtADE；（3）提示：利用相似三角形的对应边成比例可以计算得，当 ADEBCE 时，a=A B C D E F 图 15-23 D A C B E 图 15-24 四教学反思 相似三角形的定义、判定和性质是初中已学的内容，但在初中平面几何中没有给出定理的证明，通过本讲知识的学习可以体会逻辑推理、几何证明的重要性，在解题过程中应注意观察基本图形与定理间的关系，通过寻找基本图形把已知和未知联系起来，先明确需要证明哪两个三角形相似，再寻找三角形相似的条件，从而发现证题思路