2022届高三上半期期初考试数学(黑龙江省哈尔滨市大庆实验中学).pdf

1 2022 届高三上半期期初考试数学（黑龙江省哈尔滨市大庆实验中学）解答题 在平面直角坐标系 xoy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数）在以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆 C 的方程为=4cos（1）写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程（2）若点 P 坐标为（1，1），圆 C 与直线 l 交于 A，B 两点，求|PA|+|PB|的值 【答案】（1）直线 l 的普通方程为：x+y2=0，圆 C 的直角坐标方程为：（x2）2+y2=4.（2）4.【解析】试题分析：（1）直线 l 的参数方程为（t 为参数）消去参数可得：直线 l 的普通方程圆 C 的方程为=4cos即2=4cos，利用互化公式可得圆 C 的直角坐标方程（2）将代入（x2）2+y2=4 得：，利用根与系数的关系可得|PA|+|PB|=|t1t2|=4，（1）直线 l 的参数方程为（t 为参数）消去参数可得：直线 l的普通方程为：x+y2=0，圆 C 的方程为=4cos即2=4cos，可得圆 C 的直角坐 2 标方程为：（x2）2+y2=4（2）将代入（x2）2+y2=4 得：，得 则 填空题 已知函数 f（x）=x3+ax2+bx+a2（a，bR）若函数 f（x）在 x=1处有极值 10，则 b 的值为_ 【答案】-11【解析】f（x）=3x2+2ax+b，则，当 时，f（x）=3x2+8x11，=64+1320，所以函数有极值点；当，所以函数无极值点；则 b的值为：11 故答案为：11 填空题 数列an满足,数列bn满足，且 b1+b2+b9=90，则 b4b6=_ 【答案】91【解析】数列an满足，可得=3，数列bn满足 bn=，3 可得bn为公差为 3 的等差数列，由 b1+b2+b9=90，可得 9b1+3=90，解得 b1=2，则 b4b6=（2+33）（2+53）=91 故答案为：91 填空题 已知向量 的夹角是，若|=1，|=2，则|2|=_ 【答案】2【解析】向量的夹角是，|=1，|=2，则=|cos=12*=1，则|2|2=（2）2=424+2=4141+4，即|2|=2 选择题 已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且当 x（，0）时，不等式 f（x）+xf（x）0 成立，若 a=f（），b=（2）f（2），c=f（1），则 a，b，c 的大小关系是（）A.abc B.cba C.cab D.acb 4 【答案】A【解析】令函数 F（x）=xf（x），则 F（x）=f（x）+xf（x）f（x）+xf（x）0，F（x）=xf（x），x（，0）单调递减，y=f（x）是定义在 R 上的奇函数，F（x）=xf（x），在（，0）上为减函数，可知 F（x）=xf（x），（0，+）上为增函数 a=f（）=（）f（），b=2f（2），c=f（1）=（1）f（1），a=F（），b=F（2），c=F（1）F（3）F（2）F（1），即 abc 故选：A 解答题 如图所示，在三棱锥 ABOC 中，OA底面 BOC，OABOAC30，ABAC4，BC，动点 D 在线段 AB 上.（1）求证：平面 COD平面 AOB；（2）当 ODAB 时，求三棱锥 COBD 的体积.【答案】（1）详见解析；（2）5【解析】试题分析：（1）欲证平面 COD平面 AOB，根据面面垂直的判定定理可知在平面 COD 内一直线与平面 AOB 垂直，根据勾股定理可知 OCOB，根据线面垂直的判定定理可知 OC平面 AOB，而OC平面 COD，满足定理所需条件；（2）ODAB，OD=，此时，BD=1 根据三棱锥的体积公式求出所求即可 试题解析：（1）AO底面 BOC，AOOC，AOOB.3 OABOAC30，ABAC4，OCOB2.又 BC2，OCOB，6 OC平面 AOB.OC 平面 COD，平面 COD平面 AOB.9（2）ODAB，BD1，OD.VCOBD 1212 解答题 某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图（）求分数在50，60）的频率及全班人数；6（）求分数在80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中80，90）间矩形的高；（）若要从分数在80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在90，100）之间的概率 【答案】（1）25，（2）0.012，（3）0.7.【解析】试题分析：（）先由频率分布直方图求出50，60）的频率，结合茎叶图中得分在50，60）的人数即可求得本次考试的总人数；（）根据茎叶图的数据，利用（）中的总人数减去50，80）外的人数，即可得到50，80）内的人数，从而可计算频率分布直方图中80，90）间矩形的高；（）用列举法列举出所有的基本事件，找出符合题意得基本事件个数，利用古典概型概率计算公式即可求出结果（）分数在50，60）的频率为 0.00810=0.08，由茎叶图知：分数在50，60）之间的频数为 2，全班人数为 （）分数在80，90）之间的频数为 2522=3；频率分布直方图中80，90）间的矩形的高为 （）将80，90）之间的 3 个分数编号为 a1，a2，a3，90，100）之间的 2 个分数编号为 b1，b2，在80，100）之间的试卷中任取两份的基本事件为：7（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）共 10 个，其中，至少有一个在90，100）之间的基本事件有 7 个，故至少有一份分数在90，100）之间的概率是 解答题 已知椭圆，其离心率，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为.求椭圆的方程；过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点,为坐标原点，若为锐角，求直线斜率的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由椭圆的第一定义可知，再由离心率，可求得。（2）由（1）得椭圆方程，设直线的方程为，由为锐角，得0 且不平行，即0,所以让直线方程与椭圆方程组方程组，消去 y,得关于 x 的方程，由韦达定理及判别式范围，可解得k 范围。试题解析：设直线的方程为，联立，得 则，解得 8 解得，即 解答题 如图所示，在四边形中，,且,.（1）求的面积；（2）若，求的长；【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）利用已知条件求出 D 角的正弦函数值，然后求ACD 的面积；（2）利用余弦定理求出 AC，通过 BC=4，利用余弦定理求解 AB的长（1）因为,所以 因为，所以 因为，所以的面积（2）在中，,所以 因为，所以 选择题 斜率为 的直线与双曲线恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是（）9 A.2，+）B.（2，+）C.D.【答案】D【解析】斜率为的直线与双曲线恒有两个公共点，e=双曲线离心率的取值范围是（，+）故选：D 选择题 已知 f（x）=ax3+bx+2（ab0），若 f（2017）=k，则 f（2017）=（）A.k B.k C.4k D.2k 【答案】C【解析】根据题意，得 f（2017）=20173a+2017b+2=k，20173a+2017b=k2，f（2017）=（20173a+2017b）+2=k+2+2=4k 选择题 如图所示，程序框图的算法思路源于数学名著几何原本中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“”表示除以的余数），若输入的分别为 2016，612，则输出的=（）1 0 A.0 B.36 C.72 D.180 【答案】B【解析】第一次循环,;第二次循环,;第三次循环,;第四次循环,;结束循环,输出,选 B.填空题 已知函数 y=f（x）是定义在 R 上的偶函数，对于 xR，都有 f（x+4）=f（x）+f（2）成立，当 x1，x20，2且 x1x2 时，都有 给出下列四个命题：f（2）=0；直线 x=4 是函数 y=f（x）的图象的一条对称轴；函数 y=f（x）在4，6上为减函数；函数 y=f（x）在（8，6上有四个零点 其中所有正确命题的序号为_ 【答案】【解析】对于，对于任意 xR，都有 f（x+4）=f（x）+f（2）成立，令 x=2，则 f（2+4）=f（2）+f（2）=f（2），f（2）=0，正确；1 1 对于，由知 f（x+4）=f（x），则 f（x）的周期为 4，又f（x）是 R 上的偶函数，f（x+4）=f（x），而 f（x）的周期为 4，则 f（x+4）=f（4+x），f（x）=f（x4），f（4x）=f（4+x），直线 x=4 是函数 y=f（x）的图象的一条对称轴，正确；对于，当 x1，x20，2，且 x1x2 时，都有，函数 y=f（x）在0，2上为减函数，而 f（x）的周期为 4，函数 y=f（x）在4，6上为减函数，正确；对于，f（2）=0，f（x）的周期为 4，函数 y=f（x）在0，2上为增函数，在2，0上为减函数，作出函数在（8，6上的图象如图所示；函数 y=f（x）在（8，6上有 4 个零点，正确 综上，以上正确的命题是 故答案为 选择题 已知函数 若 f（x1）=f（x2），且 x1x2，关于下列命题：（1）f（x1）f（x2）；（2）f（x2）f（x1）；（3）f（x1）f（x1）；（4）f（x2）f（x2）正确的个数为（）1 2 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【答案】B【解析】函数 f（x）的定义域为 R f（x）,当 x0 时，f（x）0；当 x0 时，f（x）0 函数 f（x）的单调递增区间为（，0），单调递减区间为（0，+）由 f（x1）=f（x2），且 x1x2，可知 x10，x20，当 x1 时，由于0，ex0，得到 f（x）0；同理，当 x1时，f（x）0 由上可知：x1（，0），x2（0，1）下面证明：x（0，1），f（x）f（x），即证 此不等式等价于 令 g（x）=，则 g（x）=xex（e2x1）当 x（0，1）时，g（x）0，g（x）单调递减，g（x）g（0）=0 即 x（0，1），f（x）f（x）由 x1（，0），可知 f（x1）f（x2），故（1）错误；f（x1）f（x1），故（3）正确；1 3 由 x2（0，1），可知 f（x2）f（x1），故（2）正确；f（x2）f（x2），故（4）错误 正确命题的个数是 2 个 故选：B 选择题 设，是两个不同的平面，l，m 是两条不同的直线，且 l，m下面命题正确的是（）A.若 l，则 B.若，则 lm C.若 l，则 D.若，则 lm 【答案】C【解析】对于 A，若 l，则或，相交，不正确；对于 B，若，则 l、m 位置关系不定，不正确；对于 C，根据平面与平面垂直的判定，可知正确；对于 D，则 l、m 位置关系不定，不正确 故选 C 选择题 已知命题 p：x0，总有（x+1）ex1，则p 为（）A.x00，使得 B.x00，使得 C.x00，使得 D.x0，总有 1 4 【答案】C【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题 p：x0，总有（x+1）ex1，则p 为x00，使得 故选：C 解答题 已知函数 f（x）=lnx+a（x1）2，其中 a0（1）当 a=1 时，求曲线 y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）讨论函数 f（x）的单调性；（3）若函数 f（x）有两个极值点 x1，x2，且 x1x2，求证：.【答案】（1）切线方程：y=x1，（2）见解析，（3）见解析.【解析】试题分析：（1）当 a=1 时，求出 f（1），然后得到取得坐标，求出函数的导数，求出切线的斜率，然后求解切线方程；（2）求出函数的导数，通过 a 的讨论，判断导函数的符号，然后求解函数f（x）的单调性；（3）利用函数的极值点以及函数的单调性，转化证明即可（1）当 a=1 时，f（1）=0，f（x）=+2（x1），f（1）=1，曲线 y=f（x）在点（1，0）处的切线方程：y=x1.（2）f（x）=lnx+ax22ax+a （x0）当=4a28a0 即 0a2 时，f（x）0，1 5 f（x）的单调递增区间是（0+）当=4a28a0 时，即 a2 时，令 f（x）=0 得 f（x）的单调递增区间是（x2，+）和（0，x1），单调递减区间是（x1，x2）（3）证明：f（x）在（x2，+）单调递增，且 x21，f（x2）f（1）=0，不等式右侧证毕。f（x）有两个极值点 x1，x2，a2故，令，g（x）在（）单调递增 故 不等式左侧证毕综上可知：选择题 已知 x，y 满足 则 z=xy 的取值范围是（）A.B.1，1 C.D.1,【答案】D【解析】作出不等式组，对应的平面区域如图，由 z=xy，得 y=xz，当直线 y=xz 经过点 A（1，0）时，直线 y=xz 的截距最大，此时 z 最小为 z=1 当直线y=xz与圆在第四象限相切时，直线y=xz的截距最大，1 6 此时 z 最小，由 d=1，解得 z=或（舍），故1z，故选：D 选择题 若圆（xa）2+（yb）2=1（aR，bR）关于直线 y=x+1 对称的圆的方程是（x1）2+（y3）2=1，则 a+b 等于（）A.4 B.2 C.6 D.8 【答案】A【解析】两圆关于直线对称，则圆心也关于直线对称，即点（a，b）与点（1，3）关于直线 y=x+1 对称，据此可得：a=b=2，则 a+b=4 故选：A 选择题 将函数 f（x）=sin（2x+）的图象向右平移 个单位长度，得到的图象关于原点对称，则的一个可能取值为（）A.B.C.0 D.-【答案】B 1 7 【解析】函数 f（x）=sin（2x+）的图象向右平移 个单位长度，可得 sin2（x）+=sin（2x+）图象关于原点对称，+=k，kZ解得：=k+当 k=0 时，可得=故选：B 选择题 若复数 z=，其中 i 为虚数单位，则=（）A.1+i B.1i C.1+i D.1i 【答案】B【解析】=1i，故选：B 填空题 设全集 U=0，1，2，3，4，5，6，集合 A=xZ|0 x2.5，集合 B=xZ|（x1）（x5）0则 CU（AB）=（）A.0，1，2，3，6 B.0，5，6 C.1，2，4 D.0，4，5，6 【答案】B 1 8 【解析】由题意可得：A=1，2，B=2，3，4，则：AB=1，2，3，4，故 CU（AB）=0，5，6 故选：B