2022年高考文数真题试卷(全国甲卷).pdf

1/21 2022 年高考文数真题试卷（全国甲卷）阅卷人 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(共 12 题；共 60 分)得分 1（5 分）设集合 =2，1，0，1，2，=0 52，则 =（）A0，1，2 B2，1，0 C0，1 D1，2【答案】A【解析】【解答】解：=2，1，0，1，2，=0 70%，所以 A 错；对于 B，讲座后问卷答题的正确率只有 1 个是 80%，4 个 85%，剩下全部大于等于 90%，所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 85%，所以 B 对；对于 C，讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，所以 C 错；对于 D，讲座后问卷答题的正确率的极差为 100%-80%=20%，讲座前问卷答题的正确率的极差为 95%-60%=35%20%，所以 D 错.故选：B.【分析】由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解.3（5 分）若 =1+则|+3|=（）A45 B42 C25 D22【答案】D【解析】【解答】解：因为 z=1+i，所以+3=(1+)+3(1 )=2 2，所以|+3|=4+4=22 故选：D【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念先求得+3=2 2，再由复数的求模公式即可求出.4（5 分）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为 1，则该多面体的体积为（）A8 B12 C16 D20【答案】B【解析】【解答】解：由三视图还原几何体，如图，3/21 则该直四棱柱的体积=2+42 2 2=12.故选：B.【分析】由三视图还原几何体，再由棱柱的体积公式即可得解.5（5 分）将函数()=sin(+3)(0)的图像向左平移 2 个单位长度后得到曲线 C，若 C关于 y 轴对称，则 的最小值是（）A16 B14 C13 D12【答案】C【解析】【解答】解：由题意知：曲线 C 为 =sin(+2)3=sin(+2+3)，又曲线 C 关于 y 轴对称，则2+3=2+，k Z，解得=13+2，又 0，故当 k=0 时，的最小值为 13.故选：C.【分析】先由平移求出曲线 C 的解析式，再结合对称性得2+3=2+，k Z，即可求出 的最小值.6（5 分）从分别写有 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片中无放回随机抽取 2 张，则抽到的 2 张卡片上的数字之积是 4 的倍数的概率为（）A15 B13 C25 D23【答案】C【解析】【解答】解：从 6 张卡片中无放回抽取 2 张，共有如下 15 种情况：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，其中数字之积为 4 的倍数的有其中数字之积为 4 的倍数的有(1，4)，(2，4)，(2，6)，(3，4)，(4，4/21 5)，(4，6)，共 6 种情况，故概率为615=25.故选：C.【分析】先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是 4 的倍数的情况，由古典概型求概率即可.7（5 分）函数()=(3 3)cos 在区间 2，2 的图像大致为（）A B C D【答案】A【解析】【解答】解：由题意得，f(-x)=(3-x-3x)cos(-x)=-(3x-3-x)cosx=-f(x)，又 2，2 所以 f(x)为奇函数，排除 BD；又当 (0，2时，3x-3-x0，cosx0，所以 f(x)0，排除 C.故选：A.【分析】由函数的奇偶性排除 BD，结合指数函数、三角函数的性质逐项排除 C，即可得解.8（5 分）当 =1 时，函数()=ln+取得最大值 2，则(2)=（）A-1 B12 C12 D1【答案】B【解析】【解答】因为函数 f(x)定义域为（0，+），所以依题可知，f(1)=-2，f(1)=0，又()=2，5/21 则ln1+=2 =0，解得=2=2，所以()=2+22，由 f(x)0，得 0 x1，由 f(x)1，因此函数 f(x)在（0，1）上递增，在（1，+）上递减，则当 x=1 时取最大值，满足题意，即有(2)=1+12=12 故选：B.【分析】根据题意可知 f(1)=-2，f(1)=0，列式即可解得 a，b，再根据 f(x)即可解出 9（5 分）在长方体 1111 中，已知 1 与平面 和平面 11 所成的角均为 30，则（）A=2 BAB 与平面 11 所成的角为 30 C=1 D1 与平面 11 所成的角为 45【答案】D【解析】【解答】解：如图所示：不妨设 AB=a，AD=b，AA1=c，依题以及长方体的结构特征可知，B1D 与平面 ABCD 所成角为B1DB，B1D 与平面 AA1B1B 所成角为 DB1A，所以sin30=1=1，即 b=c，1=2=2+2+2，6/21 解得=2 对于 A，AB=a，AD=b，AB=2AD，A 错误；对于 B，过 B 作 BEAB1于 E，易知 BE平面 AB1C1D，所以 AB 与平面 AB1C1D 所成角为BAE，因为tan=22，所以 30，B 错误；对于 C，=2+2=3，1=2+2=2，1，C 错误；对于 D，B1D 与平面 BB1C1C 所成角为DB1C，又sin1=1=2=22，而0DB1C 0)的离心率为 13，1，2 分别为 C 的左、右顶点，B 为 C 的上顶点若 1 2=1，则 C 的方程为（）A218+216=1 B29+28=1 C23+22=1 D22+2=1【答案】B【解析】【解答】解：因为离心率=1 ()2=13，解得22=89，则 b2=89a2，记 A1，A2分别为 C 的左右顶点，则 A1（-a，0），A2（a，0），又 B 为上顶点，所以 B（0，b），所以1=(，)，2=(，)，因为1 2=1 所以-a2+b2=-1，将 b2=89a2代入，解得 a2=9，b2=8，故椭圆的方程为 29+28=1.故选：B.【分析】根据离心率及1 2=1，解得关于 a2，b2的等量关系式，即可得解.12（5 分）已知 9=10，=1011，=8 9，则（）A 0 B 0 C 0 D 0 【答案】A【解析】【解答】解：由 9m=10 可得=log910=109 1，而911 (9+112)2=(992)21110，即 mlg11，所以 a=10m-1110lg11-11=0 又810 (8+102)2=(802)2109，即 log89m，所以=8 9 0b 故选：A 【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知 m=log9101，再利用基本不等式，换底公式可得 mlg11，log89m，然后由指数函数的单调性即可解出 阅卷人 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。(共 4 题；共 20分)得分 13（5 分）已知向量 =(，3)，=(1，+1)若 ，则 =【答案】34 或-0.75【解析】【解答】由题意知：=+3(+1)=0，解得=34.故答案为：34 .【分析】由向量垂直的坐标表示求解即可.14（5 分）设点 M 在直线 2+1=0 上，点(3，0)和(0，1)均在 上，则 的方程为 【答案】(1)2+(+1)2=5【解析】【解答】解：点 M 在直线 2+1=0 上，设点 M 为（a，1-2a），又因为点(3，0)和(0，1)均在 上，点 M 到两点的距离相等且为半径 R，(3)2+(1 2)2=2+(2)2，9/21 化简得：a2-6a+9+4a2-4a+1=5a2，解得 a=1，M（1，-1），=5，则 的方程为(1)2+(+1)2=5.故答案为：(1)2+(+1)2=5 【分析】设出点 M 的坐标，利用点(3，0)和(0，1)均在 上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.15（5 分）记双曲线：2222=1(0，0)的离心率为 e，写出满足条件“直线 =2 与C 无公共点”的 e 的一个值 【答案】2（满足 1 0，0)，所以 C 的渐近线方程为=，结合渐近线的特点，只需0 1，所以 1 5 ，故答案为：2（满足1 5皆可）【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线=中0 0，10/21 则在ABD 中，AB2=BD2+AD2-2BDADcosADB=m2+4+2m，在ACD 中，AC2=CD2+AD2-2CDADcosADC=4m2+4-4m，所以22=42+442+4+2=4(2+4+2)12(1+)2+4+2=4 12(+1)+3+1 4 122(+1)3+1=4 23，当且仅当+1=3+1即=3 1时，等号成立，所以当取最小值时，=3 1，即 BD=3 1.故答案为：3 1.【分析】设 CD=2BD=2m0，利用余弦定理表示出22后，结合基本不等式即可得解.阅卷人 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。(共 5 题；共 60 分)得分 17（12 分）甲、乙两城之间的长途客车均由 A 和 B 两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的 500 个班次，得到下面列联表：准点班次数 未准点班次数 A 240 20 B 210 30 附：2=()2(+)(+)(+)(+)，(2)0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635（1）（6 分）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；（2）（6 分）能否有 90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？11/21【答案】（1）解：由表中数据可知，A 共有班次 240+20=260 次，准点班次有 240 次，设 A 家公司长途客车准点事件为 M，则()=240260=1213；则 A 家公司长途客车准点的概率为 1213；B 共有班次 210+30=240 次，准点班次有 210 次，设 B 家公司长途客车准点事件为 N，则()=210240=78.B 家公司长途客车准点的概率为 78.（2）解：列联表 准点班次数 未准点班次数 合计 A 240 20 260 B 210 30 240 合计 450 50 500 2=()2(+)(+)(+)(+)=500(2403021020)226024045050 3.205 2.706，根据临界值表可知，有 90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.【解析】【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；（2）根据表格中数据及公式计算 K2，再利用临界值表比较即可得结论.18（12 分）记 为数列 的前 n 项和已知 2+=2+1 （1）（6 分）证明：是等差数列；（2）（6 分）若 4，7，9 成等比数列，求 的最小值 【答案】（1）已知 2+=2+1，即 2+2=2+，当 2 时，21+(1)2=2(1)1+(1)，-得，2+2 21(1)2=2+2(1)1(1)，即 2+2 1=2 2(1)1+1，即 2(1)2(1)1=2(1)，所以 1=1，2 且 ，所以 是以 1 为公差的等差数列（2）由（1）中 1=1 可得，4=1+3，7=1+6，12/21 又 4，7，9 成等比数列，所以 72=4 9，即(1+6)2=(1+3)(1+8)，解得 1=12，所以=13，所以=12+(1)2=122252=12(252)26258，所以，当 =12 或 =13 时()min=78 【解析】【分析】（1）依题意可得2+2=2+，根据=1，=1 1，2，作差即可得到 1=1 ，从而得证；（2）由（1）及等比中项的性质求出 a1，即可得到an的通项公式与前 n 项和，再根据二次函数的性质计算可得 19（12 分）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面 是边长为 8（单位：cm）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面 垂直 （1）（6 分）证明：平面 ；（2）（6 分）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）【答案】（1）证明：分别取，的中点，连接 ，13/21 因为 ，为全等的正三角形，所以 ，=，又平面 平面 ，平面 平面 =，平面 ，所以 平面 ，同理可得 平面 ，根据线面垂直的性质定理可知/，而 =，所以四边形 为平行四边形，所以/，又 平面 ，平面 ，所以/平面 （2）解：分别取，中点，由（1）知，/且 =，同理有，/，=，/，=，/，=，由平面知识可知，=，所以该几何体的体积等于长方体 的体积加上四棱锥 体积的 4 倍 因为 =42，=8sin60=43，点 到平面 的距离即为点 到直线 的距离 ，=22，所以该几何体的体积 =(42)2 43+4 13 42 43 22=1283+25633=64033 【解析】【分析】（1）依题意，根据直线与平面垂直的判定定理可得 EM平面 ABCD，FN平面ABCD，根据线面垂直的性质定理可知 EM/FN，即可知四边形 EMNF 为平行四边形，可得EF/MN，再根据线面平行的判定定理即可证出；（2）再分别取 AD，DC 中点 K，L，由（1）知，该几何体的体积等于长方体 KMNL-EFGH 的体积加上四棱锥 B-MNFE 体积的 4 倍，即可解出 20（12 分）已知函数()=3，()=2+，曲线 =()在点(1，(1)处的切线也是曲线 =()的切线 （1）（6 分）若 1=1，求 a：14/21（2）（6 分）求 a 的取值范围【答案】（1）解：由题意知，(1)=1 (1)=0，()=32 1，(1)=3 1=2，则 =()在点(1，0)处的切线方程为 =2(+1)，即 =2+2，设该切线与()切于点(2，(2)，()=2，则(2)=22=2，解得 2=1，则(1)=1+=2+2，解得 =3；（2）解：()=32 1，则 =()在点(1，(1)处的切线方程为 (13 1)=(312 1)(1)，整理得 =(312 1)213，设该切线与()切于点(2，(2)，()=2，则(2)=22，则切线方程为 (22+)=22(2)，整理得 =22 22+，则 312 1=22213=22+，整理得 =22 213=(312212)2 213=9414 2133212+14，令()=944 23322+14，则()=93 62 3=3(3+1)(1)，令()0，解得 13 1，令()0，解得 13 或 0 0)的焦点为 F，点(，0)，过 的直线交 C 于 M，N两点当直线 MD 垂直于 x 轴时，|=3 （1）（6 分）求 C 的方程：（2）（6 分）设直线，与 C 的另一个交点分别为 A，B，记直线，的倾斜角分别 15/21 为，当 取得最大值时，求直线 AB 的方程 【答案】（1）解：抛物线的准线为 =2，当 与 x 轴垂直时，点 M 的横坐标为 p，此时|=+2=3，所以 =2，所以抛物线 C 的方程为 2=4；（2）解：设(124，1)，(224，2)，(324，3)，(424，4)，直线：=+1，由 =+12=4 可得 2 4 4=0，0，12=4，由斜率公式可得=12124224=41+2，=34324424=43+4，直线：=121 +2，代入抛物线方程可得 24(12)1 8=0，0，13=8，所以 3=22，同理可得 4=21，所以=43+4=42(1+2)=2 又因为直线 MN、AB 的倾斜角分别为，所以=tan=2=tan2，若要使 最大，则 (0，2)，设=2=2 0，则 tan()=tantan1+tantan=1+22=11+21212=24，当且仅当 1=2 即 =22 时，等号成立，所以当 最大时，=22，设直线：=2+，代入抛物线方程可得 2 42 4=0，0，34=4=412=16，所以 =4，所以直线：=2+4.【解析】【分析】（1）由抛物线的定义可得|=+2，即可得解；（2）设点的坐标及直线 MN：x=my+1，由韦达定理及斜率公式可得 KMN=2KAB，再由差角的正切公式及基本不等式可得=22，设直线 AB：=2+，结合韦达定理可解.16/21 阅卷人 四、选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。(共 2 题；共 20 分)得分 22（10 分）在直角坐标系 中，曲线 1 的参数方程为 =2+6=（t 为参数），曲线 2 的参数方程为 =2+6=（s 为参数）（1）（5 分）写出 1 的普通方程；（2）（5 分）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 3 的极坐标方程为 2cos sin=0，求 3 与 1 交点的直角坐标，及 3 与 2 交点的直角坐标 【答案】（1）解：因为 =2+6，=，所以 =2+26，即 1 普通方程为 2=6 2(0)（2）解：因为 =2+6，=，所以 6=2 2，即 2 的普通方程为 2=62(0)，由 2cos sin=0 2cos sin=0，即 3 的普通方程为 2 =0 联立 2=6 2(0)2 =0，解得：=12=1 或 =1=2，即交点坐标为(12，1)，(1，2)；联立 2=6 2(0)2 =0，解得：=12=1 或 =1=2，即交点坐标(12，1)，(1，2)【解析】【分析】(1)消去参数 t，即可得到 C1的普通方程；(2)将曲线 C2，C3的方程化成普通方程，联立求解即解出 23（10 分）已知 a，b，c 均为正数，且 2+2+42=3，证明：（1）（5 分）+2 3；（2）（5 分）若 =2，则 1+1 3 【答案】（1）证明：由柯西不等式有 2+2+(2)2(12+12+12)(+2)2，所以 +2 3，当且仅当 =2=1 时，取等号，所以 +2 3（2）证明：因为 =2，0，0，0，由（1）得 +2=+4 3，17/21 即 0 +4 3，所以 1+413，由权方和不等式知 1+1=12+224(1+2)2+4=9+4 3，当且仅当 1=24，即 =1，=12 时取等号，所以 1+1 3.【解析】【分析】（1）根据 a2+b2+4c2=a2+b2+(2c)2，利用柯西不等式即可得证；（2）由（1）结合已知可得 0 +4 3，即可得到 1+413，再根据权方和不等式即可得证.18/21 试题分析部分 1、试卷总体分布分析 总分：160 分 分值分布 客观题（占比）60.0(37.5%)主观题（占比）100.0(62.5%)题量分布 客观题（占比）12(52.2%)主观题（占比）11(47.8%)2、试卷题量分布分析 大题题型 题目量（占比）分值（占比）填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共20 分。4(17.4%)20.0(12.5%)选择题：本题共 12小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。12(52.2%)60.0(37.5%)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。2(8.7%)20.0(12.5%)解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第5(21.7%)60.0(37.5%)19/21 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。3、试卷难度结构分析 序号 难易度 占比 1 普通(65.2%)2 容易(26.1%)3 困难(8.7%)4、试卷知识点分析 序号 知识点（认知水平）分值（占比）对应题号 1 平面向量数量积坐标表示的应用 5.0(3.1%)11 2 直线与平面垂直的性质 12.0(7.5%)19 3 一般形式的柯西不等式 10.0(6.3%)23 4 直线与平面所成的角 5.0(3.1%)9 5 椭圆的简单性质 5.0(3.1%)11 6 复数代数形式的混合运算 5.0(3.1%)3 7 古典概型及其概率计算公式 17.0(10.6%)6,17 8 直线与圆锥曲线的综合问题 12.0(7.5%)21 9 双曲线的简单性质 5.0(3.1%)15 10 复数的基本概念 5.0(3.1%)3 20/21 11 利用导数研究曲线上某点切线方程 12.0(7.5%)20 12 数量积判断两个平面向量的垂直关系 5.0(3.1%)13 13 由三视图求面积、体积 5.0(3.1%)4 14 抛物线的定义 12.0(7.5%)21 15 等差数列 12.0(7.5%)18 16 旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）5.0(3.1%)10 17 正弦函数的奇偶性与对称性 5.0(3.1%)5 18 指数式与对数式的互化 5.0(3.1%)12 19 数列递推式 12.0(7.5%)18 20 函数的值 5.0(3.1%)7 21 直线与圆锥曲线的关系 22.0(13.8%)21,22 22 直线与平面平行的判定 12.0(7.5%)19 23 众数、中位数、平均数 5.0(3.1%)2 24 导数在最大值、最小值问题中的应用 17.0(10.6%)8,20 25 等差数列的前 n 项和 12.0(7.5%)18 26 函数奇偶性的性质 5.0(3.1%)7 27 棱柱、棱锥、棱台的体积 17.0(10.6%)4,19 21/21 28 等比数列的性质 12.0(7.5%)18 29 指数函数单调性的应用 5.0(3.1%)12 30 复数求模 5.0(3.1%)3 31 抛物线的标准方程 12.0(7.5%)21 32 极差、方差与标准差 5.0(3.1%)2 33 平面向量数量积的运算 5.0(3.1%)11 34 直线与平面垂直的判定 12.0(7.5%)19 35 独立性检验的应用 12.0(7.5%)17 36 基本不等式在最值问题中的应用 5.0(3.1%)16 37 利用导数研究函数的单调性 17.0(10.6%)8,20 38 对数函数的单调性与特殊点 5.0(3.1%)12 39 圆的标准方程 5.0(3.1%)14 40 交集及其运算 5.0(3.1%)1 41 余弦定理的应用 5.0(3.1%)16 42 函数的图象与图象变化 5.0(3.1%)5 43 正弦函数的图象 5.0(3.1%)5 44 参数方程化成普通方程 10.0(6.3%)22 45 换底公式的应用 5.0(3.1%)12