上海市松江二中20222023学年高三数学第一学期期末统考试题含解析.pdf
2022-2023 学年高三上数学期末模拟试卷 注意事项：1 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 05 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知函数 f（x）sin2x+sin2（x3），则 f（x）的最小值为（）A12 B14 C34 D22 2三棱柱111ABCABC中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAACAA，则异面直线1AB与1BC所成角的余弦值为（）A33 B66 C34 D36 3已知角的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点(3,4)P，则tan 24的值为（）A247 B1731 C247 D1731 4复数2(1)41izi的虚部为（）A1 B3 C1 D2 5“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为 f，则第八个单音的频率为 A32 f B322 f C1252 f D1272 f 6设 1,0,1,2U ，集合2|1,Ax xxU，则UC A（）A0,1,2 B 1,1,2 C 1,0,2 D 1,0,1 7公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”。如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的n值为（）（参考数据：0031.732,sin150.2588,sin750.9659）A48 B36 C24 D12 8若函数32()39f xxaxx在3x 时取得极值，则a（）A2 B3 C4 D5 9已知函数2,0()4,0 xxf xxx，若 02f x，则0 x的取值范围是（）A(,1)B(1,0 C(1,)D(,0)10甲在微信群中发了一个 6 元“拼手气”红包,被乙丙丁三人抢完,若三人均领到整数元,且每人至少领到 1 元,则乙获得“最佳手气”(即乙领到的钱数多于其他任何人)的概率是（）A13 B310 C25 D34 11已知(1,2)a，(,3)bm m，(2,1)cm，若/ab，则b c（）A7 B3 C3 D7 12已知 f x为定义在R上的奇函数，若当0 x 时，2xf xxm（m为实数），则关于x的不等式212f x 的解集是（）A0,2 B2,2 C1,1 D1,3 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13正方形ABCD的边长为 2，圆O内切于正方形ABCD，MN为圆O的一条动直径，点P为正方形ABCD边界上任一点，则PM PN的取值范围是_.14已知函数 22,2,2,2,xxfxxx 函数 2g xbfx，其中bR，若函数 yf xg x 恰有 4 个零点，则的取值范围是_ 15已知tan3，则cos2_ 16已知ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c4a，6b，3A则cos2B _ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12 分）已知函数()36f xx，()14g xx，若存在实数x使()()f xg xa成立，求实数a的取值范围.18（12 分）如图，点C是以AB为直径的圆O上异于A、B的一点，直角梯形BCDE所在平面与圆O所在平面垂直，且/,DEBC DCBC，12,32DEBCACCD.（1）证明：/EO平面ACD；（2）求点E到平面ABD的距离.19（12 分）在ABC中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且sin3sinsinsinCBabABc.（1）求角 A 的大小；（2）若2sinsin1cosABC，BAC的平分线与BC交于点 D，与ABC的外接圆交于点 E（异于点 A），AEAD，求的值.20（12 分）在直角坐标平面中，已知ABC的顶点(2,0)A，(2,0)B，C为平面内的动点，且sinsin3cos0ABC.（1）求动点C的轨迹Q的方程；（2）设过点(1,0)F且不垂直于x轴的直线l与Q交于P，R两点，点P关于x轴的对称点为S，证明：直线RS过x轴上的定点.21（12 分）在某外国语学校举行的HIMCM(高中生数学建模大赛)中,参与大赛的女生与男生人数之比为1:3,且成绩分布在40,100,分数在80以上(含80)的同学获奖按女生、男生用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图如图所示 ()求a的值,并计算所抽取样本的平均值x(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；()填写下面的22列联表,并判断在犯错误的概率不超过0.05的前提下能否认为“获奖与女生、男生有关”女生 男生 总计 获奖 5 不获奖 总计 200 附表及公式：20P Kk 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 其中22()()()()()n ad bcKa b cd a c b d,nabcd 22（10 分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数方程为22cos2sinxy（为参数），直线l经过点1,3 3M 且倾斜角为.（1）求曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程；（2）已知直线l与曲线C交于,A B，满足A为MB的中点，求tan.参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为 11cos 223fxx，再求最值.【详解】已知函数 f（x）sin2x+sin2（x3），=21 cos 21 cos2322xx，=1 cos23sin2111cos 222223xxx，因为cos 21,13x，所以 f（x）的最小值为12.故选：A【点睛】本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.2、B【解析】设1AAc，ABa，ACb，根据向量线性运算法则可表示出1AB和1BC；分别求解出11AB BC和1AB，1BC，根据向量夹角的求解方法求得11cos,AB BC，即可得所求角的余弦值.【详解】设棱长为 1，1AAc，ABa，ACb 由题意得：12a b，12b c，12a c 1ABac，11BCBCBBbac 22111111122AB BCacbaca baa cb ca cc 又222123ABacaa cc 222212222BCbacbaca bb ca c 11111116cos,66AB BCAB BCABBC 即异面直线1AB与1BC所成角的余弦值为：66 本题正确选项：B【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过向量的线性运算、数量积运算将问题转化为向量夹角的求解问题.3、B【解析】根据三角函数定义得到4tan3，故24tan27，再利用和差公式得到答案.【详解】角的终边过点(3,4)P，4tan3，22tan24tan21tan7.241tan2tan1774tan 2244311tan2tan1147.故选：B.【点睛】本题考查了三角函数定义，和差公式，意在考查学生的计算能力.4、B【解析】对复数z进行化简计算，得到答案.【详解】2421(1)4421 3112iiiiziii 所以z的虚部为3 故选 B 项.【点睛】本题考查复数的计算，虚部的概念，属于简单题.5、D【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为122，所以1212(2,)nnaannN，又1af，则127771281(2)2aa qff 故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若1nnaqa（*0,qnN）或1nnaqa（*0,2,qnnN），数列na是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列na中，0na 且212nnnaaa（*3,nnN），则数列na是等比数列.6、B【解析】先化简集合 A,再求UC A.【详解】由21x 得：11x ，所以0A，因此1,1,2UA ，故答案为 B【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.7、C【解析】由6n 开始，按照框图，依次求出 s，进行判断。【详解】00116s6sin602.598,n12s12sin303,22n 01n24s24sin152 3.1058，故选 C.【点睛】框图问题，依据框图结构，依次准确求出数值，进行判断，是解题关键。8、D【解析】对函数求导，根据函数在3x 时取得极值，得到 30f ，即可求出结果.【详解】因为 3239f xxaxx，所以 2323fxxax，又函数 3239f xxaxx在3x 时取得极值，所以 327630fa，解得5a.故选 D【点睛】本题主要考查导数的应用，根据函数的极值求参数的问题，属于常考题型.9、B【解析】对0 x分类讨论，代入解析式求出0()f x，解不等式，即可求解.【详解】函数2,0()4,0 xxf xxx，由 02f x 得00220 xx或00420 xx 解得010 x.故选:B.【点睛】本题考查利用分段函数性质解不等式，属于基础题.10、B【解析】将所有可能的情况全部枚举出来,再根据古典概型的方法求解即可.【详解】设乙,丙,丁分别领到 x 元,y 元,z 元,记为(,)x y z,则基本事件有(1,1,4),(1,4,1),(4,1,1),(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),(2,2,2),共 10 个,其中符合乙获得“最佳手气”的有 3 个,故所求概率为310,故选：B.【点睛】本题主要考查了枚举法求古典概型的方法,属于基础题型.11、B【解析】由平行求出参数m，再由数量积的坐标运算计算【详解】由/ab，得2(3)0mm，则3m，(3,6)b，(1,1)c，所以363b c 故选：B【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，考查数量积的坐标运算，掌握向量数量积的坐标运算是解题关键 12、A【解析】先根据奇函数求出 m 的值，然后结合单调性求解不等式.【详解】据题意，得 010fm，得1m ，所以当0 x 时，21xf xx.分析知，函数 f x在R上为增函数.又 12f，所以 12f .又212f x，所以11 1x ，所以02x，故选 A.【点睛】本题主要考查函数的性质应用，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13、0,1【解析】根据向量关系表示PM PNPOOMPOOM2221POOMPO，只需求出PO的取值范围即可得解.【详解】由题可得：0OMON，1,2PO PM PNPOOMPOONPOOMPOOM 2220,11POOMPO 故答案为：0,1【点睛】此题考查求平面向量数量积的取值范围，涉及基本运算，关键在于恰当地对向量进行转换，便于计算解题.14、7,24【解析】22,2,2,2,xxf xxx，222,02,0 x xfxxx，函数 y=f(x)g(x)恰好有四个零点，方程 f(x)g(x)=0 有四个解，即 f(x)+f(2x)b=0 有四个解，即函数 y=f(x)+f(2x)与 y=b 的图象有四个交点，222,022,0258,2xxxyf xfxxxxx，作函数 y=f(x)+f(2x)与 y=b 的图象如下，115572222224ffff，结合图象可知，74 b2，故答案为7,24.点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现 f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围 15、45【解析】解：由题意可知：2214cos22cos121tan15 .16、716【解析】利用正弦定理求得角B，再利用二倍角的余弦公式，即可求解.【详解】由正弦定理得46sin32B，3 2sin8B，187cos21 26416B 故答案为：716.【点睛】本题考查了正弦定理求角，三角恒等变换，属于基础题.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、,8【解析】试题分析：先将问题“存在实数x使 f xg xa成立”转化为“求函数 f xg x的最大值”,再借助柯西不等式求出 f xg x的最大值即可获解.试题解析：存在实数x使 f xg xa成立，等价于 f xg x的最大值大于a，因为，由柯西不等式：2321143 121464xxxx，所以 36148f xg xxx，当且仅当10 x 时取“”，故常数a的取值范围是,8 考点：柯西不等式即运用和转化与化归的数学思想的运用.18、（1）见解析；（2）6 4141【解析】（1）取BC的中点M，证明/,/OM AC EMCD,则平面/OME平面ACD，则可证/EO平面ACD.（2）利用EABDA EBDVV，AC是平面BED的高，容易求.112 3322BDESDE CD ，再求ABDS，则点E到平面ABD的距离可求.【详解】解：（1）如图：取BC的中点M，连接OM、ME.在ABC中，O是AB的中点，M是BC的中点，,OMAC AC平面 EMOMO,平面 EMO,故 AC平面 EMO 在直角梯形BCDE中，DECB，且DECM，四边形MCDE是平行四边形，EMCD，同理 CD 平面 EMO 又 CD AC=C,故平面 EMO 平面ACD，又EO 平面,EMOEO平面ACD.（2）AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A、B的一点，ACBC 又平面BCDE 平面ABC，平面BCDE 平面ABCBC AC平面BCDE，可得AC是三棱锥ABDE的高线.在直角梯形BCDE中，112 3322BDESDE CD .设E到平面ABD的距离为h，则EABDA EBDVV，即1133ABDEBDShSAC 由已知得5,5,3 2ABBDAD，由余弦定理易知：16cos25ABD，则13 41sin22ABDSAB BDABD 解得6 4141h，即点E到平面ABD的距离为6 4141 故答案为：6 4141.【点睛】考查线面平行的判定和利用等体积法求距离的方法，是中档题.19、（1）30A；（2）2 33【解析】（1）由sin3sinsinsinCBabABc，利用正弦定理转化整理为2223abcbc，再利用余弦定理求解.（2）根据2sinsin1cosABC，利用两角和的余弦得到cos1AB，利用数形结合，设1AC，在ADC中，由正弦定理求得AD，在AOE中，求得AE再求解.【详解】（1）因为sin3sinsinsinCBabABc，所以3cb cabab，即2223abcbc，即3cos2A，所以30A.（2）2sinsin1cos1 cosABCAB ，1 coscossinsinABAB.所以cos1AB，从而AB.所以30B，120C.不妨设1AC，O 为ABC外接圆圆心 则 AO=1，3AB，45ADCEAO.在ADC中，由正弦定理知，有1sin120sinsin45ADACADC.即62AD；在AOE中，由45OAEOEA，1OA，从而2AE.所以2 33AEAD.【点睛】本题主要考查平面向量的模的几何意义，还考查了数形结合的方法，属于中档题.20、（1）22143xy（0y）；（2）证明见解析.【解析】（1）设点(,)C x y，分别用|yAC表示sin A、|yBC表示sinB和余弦定理表示cosC，将sinsin3cos0ABC表示为x、y的方程，再化简即可；（2）设直线方程代入Q的轨迹方程，得2234690mymy，设点11,P x y，22,R x y，11,S xy，表示出直线RS，取0y，得4x，即可证明直线RS过x轴上的定点.【详解】（1）设(,)C x y，由已知sinsin3cos0ABC，2222|30|2|yACBCABACBCACBC，22222(2)(2)16302xyxyy（0y），化简得点C的轨迹Q的方程为：22143xy（0y）；（2）由（1）知，过点(1,0)F的直线l的斜率为 0 时与Q无交点，不合题意 故可设直线l的方程为：1xmy（0m），代入Q的方程得：2234690mymy.设11,P x y，22,R x y，则11,S xy，122634myym，122934y ym.直线RS：211121yyyyxxxx.令0y，得 12112121212121212111yxxy mymyyy xx yxxyyyyyy 212121221212922234114634mmy yyymy ymmyyyym .直线RS过x轴上的定点(4,0).【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法、余弦定理的应用和利用直线和圆锥曲线的位置关系求定点问题，考查学生的计算能力，属于中档题.21、（）0.025a，69x；（）详见解析.【解析】()根据概率的性质知所有矩形的面积之和等于1列式可解得；()由频率分布直方图知样本中获奖的人数为40,不获奖的人数为160,从而可得22列联表,再计算出2K,与临界值比较可得【详解】解：()110a 1(0.010.0150.03 0.0150.005)100.025,45 0.155 0.1565x 0.2575 0.385 0.1595 0.0569()由频率分布直方图知样本中获奖的人数为40,不获奖的人数为160,22列联表如下：女生 男生 总计 获奖 5 35 40 不获奖 45 115 160 总计 50 150 200 因为22200(5 11535 45)40 160 150K4.1673.841,所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下能认为“获奖与女生,男生有关”【点睛】本题主要考查独立性检验，以及由频率分布直方图求平均数的问题，熟记独立性检验的思想，以及平均数的计算方法即可，属于常考题型.22、（1）4cos，1cos3 3tsinxty ；（2）3.【解析】（1）由曲线C的参数方程消去参数可得曲线C的普通方程，由此可求曲线C的极坐标方程；直接利用直线的倾斜角以及经过的点求出直线的参数方程即可；（2）将直线的参数方程，代入曲线C的普通方程224xyx，整理得263sincos320tt，利用韦达定理，根据A为MB的中点，解出即可.【详解】（1）由22cos2sinxy（为参数）消去参数，可得2224xy，即224xyx，已知曲线C的普通方程为224xyx，cosx，222xy，24 cos，即4cos，曲线C的极坐标方程为4cos，直线l经过点1,3 3M ，且倾斜角为，直线l的参数方程：1cos3 3sinxtyt （t为参数，0）.（2）设,A B对应的参数分别为At，Bt.将直线l的参数方程代入C并整理，得263sincos320tt，63sincosABtt，32ABtt.又A为MB的中点，2BAtt，23sincos4sin6At，8sin6Bt，232sin326ABtt，即2sin()16，0，7666，62，即3，tan33.【点睛】本题考查了圆的参数方程与极坐标方程之间的互化以及直线参数方程的应用，考查了计算能力，属于中档题.
