二项式定理赋值法求各项系数的和.pdf
二项式定理赋值法求各项系数的和 1/4 二项式定理赋值法求各项系数的和 例 2.已知7270127(12)xaa xa xa x，求:(1）127aaa；（）1357aaaa;(3)017|aaa.解：（1)当1x 时,77(12)(12)1x,展开式右边为 0127aaaa 0127aaaa1,当0 x 时,01a，1271 12aaa ,(2）令1x，0127aaaa1 令1x,7012345673aaaaaaaa 得:713572()13aaaa ，1357aaaa71 32.(3)由展开式知:1357,a a a a均为负,0248,a a a a均为正,由()中+得:702462()13aaaa ,702461 32aaaa，017|aaa01234567aaaaaaaa 702461357()()3aaaaaaaa 例 6 设 231111nxxxx2012nnaa xa xa x，二项式定理赋值法求各项系数的和 2/4 当012254naaaa时，求n的值 解：令1x 得：230122222nnaaaa2(21)2542 1n,2128,7nn,点评:对于101()()()nnnf xaxaa xaa，令1,xa即1xa可得各项系数的和012naaaa的值;令1,xa 即1xa,可得奇数项系数和与偶数项和的关系 例 8在10)32(yx 的展开式中,求:二项式系数的和;各项系数的和;奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;奇数项系数和与偶数项系数和;x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.分析:因为二项式系数特指组合数rnC,故在,中只需求组合数的和,而与二项式yx32 中的系数无关.解:设10102829110010)32(yayxayxaxayx(*）,各项系数和即为1010aaa,奇数项系数和为0210aaa,偶数项系数和为9531aaaa,x的 奇 次 项 系 数 和 为9531aaaa,x的 偶 次 项 系 数 和10420aaaa 由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.二项式系数和为1010101100102CCC 二项式定理赋值法求各项系数的和 3/4 令1 yx,各项系数和为1)1()32(1010 奇数项的二项式系数和为910102100102CCC，偶数项的二项式系数和为99103101102CCC.设10102829110010)32(yayxayxaxayx,令1 yx,得到110210aaaa（),令1x，1y（或1x,1y)得101032105aaaaa(2)（1)+（2)得10102051)(2aaa,奇数项的系数和为25110;(1）-()得1093151)(2aaa，偶数项的系数和为25110.x的奇次项系数和为251109531aaaa；x的偶次项系数和为2511010420aaaa 点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶）数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一 例 7求证:1231232nnnnnnCCCnCn 证(法一)倒序相加：设S 12323nnnnnCCCnC 又S 1221(1)(2)2nnnnnnnnnCnCnCCC rn rnnCC,011,nnnnnnCCCC,二项式定理赋值法求各项系数的和 4/4 由+得:0122nnnnnSn CCCC,11222nnSnn,即1231232nnnnnnCCCnCn.(法二)：左边各组合数的通项为 rnrC11!(1)!()!(1)!()!rnnnnrnCr nrrnr,1230121112123nnnnnnnnnnCCCnCn CCCC12nn 1.设 591413011314132111xxaxaxaxa 求:0114aaa 1313aaa.答案：9319683;953399632 2多项式12233()(1)(1)(1)(1)nnnnnnf xCxCxCxCx(6n)的展开式中，6x的系数为 3在(1)nx的展开式中,奇数项之和为p，偶数项之和为q,则2(1)nx等于（）A.0 .pq C.22pq .22pq
