《最短路径问题》教学设计.pdf

1 课题学习最短路径问题教学设计 一、教学目标 让学生能够利用轴对称、平移变换解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想 二、教学重点及难点 重点：利用轴对称、平移等变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题 难点：如何利用轴对称、平移将最短路径问题转化为线段（或线段的和）最短问题 三、教学用具 电脑、多媒体、课件、刻度尺、直尺 四、相关资源 微课，动画，图片.五、教学过程（一）引言导入 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题现实生活中经常涉及选择最短路径的问题，本节课我们将利用数学知识探究“将军饮马”和“造桥选址”两个极值问题 设计意图：直接通过引言导入新课，让学生明确本节课所要探究的内容和方向（二）探究新知 本图片是微课的首页截图，本微课资源由将军饮马的问题引出最短路径问题，并通过具体实例来巩固最短路径问题，有利于启发教师教学或学生预习或复习使用.若需使用，请插入微课【知识点解析】最短路径问题.问题 1 如图，牧马人从 A 地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到 B 地牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？2 1将实际问题抽象为数学问题 学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识（1）把 A，B 两地抽象为两个点；（2）把河边 l 近似地看成一条直线，C 为直线 l 上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为：当点 C 在 l 的什么位置时，AC 与 CB 的和最小 2解决数学问题（1）由这个问题，我们可以联想到下面的问题：如图，点 A，B 分别是直线 l 异侧的两个点，如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点 A、点 B 的距离的和最短？利用已经学过的知识，可以很容易地解决上面的问题，即：连接 AB，与直线 l 相交于一点 C，根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点 C 即为所求 （2）现在要解决的问题是：点 A，B 分别是直线 l 同侧的两个点，如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点 A、点 B 的距离和最短？（3）如何能把点 B 移到 l 的另一侧 B处，同时对直线 l 上的任一点 C，都保持 CB 与 CB的长度相等，就可以把问题转化为“上图”的情况，从而使问题得到解决（4）你能利用轴对称的有关知识，找到符合条件的点 B吗？学生独立思考后，尝试画图，完成问题小组交流，师生共同补充得出：3 作法：作点 B 关于直线 l 的对称点 B；连接 AB，与直线 l 相交于点 C则点 C 即为所求 3证明“最短”师生共同分析，证明“ACBC”最短 证明：如图，在直线 l 上任取一点 C（与点 C 不重合），连接 AC，BC，BC，由轴对称的性质知：BCBC，BCBC，ACBCACBCAB，ACBCACBC 在ABC中，ABACBC，ACBCACBC 即 ACBC 最短 思考：证明 ACBC 最短时，为什么要在直线 l 上任取一点 C（与点 C 不重合），证明ACBCACBC？这里“C”的作用是什么？学生相互交流，教师适时点拨，最后达成共识 若直线 l 上任意一点（与点 C 不重合）与 A，B 两点的距离都大于 ACBC，就说明 ACBC 最小 问题 2（造桥选址问题）如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN 桥造在何处可使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）4 1将实际问题抽象为数学问题 把河的两岸看成两条平行线 a 和 b（下图），N 为直线 b 上的一个动点，MN 垂直于直线 b，交直线 a 于点 M，这样，上面的问题可以转化为下面的问题：当点 N 在直线 b 的什么位置时，AMMNNB 最小？2解决数学问题（1）由于河岸宽度是固定的，因此当 AMNB 最小时，AMMNNB 最小这样，问题就进一步转化为：当点 N 在直线 b 的什么位置时，AMNB 最小？（2）如图，将 AM 沿与河岸垂直的方向平移，点 M 移动到点 N，点 A 移动到点 A，则AAMN，AMNBANNB这样，问题就转化为：当点 N 在直线 b 的什么位置时，ANNB 最小？（3）如图，在连接 A，B 两点的线中，线段 AB 最短因此，线段 AB 与直线 b 的交点N 的位置即为所求 5 3证明“最小”为了证明点 N 的位置即为所求，我们不妨在直线 b 上另外任意取一点 N，过点 N作 NMa，垂足为 M，连接 AM，AN，NB，证明 AMMNNBAMMNNB你能完成这个证明吗？证明：如图，在ANB 中，ABANBN，ANBNMNAMBNMN AMMNBNAMMNBN 即 AMMNBN 最小 设计意图：通过“将军饮马问题”和“造桥选址问题”的解决，增强学生探究问题的信心，让学生通过轴对称、平移变换把复杂问题进行转化，有效突破难点，感悟转化思想的重要价值 六、课堂小结 1运用轴对称解决距离最短问题 运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同 2利用平移确定最短路径选址 解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题 设计意图：通过小结，使学生梳理本节所学内容，体会轴对称、平移在解决最短路径问题中的作用，感悟转化思想的重要价值 6 七、板书设计 13.4 最短路径问题 运用轴对称解决距离最短问题 利用平移确定最短路径选址