《无穷小分析引论》.pdf

无穷小分析引论【内容提要】本书是作为微积分预备教程，为弥补初等代数对于微积分的不足，为学生从有穷概念向无穷概念过渡而写，读者对象是准备攻读和正在攻读数学的学生、数学工和广大数学爱好者.本书在数学史上地位显赫，是对数学发展影响最大的七部名著之一.【中译者的话】本书在数学史上地位显赫，是对数学发展影响最大的七部名著之一.初版(1748 年)至今虽已 200 多年，但大数学家 a.weil教授 1979 年称道其现实作用说：学生从它所能得到的益处，是现代的任何一本数学教科书都比不上的.笔者手边的俄、德、英译本依次出版于 1961，1985，1988，这大概可视为其现实作用的一个证明.欧拉贡献巨大，著述极为多产.本书是它著作中最杰出的，书中结果几乎或为他自己所得，或为他用自己的方法推出.他的作法是把最基本的东西解释得尽量清楚，讲明引导他得出结论的思路，而把进一步展开留给读者，使读者有机会驰骋自己的才能.这大概都是 a.weil 教授前面那段话的根据.本书是作为微积分预备教程，为弥补初等代数对于微积分的不足，为帮助学生从有穷概念向无穷概念过渡而写.读者对象是准备攻读和正在攻读数学的学生、数学工和广大数学爱好者.本书从英译本转译，参考俄、德译本作了些订正和改动.限于水平，中译文错误难免，敬希指正.【几段话】1.高斯：“学习欧拉的著作，乃是认识数学的最好工具.”2.拉普拉斯：“读读欧拉，他是我们大家的老师.”3.波利亚很欣赏欧拉的作法：坦率地告诉人们引导他作出发明的思路.4.albertodou,s.j 教授将欧拉的许多著作译成了西班牙文.他对本书的英译者说：“无穷分析引论是欧拉著作中最杰出的.”5.a.weil 教授 1979 年在 rochester 大学的一次讲演中说：“今天的学生从欧拉的无穷分析引论中所能得到的益处，是现代的任何一本数学教科书都比不上的.”【英译者序(节译)】1979 年 10 月，andre weil 教授在 rochester 大学，以欧拉的生平和工作为题，作了一次报告.报告中他向数学界着力陈述的一点是：今天的学生从欧拉的无穷分析引论中所能得到的益处，是现代的任何一本数学教科书都比不上的.我查到了该书的法、德、俄三个语种的译本，但查不到英文全译本，就是在这样的背景下，我着手对该书进行翻译的.欧拉的序言中说得明白，这是一本微积分预备教程.书中有几处，那里的东西只提了一下，把处理留给了微积分，用微积分处理要简单容易许多.凡这种地方书中都有交待.关于书名，欧拉原文中的无穷(infinitorum)是复数.看来这复数主要指：无穷级数、无穷乘积和连分式三种无穷.因而书名应译为有关几种无穷的分析引论，不顺口，我译它为无穷分析引论.任教于巴塞罗那大学的 s.j.alberto dou 教授将欧拉的很多著作译成了西班牙文，最近译者曾与他谈起过本书.我们就用那次谈话中他的一句话作为这段序言的结束：“在欧拉的著作中无穷分析引论最为杰出.”【作者序】接触到的学生，他们学习无穷分析之所以遇到困难，往往是由于在必须使用无穷这一陌生概念时，初等代数刚学，尚未登堂入室虽然无穷分析并不要求初等代数的全部知识和技能，问题是有些必备的东西，初等代数或者完全没讲，或者讲得不够详细本书力求把这类东西讲得既充分又清楚，求得完全弥补初等代数对无穷分析的不足书中还把相当多的难点化易，使得读者逐步地、不知不觉地掌握到无穷这一思想，有很多通常归无穷分析处理的问题，本书使用了代数方法这清楚地表明了分析与代数两种方法之间的关系 本书分上、下两册，上册讲纯分析，下册讲必要的几何知识，这是因为无穷分析的讲解常常伴以对几何的应用别的书中都讲的一般知识本书上、下册都不讲本书所讲是别处不讲的，或讲得太粗的，或虽讲但所用方法完全不同的 整个无穷分析所讨论的都是变量及其函数，因此上册细讲函数，讲了函数的变换、分解和展开为无穷级数对函数，包括属于高等分析的一些函数进行了分类首先分函数为代数函数和超越函数变量经通常的代数运算形成的函数叫代数函数，经别的运算或无穷次代数运算形成的函数叫超越函数代数函数又分为有理函数和无理函数对有理函数讲了分解它为因式和部分分式，分解为部分分式之和这种运算在积分学中有着重要应用对无理函数给出了用适当的代换变它为有理函数的方法无理函数和有理函数都可以展开成为无穷级数，但这种展开对超越函数用处最大无穷级数的理论可用于高等分析，为此增加了几章，用于考察很多无穷级数的性质与和其中有些级数的和不用无穷分析是很难求出的，其和为对数和弧度的级数就是对数和弧度是超越量，可通过求双曲线下的和圆的面积确定，主要由无穷分析对它们进行研究.接下去从以底为变量的幂转向了以指数为变量的幂作为以指数为变量之幂的逆，自然而有成果地得到了对数概念对数不仅本身有着大量应用，而且由它可得到一般量的无穷级数表示还讲了造对数表的简单方法.类似地，我们考察了弧度弧度与对数虽然是两种完全不同的量，但它们却有着如此密切的关系，当一种为虚数形式时，可化为另一种，重复了几何中多倍角和等分角正弦和余弦的求法之后，从任意角的正弦余弦导出了极小角的正弦和余弦，并导出了无穷级数由此，从趋于消失的角其正弦等于角度，余弦等于半径，我们可以通过无穷级数使任何一个角度等于它的正弦或余弦这里我们得到了如此之多的各种各样的有限的和无穷的这种表达式，以至于无需再对其性质进行研究对数有着它自己的特殊算法，这种算法应用于整个分析我们推出了三角函数的算法，使得对三角函数的运算如同对数运算和代数运算一样地容易从书中有几章的内容可以看出，三角函数算法在解决难题时，其应用范围是何等的广.事实上，这种例子从无穷分析中还可举出很多，日常的数学学习和数学工作中也会遇到很多.分解分数函数为实部分分式在积分学中有着重要应用，而三角函数算法对分解分式为实部分分式有极大帮助，我们对它进行详细讨论的原因正在于此接下去的讨论是分数函数展成的无穷级数递推级数讨论了它的和、通项和另外一些重要性质.递推级数考虑的是因式乘积的倒数，我们也考虑了展多因式，甚至无穷个因式的乘积为级数这不仅可导致对无穷多个级数的研究，而且利用级数可表示成无穷乘积，我们找到了一些方便的数值表达式，用这些表达式可以容易地计算出正弦、余弦和正切的对数，利用展因式乘积为级数，我们推出了许多有关拆数为和这类问题的解倘不利用这一点，看来分析对拆数为和是无能为力的 本书涉及方面之广，完全可以写成几册书，因而我们力求简单明了，把最基本的东西解释得尽量清楚，而把进一步展开留给读者，使读者有机会驰骋自己的才能，自己来进一步发展分析我坦率地告诉读者，本书含有许多全新的东西，并且从本书的很多地方可以得到重要的进一步的发现 下册讨论的问题，一般地说都属于高等几何，处理方法同于上册一般教科书讲这一部分时都从圆锥曲线开始，本书先讲曲线的一般理论，再讲圆锥曲线，为的是能够应用曲线理论去研究任何一种曲线本书利用描述曲线的方程，而且只用这种方程来研究曲线曲线的形状和基本性质都从方程推出我觉得这种处理方法的优越性，在圆锥曲线上表现得最突出即或有人对它应用分析方法，那也是显得生硬、不自然的我们先从二阶曲线的一般方程解释了二阶曲线的一般性质接下去根据有无伸向无穷的分支，也即是否介于某个有限区域之中，对二阶曲线进行了分类对于无穷分支，我们进一步考虑分支的条数，并考虑各条分支有无渐近线.这样我们得到了通常的三种圆锥曲线.第一种是椭圆，它介于一个有限区域之中；第二种是双曲线，它有四条伸向无穷的分支，趋向两条渐近线；第三种是抛物线，有两条伸向无穷的分支，没有渐近线 接下去，对三阶曲线用类似的方法，阐述了其一般性质，并将它分为 12 类，事实上是把牛顿的 72 种划分成了 12 类对这一方法我们的描述是充分的，不难用它对更高阶曲线进行分类书中用它对四阶曲线进行了分类 在分阶进行考察之后，我们转向了寻求曲线的共同性质讲了曲线的切线和法线的定义方法，也讲了用密切圆半径表示的曲率虽然这些问题现在一般都用微积分来解决，但本书只在通常代数的基础上对它进行讨论，为的是使读者能够比较容易地从有穷分析过渡到无穷分析我们也对曲线的拐点、尖点、二重点和多重点进行了研究讲了如何从方程求出这些点，求法都不难但我不否认用微分学的方法来求更容易我们也讲到了关于二阶尖点这有争论的问题二阶尖点，即有同朝向的两段弧收敛于它的尖点我们讨论的深度不越出看法一致的范围.加写了几章，用来讨论具有某些性质的曲线的求法最后给出了与圆有关的几个问题的解.几何中有几部分是学习无穷分析所必备的有鉴于此，我们添上了一个附录，用计算的方式讲立体几何中有关立体和曲面的一些知识讲了如何用三元方程表达曲面的性质，然后照曲线那样，根据方程的阶数将曲面分了类，并证明了只有一阶曲面才是平面根据它伸向无穷的部分将二阶曲面分成了六类对更高阶的曲面也可以用类似的方式进行分类我们对两个曲面的交线进行了讨论交线多数都不在一个平面上，我们讲了如何用方程表示交线最后对曲面的切线和法面进行了一些讨论.这里声明一点，书中很多东西是别人已经得到了的，恕我没有一一指出本书力求简短，如果对问题的历史进行讨论，那将突破本书的篇幅限制可聊以自慰的是，对别人已经得到了的东西，其中很多本书是用另一种方法进行讨论的很希望多数读者从方法新和全新特别是全新的东西中得到益处.【目 录】第一章 函 数/1 第二章 函数变换/10 第三章 函数的换元变换/27 第四章 函数的无穷级数展开/38 第五章 多元函数/50 第六章 指数和对数/57 第七章 指数函数和对数函数的级数表示/69 第八章 来自圆的超越量/76 第九章 三项式因式/91 第十章 利用已知因式求无穷级数的和/110 第十一章 弧和正弦的几种无穷表示/125 第十二章 分解分数函数为实部分分式/139 第十三章 递推级数/152 第十四章 多倍角和等分角/173 第十五章 源于乘积的级数/193 第十六章 拆数为和/216 第十七章 应用递推级数求根/234 第十八章 连分数/249