《现代控制理论》第3版课后习题答案..pdf

1 现代控制理论参考答案 第一章答案 1-1 试求图 1-27 系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。11KsKKpsKsKp1sJ11sKn22sJKb-+-+-)(s)(sU图1-27系统方块结构图 解：系统的模拟结构图如下：)(sU)(s-+图 1-30 双输入-双输出系统模拟结构图1KpKK1pKK1+pKnK11J2JKb-1x2x3x4x5x6x 系统的状态方程如下：2 uKKxKKxKKxXKxKxxxxJKxJxJKxJKxxJKxxxppppnpb1611166131534615141313322211 令ys)(，则1xy 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 654321165432111111112654321000001000000000000000010010000000000010 xxxxxxyuKKxxxxxxKKKKKKJKJJKJKJKxxxxxxppppnpb 1-2 有电路如图 1-28 所示。以电压)(tu为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R上的电压作为输出量的输出方程。R1L1R2L2CU-Uc-i1i2图1-28 电路图 3 解：由图，令32211,xuxixic，输出量22xRy 有电路原理可知：3213222231111xCxxxxRxLuxxLxR 既得 22213322222131111111111xRyxCxCxxLxLRxuLxLxLRx 写成矢量矩阵形式为：32121321222111321000010111010 xxxRyuLxxxCCLLRLLRxxx。1-4 两输入1u，2u，两输出1y，2y的系统，其模拟结构图如图 1-30 所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。11a3a4a2b1b1u2u1y2y+-+5a6a2a图1-30双输入-双输出系统模拟结构图 解：系统的状态空间表达式如下所示：4321214321345612432101010000000100100010 xxxxyubbxxxxaaaaaaxxxx 4 34561201010001)(aaasaasasAsI 211345612100000001010001)()(bbaaasaasasBAsIsWux 2113456121000000010100010101)()(bbaaasaasasBAsICsWuy 1-5 系统的动态特性由下列微分方程描述 uuuyyyy23375)2(.列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。解：令.3.21yxyxyx，则有 321321321132100573100010 xxxyuxxxxxx。相应的模拟结构图如下：573uy+-31x2x3x21 1-6（2）已知系统传递函数2)3)(2()1(6)(sssssW,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图 5 解：sssssssssW31233310)3(4)3)(2()1(6)(22 432143214321313310411100000020000300013xxxxyuxxxxxxxx 1-7 给定下列状态空间表达式 321321321100210311032010 xxxyuxxxxxx（1）画出其模拟结构图（2）求系统的传递函数 解：（2）31103201)()(sssAsIsW)1)(2)(3()3(2)3(2ssssssAsI)2)(1(150)3()3(2033)1)(2)(3(1)(21ssssssssssssAsI)3)(12()3()3()1)(2)(3(1210)2)(1(150)3()3(2033)1)(2)(3(1)()(21ssssssssssssssssssssBAsIsWux 6)1)(2()12()1)(2)(3(1)3)(12()3()3(100)()(1sssssssssssBAsICsWuy 1-8 求下列矩阵的特征矢量（3）6712203010A 解：A 的特征方程 061166712230123AI 解之得：3,2,1321 当11时，3121113121116712203010pppppp 解得：113121ppp 令111p 得 1113121111pppP（或令111p，得1113121111pppP）当21时，32221232221226712203010pppppp 解得：1232122221,2pppp 令212p 得 1423222122pppP（或令112p，得21213222122pppP）当31时，33231333231336712203010pppppp 7 解得：133313233,3pppp 令113p 得 3313323133pppP 1-9 将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）（2）32121321321110021357213311201214xxxyyuxxxxxx 解：A 的特征方程 0)3)(1(311212142AI 1,332,1 当31时，3121113121113311201214pppppp 解之得 113121ppp 令111p 得 1113121111pppP 当32时，1113311201214312111312111pppppp 解之得 32222212,1pppp 令112p 得 0013222122pppP 当13时，332313332313311201214pppppp 解之得 3323132,0ppp 令133p 得 1203323133pppP 8 101201011T 1102112101T 4325183572131102112101BT 302413101201011110021CT 约旦标准型 xyuxx302413432518100030013 1-10 已知两系统的传递函数分别为 W1(s)和 W2(s)2102111)(1sssssW 0114131)(2ssssW 试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果 解：（1）串联联结)2)(1(1)1(1)4)(3)(2(75)3)(1(121021110114131)()()(2212ssssssssssssssssssWsWsW （2）并联联结 01141312102111)()()(11ssssssssWsWsW 1-11（第 3 版教材）已知如图 1-22 所示的系统，其中子系统 1、2 的传递函数阵分别为 9 210111)(1ssssW 10012)s(W 求系统的闭环传递函数 解：2101111001210111)()(211sssssssWsW 2301121001210111)()(1ssssssssIsWsWI 320)3(12112012331)()(121sssssssssssssssWsWI 310)3(1211101)1)(2(3312111112012331)()()()(1121ssssssssssssssssssssssssWsWsWIsW 1-11（第 2 版教材）已知如图 1-22 所示的系统，其中子系统 1、2 的传递函数阵分别为 2121111sss)s(W 10012)s(W 求系统的闭环传递函数 解：212111100121211111ssssss)s(W)s(W 232112100121211111ssssssss)s(W)s(WI 1221232512111sssssss)s(s)s(W)s(WI 10 252)25)(2(66251)25()2()83()1(1121)2(222)2(1)2(32)2(325)1(2112112212325)1()()()()(222322222221111ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssWsWsWIsW 1-12 已知差分方程为)(3)1(2)(2)1(3)2(kukukykyky 试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数 u 的系数 b(即控制列阵)为（1）11b 解法 1：21112332)(2zzzzzzW)(11)(2001)1(kukxkx)(11)(kxky 解法 2：)(2)(3)()(3)(2)1()()1(2121221kxkxkyukxkxkxkxkx)(23)()(10)(3210)1(kxkykukxkx 求 T,使得111BT 得10111T 所以 1011T 15041011321010111ATT 13101123CT 11 所以，状态空间表达式为)(13)()(11)(1504)1(kzkykukzkz 第二章习题答案 2-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数Ate。（2）A=1141 解：第一种方法：令 0IA 则 11041，即2140。求解得到13，21 当13时，特征矢量11121ppp 由 111App，得11112121311341pppp 即112111112121343pppppp，可令112p 当21 时，特征矢量12222ppp 由222App，得121222221141pppp 即1222121222224pppppp ，可令212p 则1122T，111241124T 12 3333311111111024224422111102422tttttAtttttteeeeeeeeeee 第二种方法，即拉氏反变换法：1141ssIAs 11114131ssIAsss 113131413131ssssssssss 1111112314311111131231ssssssss 331133111122441122ttttAttttteeeeeLsIAeeee 第三种方法，即凯莱哈密顿定理 由第一种方法可知13，21 313303113131344441111114444tttttttteeeeeeee 3333331111101113132244014111444422ttttAttttttttteeeeeeeeeeeee 2-5 下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的 A 阵。（3）22222222tttttttteeeeteeee （4）3333112412tttttttteeeeteeee 13 解：（3）因为 10001I，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件 2222000222421324tttttttttteeeeAteeee （4）因为 10001I，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件 33033013131122441341322tttttttttteeeeAteeee 2-6 求下列状态空间表达式的解：010001xxu 1,0yx 初始状态 101x ，输入 u t时单位阶跃函数。解：0100A 10ssIAs 2121111010ssssIAsss 11101AttteLsIA 因为 01B ，u tI t 00tx tt xtBud 01110011011tttd 14 0111tttd 21121ttt 21121ttt 211012yxtt 2-9 有系统如图 2.2 所示，试求离散化的状态空间表达式。设采样周期分别为 T=0.1s 和 1s，而1u和2u为分段常数。K/(s+1)211/su1XXx1u2+-+x2y 图 2.2 系统结构图 解：将此图化成模拟结构图 K21u1XXx1u2-+x2y-X 列出状态方程 111xkux 212xxu 212yxx 121001001ukxxu 1221xyx 则离散时间状态空间表达式为 15 1x kG T x kH T u k y kcx kDu k 由 AtG Te和 0TAtH Te dtB得：1010A 001kB 21TC 111100111TAtTseeLsIALse 00100001001011111TtTTTAtTTTkekkeeHe dtdteTeTk TeT 当 T=1 时 11111001111keex kx ku keke 12 1y kx k 当 T=0.1 时 0.10.10.10.11001110.90.1keex kx ku kek e 12 1y kx k 第三章习题 3-1 判断下列系统的状态能控性和能观测性。系统中 a,b,c,d 的取值对能控性和能观性是否有关，若有关，其取值条件如何？（1）系统如图 3.16 所示：abcd+-+-yu1x2x3x4x图3.16 系统模拟结构图 16 解：由图可得：343432112332211xydxxxcxxxxxcxxbxxuaxx 状态空间表达式为：xyuxxxxdcbaxxxx0100000110001100000043214321 由于2x、3x、4x与u无关，因而状态不能完全能控，为不能控系统。由于y只与3x有关，因而系统为不完全能观的，为不能观系统。（3）系统如下式：xdcyubaxxxxxx00000012200010011321321 解：如状态方程与输出方程所示，A 为约旦标准形。要使系统能控，控制矩阵 b 中相对于约旦块的最后一行元素不能为 0，故有0,0ba。要使系统能观，则 C 中对应于约旦块的第一列元素不全为 0，故有0,0dc。3-2 时不变系统 XyuXX111111113113 试用两种方法判别其能控性和能观性。解：方法一：17 2-2-112-2-11ABBM1111,1111,3113CBA 系统不能控。,21rankM 44221111CACN 系统能观。,2rankN 方法二：将系统化为约旦标准形。420133113AI212，1-1PPPA 11PPPA2222211111则状态矢量：1-111T，21212121T1-4-002-1-1113-113-21212121ATT1-0011111121212121BT1-20021-1111-111CT BT-1中有全为零的行，系统不可控。CT中没有全为0 的列，系统可观。3-3 确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数ii和 11,11,01)1(21CbA 解：构造能控阵：18 21111AbbM 要使系统完全能控，则211，即0121 构造能观阵：21111CACN 要使系统完全能观，则121，即0121 3-4 设系统的传递函数是 182710)()(23sssassusy （1）当a 取何值时，系统将是不完全能控或不完全能观的？（2）当a 取上述值时，求使系统的完全能控的状态空间表达式。（3）当a 取上述值时，求使系统的完全能观的状态空间表达式。解：(1)方法 1：)6)(3)(1()()()(sssassusysW 系统能控且能观的条件为W(s)没有零极点对消。因此当 a=1,或 a=3 或 a=6 时，系统为不能控或不能观。方法 2：6s156-a3631s101-a)6)(3)(1()()(sasssassusy 631321，XaaayuXX15663101111600030001 系统能控且能观的条件为矩阵 C 不存在全为0 的列。因此当a=1,或 a=3 或 a=6 时，系统为不能控或不能观。（2）当 a=1,a=3 或 a=6 时，系统可化为能控标准 I 型 19 x01ayu 100 x102718100010 x （3）根据对偶原理，当 a=1,a=2 或 a=4 时，系统的能观标准 II 型为 x 100yu 01ax101027011800 x 3-6 已知系统的微分方程为：uyyyy66116.试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。解：63611603210baaaa，系统的状态空间表达式为 x006yu 100 x6116100010 x 传递函数为 6116610061161001006A)-C(sI)(2311-ssssssBsW 其对偶系统的状态空间表达式为：x100yu 006x6101101600 x 传递函数为61166)(23ssssW 3-9 已知系统的传递函数为 348622ssss)s(W 试求其能控标准型和能观标准型。解：345213486)(222ssssssssW 系统的能控标准 I 型为 20 u x25yu 10 x4-3-10 x 能观标准 II 型为 u x10yu 25x4-13-0 x 3-10 给定下列状态空间方程，试判别其是否变换为能控和能观标准型。x100yu 210 x311032010 x 解：100210311032010CbA，11527213102bAAbbM。不能变换为能控标准型，系统为不能控系统，32 rankM 9713111002CACACN 以变换为能观标准型。，系统为能观系统，可3rankN 3-11 试将下列系统按能控性进行分解（1）111,100,340010121CbA 解：9310004102bAAbbM rankM=23，系统不是完全能控的。构造奇异变换阵cR：010301100321RAbRbR，其中3R是任意的，只要满足cR满秩。21 即031100010cR 得0100011031cR 1002412301ccARRA 0011bRbc 121ccRc 3-12 试将下列系统按能观性进行结构分解（1）111,100,340010121CbA 解：由已知得111,100,340010121CbA 则有4742321112CACACN rank N=23，该系统不能观 构造非奇异变换矩阵10R，有10111232001R 则0311210001R 11000010123027321xR AR xR buxu 0100ycR xx 3-13 试将下列系统按能控性和能观性进行结构分解（1）211,221,102322001CbA 解：由已知得211121226202MAAbAb rank M=3，则系统能控 22 2112125741 1cNc AcA rank N=3，则系统能观 所以此系统为能控并且能观系统 取211121226202cT，则1217344173215344cT 则002105014A，12100cBT b ，271323cccT 3-14 求下列传递函数阵的最小实现。（1）1 111 11w ss 解：01，01 11 1B，1001cA 1001cB，1 11 1cC，0000cD 系统能控不能观 取101101R，则01101R 所以1001001AR AR，101101cBR B 01010cCC R，0000D 所以最小实现为1mA，1 1mB，11mC ，0000mD 验证：11 111 11mmmCsIABw ss 3-15 设1和2是两个能控且能观的系统 23 1121210431022221111CbACbA，：，：（1）试分析由1和2所组成的串联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数；（2）试分析由1和2所组成的并联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数。解：（1）1和2串联 当1的输出1y是2的输入2u时，331222xxxx 010034012120 xxu ，00 1yx 20141413014MbAbA b 则 rank M=23，所以系统不完全能控。1271)4)(3)(2(2)()(21ssssssBAsICsW 当2得输出2y是1的输入1u时 011034100021xxu ，2 10yx 因为 2001016124MbAbA b rank M=3 则系统能控 因为2210321654cNcAcA rank N=20)。解：因为1001cNcA满秩，系统能观，可构造观测器。系统特征多项式为21detdet0IA，所以有10010,0,10aaL 1011001100110TLN 0110T 于是11001100 xTATxT buxu 0,1ycTxx 引入反馈阵12gGg，使得观测器特征多项式：12221detdet1fIAGcgggg 根据期望极点得期望特征式：*22232frrrr 比较 f与*f各项系数得：2213,2gr gr 即223rGr，反变换到x 状态下2201321023rrGTGrr 观测器方程为：2231032012xAGc xbuGyrrxuyrr 34