七桥问题和一笔画.pdf

第 1 页 七桥问题和一笔画 18 世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡，那里有七座桥。如图 1 所示：河中的小岛 A 与河的左岸 B、右岸C 各有两座桥相连结，河中两支流间的陆地 D 与 A、B、C 各有一座桥相连结。当时哥尼斯堡的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个问题。图 1 图 2 七桥问题引起了著名数学家欧拉（17071783）的关注。他把具体七桥布局化归为图 2 所示的简单图形，于是，七桥问题就变成一个一笔画问题：怎样才能从 A、B、C、D 中的某一点出发，一笔画出这个简单图形（即笔不离开纸，而且 a、b、c、d、e、f、g 各条线只画一次不准重复），并且最后返回起点？欧拉经过研究得出的结论是：图 2 是不能一笔画出的图形。这就是说，七桥问题是无解的。这个结论是如何产生呢？请看下面的分析。如果我们从某点出发，一笔画出了某个图形，到某一点终止，那么除起点和终点外，画笔每经过一个点一次，总有画进该点的一条线和画出该点的一条线，因此就有两条线与该点相连结。如果画笔经过一个 n 次，那么就有 2n 条线与该点相第 2 页 连结。因此，这个图形中除起点与终点外的各点，都与偶数条线相连。如果起点和终点重合，那么这个点也与偶数条线相连；如果起点和终点是不同的两个点，那么这两个点部是与奇数条线相连的点。综上所述，一笔画出的图形中的各点或者都是与偶数条线相连的点，或者其中只有两个点与奇数条线相连。图 2 中的 A 点与 5 条线相连结，B、C、D 各点各与 3 条线相连结，图中有 4 个与奇数条线相连的点，所以不论是否要求起点与终点重合，都不能一笔画出这个图形。1736 年，欧拉在圣彼得堡科学院作了一次学术报告。在报告中，他证明了上述结论。后来他又给出了鉴别任一图形能否一笔画出的准则，即欧拉定理。为了介绍这个定理，我们先来看下面的预备知识：由有限条线组成的图形叫做网络，其中每条线都要求有两个不同的端点。这些线叫做网络的弧，弧的端点叫做网络的顶点。例如，图 2 是一个网络，a、b、c、d、e、f、g 是它的7 条弧，A、B、C、D 是它的四个顶点。网络中互相衔结的一串弧叫做一条路。如果网络中任意两个顶点都可以用一条路连结起来，那么就称这个网络为连通的；否则称为不连通的。例如，图 2 是连通的网络；图 3 是不连通的网络，其中有的顶点（例如 A 与 D）之间没有路线连结。第 3 页 图 3 图 4 网络中以某顶点为端点的弧的条数，叫做该顶点的叉数。叉数是奇数的顶点叫做奇顶点，叉数是偶数的顶点叫做偶顶点。下面介绍欧拉定理。欧拉定理 如果一个网络是连通的并且奇顶点的个数等于 0或 2，那么它可以一笔画出；否则它不可以一笔画出。用欧拉定理可以很方便地判断一个简单图形是否可以一笔画出。例如，图 3 是不连通网络，它不能一笔画出（尽管它的奇顶点个数为 0）；图 4 中实线所示图形有 8 个奇顶点它不能一笔画出，如果将图中虚线补为实线，那么奇顶点只有F 和 G 两个，所得图形就能一笔画出了（以 F 为起点，G 为终点；或 G 为起点，F 为终点）。试问下列图形能否一笔画出？如能画出应怎样画？如不能画出理由是什么？