双曲线及其标准方程题组训练20212022学年高二上学期数学人教A版选修21第二章.pdf
2.3 双曲线 2.3.1 双曲线及其标准方程 基础过关练 题组一 双曲线的定义及应用 1.已知 M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=3,则动点 P 的轨迹是()A.圆 B.椭圆 C.射线 D.双曲线 2.已知双曲线的方程为22-22=1(a0,b0),点 A,B 在双曲线的右支上,线段 AB 经过双曲线的右焦点 F2,|AB|=m,F1为双曲线的左焦点,则ABF1的周长为()A.2a+2m B.4a+2m C.a+m D.2a+4m 3.已知定点A(1,4),F是双曲线24-212=1的左焦点,P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为()A.6 B.8 C.9 D.12 4.设 F1,F2是双曲线 x2-224=1 的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且3|PF1|=4|PF2|,则PF1F2的面积等于 .题组二 双曲线的标准方程 5.若方程2+3+2+2=1,kR 表示焦点在 x 轴上的双曲线,则 k 的取值范围是()A.-3k-2 B.k-3 C.k-2 D.k-2 6.若 ax2+by2=b(ab0,b0)的左、右焦点,过F1(-7,0)的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点 A,B.若ABF2为等边三角形,则双曲线的方程为()A.527-5228=1 B.26-y2=1 C.x2-26=1 D.5228-527=1 4.(2018 四川成都诊断,)已知点 P 在曲线 C1:216-29=1 上,点 Q在曲线C2:(x+5)2+y2=1 上,点R在曲线C3:(x-5)2+y2=1 上,则|PQ|-|PR|的最大值是()A.6 B.8 C.10 D.12 二、填空题 5.(安徽阜阳三中高二月考,)已知点 F1,F2分别是双曲线22-29=1(a0)的左、右焦点,P 是该双曲线上的一点,且|PF1|=2|PF2|=16,则PF1F2的周长是 .6.()已知方程24-+2-1=1 表示的曲线为 C.给出以下四个结论:当 1t4 或 t1 时,曲线 C 为双曲线;若曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆,则 1t4.其中正确的是 (只填正确结论的序号).三、解答题 7.()已知双曲线24-29=1,F1,F2是其两个焦点,点 M 在双曲线上.(1)若F1MF2=90,求F1MF2的面积;(2)若F1MF2=120,F1MF2的面积是多少?若F1MF2=60,F1MF2的面积又是多少?(3)观察以上计算结果,你能看出随F1MF2的变化,F1MF2的面积将怎样变化吗?试证明你的结论.8.(天津一中高二期末,)已知点M(-2,0),N(2,0)是平面上的两点,动点 P 满足|PM|+|PN|=6.(1)求点 P 的轨迹方程;(2)若(1-cosMPN)|PM|PN|=2,求点 P 的坐标.9.()A,B,C 是我方三个炮兵阵地,A 在 B 正东 6 km 处,C 在 B 北偏西 30方向,与 B 相距 4 km,P 为敌炮兵阵地,某时刻 A 处发现敌炮兵阵地发出的某种信号,由于 B,C 两地比 A 距 P 地远,因此 4 s 后,B,C才同时发现这一信号,已知此信号的传播速度为 1 km/s,A 若炮击 P 地,求炮击的方向角.答案全解全析 基础过关练 1.D 因为|PM|-|PN|=3 0,+2 0,解得-3k-2.6.B 原方程可化为2+y2=1,因为 ab0,所以0,b0),则有2+2=2=8,92-102=1,解得 a2=3,b2=5.故所求双曲线的标准方程为23-25=1.10.答案 x2-23=1 解析 设双曲线的标准方程为22-22=1(a0,b0).由题意得 B(2,0),C(2,3),2+2=4,42-92=1,解得2=1,2=3,双曲线的标准方程为 x2-23=1.11.解析 因为双曲线的焦点在 x 轴上,所以设双曲线的标准方程为22-22=1(a0,b0),焦点F1(-c,0),F2(c,0).因为双曲线过点 P(42,-3),所以322-92=1.因为点 Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,所以1 2=0,即-c2+25=0,解得 c2=25.又 c2=a2+b2,所以由解得 a2=16 或 a2=50(舍去).所以 b2=9,所以所求双曲线的标准方程是216-29=1.12.D 由题意知,点 M 的轨迹是以 A(-5,0),B(5,0)为焦点的双曲线的右支.易得c=5,a=3,b2=16,点 M 的轨迹方程为29-216=1(x3).13.解析 由题意得,圆 F1:(x+5)2+y2=1,圆心 F1(-5,0),半径 r1=1.圆 F2:(x-5)2+y2=42,圆心 F2(5,0),半径 r2=4.|F1F2|=10.设动圆 M 的半径为 R,则|MF1|=R+1,|MF2|=R+4,|MF2|-|MF1|=3|F1F2|.点 M 的轨迹是以 F1,F2为焦点的双曲线的左支,且 a=32,c=5,b2=c2-a2=914.动圆圆心 M 的轨迹方程为429-4291=1(-32).能力提升练 一、选择题 1.C 双曲线2-3+22-=1 的焦点在 x 轴上,焦距为 4,2-0,-3-2+=2,解得 a=92.2.B 由双曲线方程得 a=1,b=1,c=2,|F1F2|=22,在F1PF2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cosF1PF2,即 8=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|PF2|,即 8=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|PF2|,又|PF1|-|PF2|=2a=2,8=22+|PF1|PF2|,|PF1|PF2|=4.3.C 根据双曲线的定义,有|AF2|-|AF1|=2a,|BF1|-|BF2|=2a,由于ABF2为等边三角形,则|AF2|=|AB|=|BF2|,+,得|BF1|-|AF1|=4a,则|AB|=|AF2|=|BF2|=4a,|BF1|=6a,又F1BF2=60,所以(2c)2=(6a)2+(4a)2-26a4a12,即 7a2=c2=7,解得 a2=1,则 b2=c2-a2=6,所以双曲线的方程为 x2-26=1.4.C 不妨设 C1:216-29=1 的两个焦点分别是 F1(-5,0)与 F2(5,0),且|PF1|-|PF2|=8,而这两点正好是两圆(x+5)2+y2=1 和(x-5)2+y2=1 的圆心,两圆(x+5)2+y2=1 和(x-5)2+y2=1 的半径分别是 r2=1,r3=1,所以|PQ|max=|PF1|+1,|PR|min=|PF2|-1,所以|PQ|-|PR|的最大值为(|PF1|+1)-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+2=8+2=10.故选 C.二、填空题 5.答案 34 解析|PF1|=2|PF2|=16,|PF2|=8,|PF1|-|PF2|=16-8=8=2a,a=4.又b2=9,c2=25,2c=10.PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=16+8+10=34.6.答案 解析 错误,当 t=52时,曲线 C 为圆;正确,若曲线 C 为双曲线,则(4-t)(t-1)0,t4;正确,若曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆,则 4-tt-10,1t52;正确,若曲线 C 为焦点在 y 轴上的双曲线,则4-0,t4.三、解答题 7.解析 设|MF1|=r1,|MF2|=r2(不妨设 r1r2),=F1MF2,因为1M2=12r1r2sin,已知,所以只要求 r1r2即可,因此考虑到用双曲线的定义及余弦定理的知识,求出 r1r2.(1)当=90时,1M2=12r1r2sin=12r1r2.由双曲线方程知 a=2,b=3,c=13,由双曲线的定义,得|r1-r2|=2a=4,两边平方,得12+22-2r1r2=16,又12+22=|F1F2|2,所以|F1F2|2-41M2=16,即 52-16=41M2,解得1M2=9.(2)若F1MF2=120,在MF1F2中,|F1F2|2=12+22-2r1r2cos 120=(r1-r2)2+3r1r2=52,所以 r1r2=12,所以1M2=12r1r2sin 120=33.同理,若F1MF2=60,则1M2=93.(3)由以上结果可见,随着F1MF2的增大,F1MF2的面积将减小.证明如下:由双曲线的定义及余弦定理,得(1-2)2=42,12+22-212cos=42.-,得 r1r2=42-422(1-cos),所以1M2=12r1r2sin=(2-2)sin1-cos=b2cot 2.因为 0,所以 02|MN|,点 P 的轨迹是以 M,N 为焦点的椭圆,设其方程为22+22=1(ab0),且 a=3,c=2,b2=9-4=5.点 P 的轨迹方程为29+25=1.(2)在MPN 中,cosMPN=|2+|PN|2-162|=(|+|)2-2|PM|PN|-162|=10-|.(1-cosMPN)|PM|PN|=2,(1-10-|)|PM|PN|=2,解得|PM|PN|=6,由|=6,|+|=6,得|PM|-|PN|=236,点 P 在以 M(-2,0),N(2,0)为焦点的双曲线23-y2=1 上,联立29+25=1,23-2=1,解得点 P 的坐标为(332,52),或(332,-52)或(-332,52)或(-332,-52).9.解析 如图,以直线 BA 为 x 轴,线段 BA 的中垂线为 y 轴,以 1 km 为一个单位长度,建立平面直角坐标系,则 B(-3,0),A(3,0),C(-5,23).因为|PB|=|PC|,所以点 P 在线段 BC 的垂直平分线上.设敌炮兵阵地的坐标为(x,y),BC 的中点为 D,易求得 kBC=-3,D(-4,3),所以直线 PD:y-3=13(x+4).又|PB|-|PA|=4|AB|,故 P 在以 A,B 为焦点的双曲线的右支上,且其方程为24-25=1(x2).联立,得 x=8,y=53,所以 P 的坐标为(8,53).因此 kPA=538-3=3.故 A 若炮击 P 地,则炮击的方向角为北偏东 30.
