中学数学第2讲等差数列及其前n项和.pdf

第 2 讲 等差数列及其前 n 项和 一、选择题 1.(2016武汉调研)已知数列an是等差数列，a1a78，a22，则数列an的公差 d 等于()A.1 B.2 C.3 D.4 解析 法一 由题意可得a1（a1 6d）8，a1 d 2，解得a1 5，d3.法二 a1 a7 2a48，a44，a4 a24 2 2d，d3.答案 C 2.已知等差数列an的公差为 2，项数是偶数，所有奇数项之和为 15，所有偶数项之和为 25，则这个数列的项数为()A.10 B.20 C.30 D.40 解析 设项数为2n，则由S偶 S奇 nd 得，25 15 2n，解得n 5，故这个数列的项数为10.答案 A 3.已知等差数列an满足 a1a2a3a1010，则有()A.a1a1010 B.a2a1000 C.a3a990 D.a5151 解析 由题意，得a1 a2 a3 a101a1 a1012101 0.所以a1 a101 a2 a100 a3 a99 0.答案 C 4.设数列an，bn都是等差数列，且 a125，b175，a2b2100，则 a37b37等于()A.0 B.37 C.100 D.37 解析 设 an，bn的公差分别为d1，d2，则(an1 bn1)(an bn)(an1 an)(bn1 bn)d1 d2，an bn为等差数列，又a1 b1 a2 b2 100，an bn为常数列，a37 b37 100.答案 C 5.(2017泰安模拟)设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a211，a5a92，则当 Sn取最小值时，n()A.9 B.8 C.7 D.6 解析 设 等 差 数 列 an的 首 项 为a1，公 差 为d，由a211，a5 a92，得a1 d11，2a1 12d2，解得a113，d 2.an15 2n.由 an15 2n0，解得n152.又 n 为正整数，当Sn取最小值时，n 7.故选C.答案 C 二、填空题 6.(2016江苏卷)已知an是等差数列，Sn是其前 n 项和.若 a1a223，S510，则 a9的值是_.解析 设数列an的公差为d，由题设得 a1（a1 d）23，5a1542d 10，解得a14，d 3，因此a9 a1 8d 20.答案 20 7.正项数列an满足 a11，a22，2a2na2n1a2n1(nN*，n2)，则 a7_.解析 由2a2n a2n1 a2n1(nN*，n2)，可得数列a2n是等差数列，公差da22 a21 3，首项a21 1，所以a2n 1 3(n 1)3n 2，an3n 2，a719.答案 19 8.设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 Sm12，Sm0，Sm13，则 m_.解析 法一 由已知得，am Sm Sm1 2，am1 Sm1 Sm 3，因为数列an 为等差数列，所以d am1 am 1，又因为Smm（a1 am）2 0，所以m(a1 2)0，因为m0，所以a12，又am a1(m 1)d 2，解得m 5.法二 因为Sm12，Sm 0，Sm1 3，所以am Sm Sm1 2，am1 Sm1 Sm 3，所以公差d am1 am 1，由Sn na1n（n 1）2d na1n（n 1）2，得ma1m（m 1）2 0，（m 1）a1（m 1）（m 2）22.由 得 a11 m2，代入可得m 5.法三 因为数列an为等差数列，且前n 项和为Sn，所以数列Snn也为等差数列.所以Sm1m 1Sm1m 12Smm，即 2m 13m 1 0，解得m 5，经检验为原方程的解.答案 5 三、解答题 9.(2016全国卷)等差数列an中，a3a44，a5a76.(1)求an的通项公式；(2)设 bnan，求数列bn的前 10 项和，其中x表示不超过 x 的最大整数，如0.90，2.62.解(1)设数列an首项为 a1，公差为 d，由题意有2a15d4，a15d3.解得a11，d25.所以an的通项公式为 an2n35.(2)由(1)知，bn2n35.当 n1，2，3 时，12n352，bn1；当 n4，5 时，22n353，bn2；当 n6，7，8 时，32n354，bn3；当 n9，10 时，42n350，y0，由基本不等式可得xyx y22，当且仅当x y 时“”成立.又 a60，a70，a6 a7a6 a722 4，当且仅当a6 a7 2 时，“”成立.即a6 a7的最大值为4，故选C.答案 C 13.设等差数列an，bn的前 n 项和分别为 Sn，Tn，若对任意自然数 n 都有SnTn2n34n3，则a9b5b7a3b8b4的值为_.解析 an，bn为等差数列，a9b5 b7a3b8 b4a92b6a32b6a9 a32b6a6b6.S11T11a1 a11b1 b112a62b6211 3411 31941，a6b61941.答案 1941 14.在数列an中，a15，a22，记 A(n)a1a2an，B(n)a2a3an1，C(n)a3a4an2(nN*)，若对于任意 nN*，A(n)，B(n)，C(n)成等差数列.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列|an|的前 n 项和.解(1)根据题意 A(n)，B(n)，C(n)成等差数列.A(n)C(n)2B(n)，整理得 an2an1a2a1253，数列an是首项为5，公差为 3 的等差数列，an53(n1)3n8.(2)|an|3n8，n2，3n8，n3，记数列|an|的前 n 项和为 Sn.当 n2 时，Snn（583n）23n22132n；当 n3 时，Sn7（n2）（13n8）23n22132n14，综上，Sn32n2132n，n2，32n2132n14，n3.