二排列组合.pdf

二 排列组合 117 种。2（1）9 种；（2）9 种。354000 种。428 个。提示：8 个位置插入两个“”号共有 872=28（种）插法。524 个。6100 个。7511 个。提示：一位数有 7 个，两位数有 78=56（个），三位数有 7 88=448（个）。8216 种。9810 个。1080 种。11900 种。1272 种。1316 种。提示：从左至右摆，第 1 列有 2 种摆法，以后第 2，3，4 列各剩 2 种摆法。1472 种。提示：起跑、弯道、冲刺各选 1 人后，还有 6 人可以跑直道。15（1）96 种；（2）72 种。提示：（1）按 A，B，C，D，E 次序染色，可供选择的颜色依次有 4，3，2，2，2 种。（2）按 A，B，E，C，D 次序染色，B与 E 同色时有 43122=48（种），B 与 E 异色时有 43211=24（种），共有 48+24=72（种）。1680 个。提示：15120 的约数都可以表示成 2a3b5c7d的形式，其中 a=0，1，2，3，4，b=0，1，2，3，c=0，1，d=0，1，即 a，b，c，d 的可能取值分别有 5，4，2，2 种，所以共有约数 5422=80（个）。1742 个。解：前两位有 15，24，33，42，51，60 六种，后两位增加一个 06，所以共有 67=42（个）。18162 个。提示：三位偶数共有 450 个。先计算没有 6 的三位偶数的个数。个位数有 0，2，4，8 四种，十位数除 6 外有 9 种，百位除6，0 外有 8 种，故没有 6 的三位偶数有 498288（个）。19 720。解：（1 23）（0.51.52.53.5）（4 5 6）=720。20 96 种。解：先划掉 1332 中的 1，剩下 332，332，32，2 四个数；下次该划掉位数最多的 332 中的 2，有 2 种不同的顺序，划掉后剩下 33，33，32，2 四个数；再划掉 32 中的 2 后，两个 33 中的 3 有 8种划掉的顺序，划掉后剩下 3，3，3，2 四个数；再划掉 2 后，三个 3有 6 种划掉的顺序。根据乘法原理，共有不同的划法 286=96（种）。21 512 种。提示：将 10 粒糖排成一排，糖与糖之间共有 9 个空。从头开始吃，若相邻两块糖是分在两天吃的，就在其间画一条竖线（如下图）。每个空都有画线与不画线两种可能，根据乘法原理，不同的吃法共有 29=512（种）。22 18 种。提示：骰子上有 3 个奇数，所以两次都是奇数有 33=9（种）情况。同理，两次都是偶数也有 9 种情况。2316 种。24 1326 种。提示：他们一共可能有 0 50 本书，如果他们共有 n本书，则大林可能有书 0 n 本，也就是说这 n 本书在两人之间的分配情况共有（n 1）种。所以不超过 50本书的所有可能的分配情况共有 1 2351=1326（种）。25 12 种。26（1）6 种；（2）35 种。提示：本题中走到任一点（如右图的 D 点），或者经过左边邻近一点（E 点），或者经过下边邻近一点（F 点）。如果到 E 点有 a 种走法，到 F 点有 b 种走法，则按照加法原理到 D 点有（a b）种走法。实际解题时，可以从左下角开始，按加法原理，依次向上向右填上到各点的走法数（见右图）。第 2730 题与第 26 题类似。276 条。2815 种。2955 种。308 种。3189 种。提示：登上 n 级台阶，或者从（n 1）级跨一级上去，或者从（n 2）级跨两级上去。由加法原理，如果登上（n 1）和（n2）级分别有 a 种和 b 种走法，则登上 n 级有（a b）种走法。因此只要知道登上 1 级和 2 级台阶有几种走法，就可以依次推出以后各级的走法数。由登上 1 级台阶有 1 种走法，2 级台阶有 2 种走法，可得出下面一串数：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，其中从第三个数起，每个数都是它前面两个数的和。登上 10 级台阶的走法数对应这串数的第 10 个，即 89。327 种。提示：与第 31 题类似，可得下面一串数：0，1，1，1，2，2，3，4，5，7，33927种。提示：与第 31 题类似，可得下面一串数：1，2，4，7，13，24，44，81，149，274，504，927，34 5 种。解：按钳工、电工都会的人是否被挑选可分为三种情况：（1）没被挑选。此时电工 2 人当电工，钳工 2 人当钳工，只有 1 种选法；（2）挑选出来当钳工。此时钳工 2 人选 1 人当钳工，电工 2 人当电工，有 2种选法；（3）挑选出来当电工，同样有 2 种选法。共有选法 1 2 2=5（种）。3518 种。解：如右图所示，当 A，B，C，D 的颜色确定后，大正方形四个角上的的颜色就确定了，所以只需求 A，B，C，D 有多少种不同涂法。按先 A，再 B，C，后 D 的顺序涂色。A 有 3 种颜色可选。当B，C 取相同的颜色时，有 2 种颜色可选，此时 D 也有 2 种颜色可选，不同的涂法有 322=12（种）；当 B，C 取不同的颜色时，B 有 2 种颜色可选，C 剩 1 种颜色可选，此时 D 只有 1 种颜色可选（与 A 相同），不同的涂法有 3211=6（种）。所以，不同的涂法共有 12 6=18（种）。36（1）840 种；（2）4100 种。提示：先按 A，B，D，C，E 的次序染色，可供选择的颜色依次有 5，4，3，2，3 种，注意 E 与 C 的颜色搭配有 23=6（种），其中有 2 种E 和 C 同色，有 4 种 E 和 C 异色。最后染 F，当 E 与 C 同色时有 3 种颜色可选，当 E 与 C 异色时有 2 种颜色可选，所以共有 543（2342）=840（种）染法；（2）类似于本章第一节第 21 题中的 5 人传球，6 次传回，注意发球的人本身就有 5 种选择，所以共有 5820=4100（种）。37 80 种。提示：从 A 到 B 共有 10 条不同的路线，每条路线长 5个线段。每次走一个或两个线段，每条路线有 8 种走法，所以不同走法共有 810=80（种）。38604800 种。解：先将拿 1 元钱的小朋友看成是相同的，将拿 2 元钱的小朋友看成是相同的。在右图中，每条小横线段代表拿 1 元钱的小朋友，每条小竖线段代表拿 2 元钱的小朋友。因为从 A 点沿格线走到 B 点，无论到途中哪一点，经过的小横线段都不少于小竖线段，所以本题相当于求右图中从 A 到 B 有多少种不同走法。与第 26 题类似可求出有 42 种走法。因为 10 个小朋友互不相同，所以每种走法又有 5！5！14400（种）排队方法。使售票员能找得开零钱的排队方法共有 4214400=604800（种）。39 182 种。409 种。41125 种。42（1）60 种；（2）60 种。43（1）5040 种；（2）720 种；（3）1440 种；（4）240 种；（5）2400 种；（6）5040 种；（7）2880 种。提示：（5）能站在两边的有 5 人，有（54）种站法，剩下的 5人站在除两头的五个位置上有 5！种站法；（6）与（1）相同；（7）从张华、李明中选一人站在前排有 2 种方法，前排有三个位置可站，后排有四个位置可站，故这两人有（234）种站法，再确定其余五人站的位置，共有 5！种站法。44（1）6 种；（2）8 种；（3）23 种；（4）9 种。提示：（2）某人拿对了，另外三人拿错了的拿法有 2 种，故共有42=8（种）拿法；（3）四人共有 24 种拿法，其中全拿对的只有 1种；（4）第一个人除自己的作业本外有 3 种拿法，被第一人拿去作业本的人也有 3 种拿法，为使每个人都拿错，剩下的两人只有一种拿法，所以共有 339（种）拿法。4510 个。提示：个位数字为 0 的有 6 个，个位数字为 2 的有 4 个。4668 个。提示：一、二、三位数依次有 4，16，48 个。47 45 个。解：三个数字之和是 19 的有 10 种：9，9，1；9，8，2；9，7，3；9，6，4；9，5，5；8，8，3；8，7，4；8，6，5；7，7，5；7，6，6。其中三个数字各不相同的有 5 种，每种能组成 6 个不同的三位数；三个数字有两个相同的有 5 种，每组能组成 3 个不同的三位数。所求数共有 6533 45（个）。4856 次。提示：四个数码只有 1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3，3；2，2，2，3 六组，每组可组成不同数字的个数分别为 4，12，12，12，12，4 个，共能组成 56 个不同的四位数。49243 个。解：在 900 个三位数中，三位数各不相同的有 998648（个），三位数全相同的有 9 个，恰有两位数相同的有 9006489=243（个）。50 432 个。解：两个相同的数字是 8 时，另一个 8 有 3 个位置可选，其余两个位置有 9872（种）填法，有 398 个数；两个相同的数字不是 8 时，相同的数字有 9 种选法，不同的数字有8 种选法，并有 3 个位置可放，有 983 个数。所以共有 398983=432（个）数。51432 个。提示：若相同的数是 1，则另一个 1 可以出现在个、十、百位中的任一个位置上，剩下的两个位置分别有 9 个和 8 个数可选，有 398=216（个）；若相同的数是 2，有 3824（个）；同理，相同的数是 0，3，4，5，6，7，8，9 时，各有 24 个，所以，符合题意的数共有 216924=432（个）。52216 个。提示：三个奇数取两个有 3 种方法，三个偶数取两个也有 3 种方法。共有 334！=216（个）。53180 个；96 个。提示：取出的四个数码根据有 0 或无 0 分为两类。（1）有 0 时，四个数码的取法有 23=6（种），可组成四位数 6（33！）=108（个），其中偶数 60 个；（2）无 0 时，四个数码的取法有 13=3（种），可组成四位数 34！72（个），其中偶数 36 个。所以共可组成没有重复数字的四位数 10872=180（个），其中偶数 6036=96（个）。54第 74 个。提示：千位数为 1，2，3，4，5 的各有 24 个数。55596 个。解：三个数码都不大于 5 的三位数有 566=180（个），三个数码都不小于 5 的三位数有 555=125（个），三个数码都等于 5 的只有 555 一个。所求自然数共有 900-（1801251）=596（个）。561271个。提示：不含数码 1 的一位数有 8 个，两位数有 8972（个），三位数有 89 2=648（个）。57 6560 个。提示：与第 56 题类似。58576 个。解：1 27=28，由能被 11 整除的数的特征知，奇数位的四个数字之和与偶数位的三个数字之和必相等。共有下面四种组合：每一种组合的不同排列有 4！3！144（种），所以这样的七位数共有 1444576（个）。59 9 种。60 18 种。提示：456=358。6145 条；120 个；210 个。62 55 个。63 70个；60 个。64210 个。提示：在直径上有两个、一个和零个顶点的三角形依次有 70，105，35 个。6579 个。提示：分三角形的三个顶点在两条直线上和三条直线上两种情况。661650 种。解：将 1100 按照除以 3 的余数分为三类：（1）余 1 的有 34 个；（2）余 2 的有 33 个；（3）整除的有 33个。取两个数，其和能被 3 整除的只有两种情况：从（1）（2）类中各取一个数，有 34331122（种）取法；从（3）类中取两个数，有33322528（种）取法。不同取法共有 1122 528=1650（种）。67（1）286 种；（2）1716种；（3）1485 种；（4）2937 种。68（1）14112 种；（2）42753种；（3）1001 种；（4）42757 种；（5）34749 种。提示：（2）全部选法减去没有女生入选与仅有一名女生入选的选法之和；（4）全部选法减去指定 4 人都入选的选法；（5）指定 4 人中有 0，1，2 人入选的选法之和。69 42 场。70 90种。71 35 种。提示：两个相邻的人有 10 种选法。72 60 种。提示：两个相邻的人有 10 种选法，另一人有 6 种选法。7320 种。解：五个瓶子选出两个贴对的选法有 542=10（种），另外三个瓶子的标签相互贴错有两种情况。贴错的情况共有 102=20（种）。74 21 种。解：每个班抽 1 人后，还有 2 人要从这 6 个班中抽。这 2 人都从一个班抽有 6 种方法，分别从两个班中抽有 652=15（种）方法。不同的抽调方法共有 6 15=21（种）。75 10 种。解：四个白球排成一行，有 5 个空位置（下图处）供三个红球选择。不同的排法共有 54210（种）。白白白白