归纳全等三角形问题中常见的辅助线的作法.pdf
全等三角形问题中常见的辅助线的作法 常见辅助线的作法有以下几种:遇到三角形的 中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的 思维模式是全等变换中的“旋转”例3、如图，ABC中，BD=DC=AP E是DC的中点，求证：AD平分/因为 BD=DC=AC，所以 AC=1/2BC 因为E是DC中点，所以EC=1/2DC=1/2AC 1)2)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条 线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法 适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.3)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变 换中的“对折”.4)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的 两边作垂线，利用的思维模式是三角 形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.5)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是 全等变换中的“平 移”或“翻转折叠”特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连 接起来，利用三角形面积的知识解答.倍长中线（线段）造全等 例1.已知：如图3所示，AD为 ABC的中线,求证：AB+AO2AD。分析：要证 AB+AO2AD,由图形想到：AB+BDAD,AC+CDAD 所以有：AB+AC+BD+CD AD+AD=2AD 但它的左边比要证结论多 BD+CD，故不能直接证出此题，而由 2AD 到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。证明：延长 AD至E，使DE=AD，连接BE,CE。BAE./ACE=/BCA，所以 BCAACE 所以/ABC=/CAE 因为 DC=AC，所以/ADC=/DAC/ADC=/ABC+/BAD 所以/ABC+/BAD=/DAE+/CAE 所以/BAD=/DAE 即AD平分/BAE 应用:二、截长补短 例1.已知：如图1所示，AD为 ABC的中线，且/1=/2,/3=/4。求证：BE+CFEF。分析：要证BE+CFEF，可利用三角形三 边关系定理证明，须把 BE,CF，EF 移 到同一个三角形中，而由已知/1=/2，/3=/4，可在角的两边截取相等的线段,利用全 NE NF。证明：取AB中点E，连接DE AD=BD DE丄AB，即/AED=90o【等腰三角形三线合一】AB=2AC AE=AC 又/EAD=/CAD【AD 平分/BAC】AD=AD/AED 6 ACD(SAS)/C=/AED=90o EF移到同个三角形中。FN，上 再连结EG,BG 在 DN 证 明 等三角形的对应边相等，把 EN，连接 截 取 DN=DB C 2、如图，AC/BD,EA,EB分别平分/CAB,/DBA CD过点 E,求证；AB=AC+BD 在AB上取点N,使得AN=AC/CAE=/EAN,AE为公共边,所以三角形CAE全等三角形EAN 所以/ANE=/ACE 又AC平行BD 所以/ACE+/BDE=180 而/ANE+/ENB=180 所以/ENB=/BDE/NBE=/EBN BE为公共边，所以三角形EBN全等三角形EBD 所以BD=BN 所以 AB=AN+BN=AC+BD 0 3、如图，已知在VABC内，BAC 60,证明：做辅助线PMI BQ，与 QC相交与M。（首先算清各角的度数）/APB=180/BAP /ABP=180 30 80=70 且/APM=180/APB/MPC=180 70 /QBC（同 角相等）=180 70 40=70/APB=/APM 又TAP是BAC的角平分线，/BAP=/MAP AP是公共边 ABP AMP（角边角）AB=AM,BP=MP 在MPC 中，/MCP=/MPC=4t）MP=MC AB+B P=AM+MP=AM+MC=AC 在 QBC中/QBC=QCB=40-BQ=QC BQ+AQ=AQ+QC=AC BQ+AQ=AB+B P 4、角平分线 如图，在四边形ABCD中,BC BA,AD-CD BD平分 求证：A C 1800400,P,Q分别在 并且AP,A BQ分别是 BAC,ABC的角平分线。求证:BQ+AQ=AB+B P 延长BA,作DF丄BA的延长线，作 DE丄BC CA上,BC,B Q 位 C /仁/2 DE=DF（角分线上的点到角的两边距离相等）在 Rt DFA 与 Rt DEC 中 AD=DC,DF=DE Rt DFA 也Rt DEC（HL）/3=/C 因为/4+/3=180 /4+/C=180 即/A+/C=180?5、如图在 ABC中，AB AC,/1=/2,P 为 AD上任意一点，求证；AB-AC PB-PC 延长AC至E，使AE=AB，连结PE。然后证明一下 ABP也AEP得到PB=PE备用（角边角证很容易吧）PCE 中,ECPE-PC EC=AE-AC,AE=AB EC=AB-AC 又 PB=PE PE-PC=PB-PC AB-AC PB-PC A C D 应用:三、平移变换 例1 AD为 ABC的角平分线，直线 MNL AD于A.E为MN上一点，ABC周长记为PA,例2如图，在 ABC的边上取两点 D E,且BD=CE求证：AB+AOAD+AE.四、借助角平分线造全等 1、如图，已知在 ABC中，/B=60,A ABC的角平分线 AD是角A的平分线 角 EA0=角 FAE/A0=A0 三角形AE0与AF0全等（两边夹角相等）E0=F0，角 A0E=角 A0F V CE是角C的平分线 EBC周长记为PB.求证PB PA.在AC上取点F，使AF=AE AD,CE相交于点0,求证：0E=0D 角 DCO=角 FCO 角 B=60 角 A+角 C=180 60=120 角 COD=角 CAO+角 OCA=角 A/2+角 C/2=60 度 角 OCF=180 角 AOF-角 COD=180 60 60=60 角 OCF=角 COD V OC=OC 三角形OCD与CFO全等(两边夹角相等)CF=CD AC=AF+CF=AE+CD 即：AE+CD=AC 2、如图，ABC 中，AD 平分/BAC DGL BC 且平分 BC,DEI AB 于 E,DF 丄 AC于 F.(1)说明BE=CF的理由；(2)如果AB=a,AC=b，求AE、BE的长.证明：连接BD,CD DG丄BC于G且平分BC 所以GD为BC垂直平分线 垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 BD=CD 角平分线上的点到角两边距离相等,AD平分/BAC,DE丄AB于E,DF丄AC的延长 于F 所以DE=DF 在 RT BED,RT CFD 中 DE=DF BD=CD RT BED 也 RT CFD(HL)F BE=CF 应用:五、旋转 例1正方形ABCD中,E为BC上的一点，F为CD上的一点,将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度，至三角形 贝U GE=GB+BE=DF+BE=EF 又 AE=AE,AF=AG,所以三角形AEF全等于AEG 所以/EAF=/GAE=/BAE+/GAB=/BAE+/DAF 又/EAF+/BAE+/DAF=90 所以/EAF=45度 ABG BE+DF=EF 求/EAF的度数.例2 D为等腰 Rt ABC斜边AB的中点，DM_ DN,DM,DN分别交 当 MDN绕点D转动时，求证 DE=DF 若AB=2,求四边形DECF的面积。垂足为P，做DQ丄AC，垂足为Q 且 ABC为等腰RT ABC BC,CA于点 E,F。(1)(2)做DP丄BC,V D为中点，DP=DQ=?BC=?AC 又 V/FDQ=/PDE(旋转)/DQF=/DPE=90 DQF DPE S DQF=S DPE 又V S四边形DECF=S四边形DFCP+S DPE S 四边形 DECF=S 四边形 DFCP+S DQF=?BC*?AC=?AC2(AC=BC=定值)四边形DECF面积不会改变 B A N 例3如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且 BDC 1200，以D为顶点做一个60角，使其两边分别交 AB于点M交AC于点N,连接MN贝U AMN 的周长为 我简单说一下 过D点做DE丄AB的延长线 然后证明DMN也DME（注意 DBE实际上是 DCN旋转后得来的）C
