全等三角形问题中常见的辅助线的作法.pdf
黄冈思远辅导培训中心-1-DCBAEDFCBA全等三角形问题中常见的辅助线的作法 常见辅助线的作法有以下几种：1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理 4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答 一、倍长中线（线段）造全等 例 1、（“希望杯”试题）已知，如图ABC中，AB=5，AC=3，则中线 AD 的取值范围是_.例 2、如图，ABC中，E、F 分别在 AB、AC 上，DEDF，D 是中点，试比较 BE+CF与 EF 的大小.黄冈思远辅导培训中心-2-例 3、如图，ABC中，BD=DC=AC，E 是 DC 的中点，求证：AD 平分BAE.EDCBA 应用：1、（09崇文二模）以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE，90,BADCAE 连接DE，M、N分别是BC、DE的中点探究：AM与DE的位置关系及数量关系（1）如图 当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ，线段AM与DE的数量关系是 ；（2）将图中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转(0AD+AE.EDCBA 四、借助角平分线造全等 1、如图，已知在ABC中，B=60，ABC的角平分线 AD,CE相交于点 O，求证：OE=OD 2、如图，ABC中，AD 平分BAC，DGBC 且平分 BC，DEAB 于 E，DFAC 于 F.（1）说明 BE=CF的理由；（2）如果 AB=a，AC=b，求 AE、BE 的长.EDGFCBA 黄冈思远辅导培训中心-6-NMEFACBAFEDCBA应用：1、如图，OP 是MON 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC 中，ACB 是直角，B=60，AD、CE 分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE 相交于点 F。请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系；（2）如图，在ABC 中，如果ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。五、旋转 例 1 正方形 ABCD中，E 为 BC 上的一点，F 为 CD 上的一点，BE+DF=EF，求EAF的度数.例 2 D为等腰Rt ABC斜边 AB 的中点，DMDN,DM,DN分别交 BC,CA于点 E,F。（1）当MDN绕点 D 转动时，求证 DE=DF。（2）若 AB=2，求四边形 DECF的面积。(第 23 题图)O P A M N E B C D F A C E F B D 图 图 图 黄冈思远辅导培训中心-7-例 3 如图，ABC是边长为 3 的等边三角形，BDC是等腰三角形，且0120BDC，以 D 为顶点做一个060角，使其两边分别交 AB 于点 M，交 AC 于点 N，连接 MN，则AMN的周长为 ；BCDNMA 应用：1、已知四边形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，120ABC，60MBN，MBN绕B点旋转，它的两边分别交ADDC，（或它们的延长线）于EF，当MBN绕B点旋转到AECF时（如图 1），易证AECFEF 当MBN绕B点旋转到AECF时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AECF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明 （图 1）A B C D E F M N（图 2）A B C D E F M N（图 3）A B C D E F M N 黄冈思远辅导培训中心-8-2、（西城 09 年一模）已知:PA=2,PB=4,以 AB 为一边作正方形 ABCD,使 P、D 两点落在直线 AB 的两侧.(1)如图,当APB=45时,求 AB 及 PD 的长;(2)当APB变化,且其它条件不变时,求 PD 的最大值,及相应APB的大小.3、在等边ABC的两边 AB、AC 所在直线上分别有两点 M、N，D 为ABC外一点，且60MDN,120BDC,BD=DC.探究：当 M、N 分别在直线 AB、AC 上移动时，BM、NC、MN 之间的数量关系及AMN的周长 Q 与等边ABC的周长 L 的关系 图 1 图 2 图 3（I）如图 1，当点 M、N 边 AB、AC 上，且 DM=DN 时，BM、NC、MN 之间的数量关系是 ；此时LQ ；（II）如图 2，点 M、N 边 AB、AC 上，且当 DMDN 时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III）如图 3，当 M、N 分别在边 AB、CA 的延长线上时，若 AN=x，则 Q=（用x、L 表示）
