八年级数学《全等三角形五种常见的辅助线作法》.pdf

1 八年级数学全等三角形五种常见的辅助线作法 类型一、截长补短 一般地，当所证结论为线段的和、差关系（即遇到求证一条线段等于另两条线段之和或差），且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法：在长线段上截取一部分使之与短线段相等（截长法）或将短线段延长使其与长线段相等（补短法）1.在ABC中，AD为BAC的平分线如图 1，若2CB，12AB，2.7AC，求线段CD的长度；2.如图，/ADBC，点E在线段AB上，ADECDE，DCEECB 求证：CDADBC 2 举一反三【变式 1】如图，在ABC中，60ABC，AD，CE分别平分BAC、ACB（1）求AOC的度数；（2）求证：ACAECD 【变式2】在等边ABC中，E为BC边上一点，G为BC延长线上一点，过点E作60AEM，交ACG的平分线于点M（1）如图 1，当点E在BC边的中点位置时，求证：AEEM；（2）如图 2，当点E在BC边的任意位置时（1）中的结论是否成立？请说明理由 3 类型二、倍长中线 三角形问题中涉及中线（中点）时，将三角形中线延长一倍，构造全等三角形是常用的解题思路 3.已知在ABC中，3AB，4AC，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围()A34AD B17AD C3AD D0.53.5AD 4 已知：在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BEAC，延长BE交AC于F，求证：AFEF 举一反三 【变式 1】已知：如图，()ABC ABAC中，D、E在BC上，且DEEC，过D作/DFBA交AE于点F，DFAC求证：AE平分BAC 4 【变式 2】如图，已知：CDAB，BADBDA，AE是ABD的中线，求证：2ACAE 类型三、作平行线 当三角形问题中有相等的角或等腰等条件时，可通过作平行线将相等的角转换到某一个三角形中得到另外的等腰三角形或相等的角，从而为证明全等提供条件 5.已知，如图，在ABC中，ABAC，在AC上取点E，在AB的延长线上取点D，使BDEC，连接DE交BC于点F求证：DFEF 5 举一反三【变式 1】ABC中，60BAC，40C，AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q，求证：ABBPBQAQ 类型四、补全图形 在一些求证三角形问题中，延长某两条线段（边）相交，构成一个封闭的图形，可找到更多的相等关系，有助于问题的解决 6.如图，在ABC中，ACBC，90C，BD为ABC的平分线，若A点到直线BD的距离为a，则BE的长为 举一反三【变式 1】已知：90A，ABAC，BD平分ABC，CEBD，垂足为E 求证：2BDCE 6 类型五、利用角的平分线对称构造全等 角的平分线是角的对称轴，在证明全等过程中不仅提供了两个相等的角，还有一条公共边，利用角的平分线在角的两边上截取相等的线段，或向两边作垂线（双垂直），对称构造出全等三角形是常用的证明方法 7.如图，在ABC中，90C，AD平分CAB，DEAB于点E，点F在AC上，BEFC求证：BDDF 举一反三 【变式 1】如图，90AOB，OM平分AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由