必修2第1章第1节内切球外接球汇总.pdf

内切、外接球的表面积与体积 1柱、锥、台和球的侧面积和体积 面 积 体 积 圆柱 S 侧 2rh V Sh r2h 1 1 2 圆锥 S 侧 rl V3Sh3r h 1 2 2 2 r 3r l 圆台 S (r1 r2)l 1 1 2 2 上 下 上 下 1 21 2 侧 直棱柱 S 侧 Ch V Sh 正棱锥 1 1 侧 2Ch V3Sh S 1 1 正棱台 S 侧 2(CC)h V3(S 上 S 下 S上 S下)h 球 S 球面 4R2 4 3 V 3 R 2.几何体的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和 (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积 等于侧面积与底面面积之和 求几何体体积的两种重要方法 1割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公 式的几何体进行解决 2等积法：等积法包括等面积法和等体积法等积法的前提是几何图形(或 几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图 形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了 具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值 1 处理球的“内切”“外接”问题 一、球与棱柱的组合体问题：1 正方体的内切球：设正方体的棱长为 a，求（1）内切球半径；（2）与棱相切的球半径。（3）外接球半径；（1）截面图为正方形 EFGH 的内切圆，得 R a ；2 （2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图 4 作 截面图，圆 O 为正方形 EFGH 的外接圆，易得 R 2 a。2 （3）正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图 5，以对角面 AA1 作截面 图得，圆 O 为矩形 AA1C1C 的外接圆，易得 R A1O 3 a。2 图 3 图 4 图 5 注解：长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a，b，c，外接球的半径为 R，则 2R a2 b2 c2.2 典题导入 例(1)(2013 福建卷)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该 组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为 2 的正方形，则该球的表面积是 _ 解析(1)由三视图知，棱长为 2 的正方体内接于球，故正方体的体对角线长为 2 3 2 2 3，即为球的直径所以球的表面积为 S 42 12.答案(1)12 (2)(2013 辽宁卷)已知直三棱柱 ABCA1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB3，AC4，ABAC，AA112，则球 O 的半径为 3 17 13 A.2 B2 10 C.2 D3 10 解析(2)因为在直三棱柱中 AB3，AC4，AA1，所以 BC ，12 AB AC 5 且 BC 为过底面 ABC 的截面圆的直径，取 BC 中点 D，则 OD底面 ABC，则 O 在侧面 BCC1B1 内，矩形 BCC1B1 的对角线长即为球的直径，所以 2r 12252 13 13，即 r 2.答案(2)C 3 由题悟法 1解决与球有关的“切”、“接”问题，一般要过球心及多面体中的特殊点或 过线作截面，把空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系 2长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a，b，c，外接球的半径为 R，则 2R a2 b2 c2.以题试法 1 1，2，3，.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 则此球的表面积为。2.（2014 陕西）已知底面边长为 1，侧棱长为 2 的正四棱柱的各顶点均在同一个 球面上，则该球的体积为()32 4 A.3 B4 C2 D.3 3.（2012 辽宁）已知点 P，A，B，C，D 是球 O 表面上的点，PA平面 ABCD，四边形 ABCD 是边长为 2 3 的正方形若 PA2 6，则 OAB 的面积为 _ 4.(2012 潍坊模拟)已知球 O 的面上有四点 A、B、C、D，DA平面 ABC，AB BC，DAABBC 2，则球 O 的体积等于 _ 5.在球面上有四个点 P、A、B、C.如果 PA、PB、PC 两两互相垂直，且 PA PB PC a,求这个球的表面积是 _.6设 P,A,B,C 是球 O 面上的四点,且 PA,PB,PC 两两互相垂直 ,若 PA PB PC a,则球心 O 到截面 ABC 的距离是.7.一个四面体的所有棱长都为 2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 参考答案 4 1.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 1，2，3，则此球的表面积为。答案：14 2.（2014 陕西）已知底面边长为 1，侧棱长为 2 的正四棱柱的各顶点均在同一个 球面上，则该球的体积为()32 4 A.3 B4 C2 D.3 解析：因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径 1 2 2 2 ，所以 球 4 3 4 r 2 1 1 2 V 31 故选 1 3.D.3.（2012 辽宁）已知点 P，A，B，C，D 是球 O 表面上的点，PA平面 ABCD，四边形 ABCD 是边长为 2 3 的正方形若 PA2 6，则 OAB 的面积为 _ 解析：把球 O 的内接四棱锥还原为长方体，则球 O 的直径为长方体的体对 角线，则(2R)2(2 3)2(2 3)2(2 6)2，可得 R212.OAB 中，设 AB 边上的 2 2 2 1 高为 h，则 h R(3)9，则 h 3，所以 SOAB 2 2 3 33 3.4.(2012 潍坊模拟)已知球 O 的面上有四点 A、B、C、D，DA平面 ABC，AB 5 BC，DAABBC 2，则球 O 的体积等于 _ 解析：如图，以 DA，AB，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球 O 的半径为 R，则正方体的体对角 线长即为球 O 的直径，所以|CD|22 2 2 2 22R，所以 R 6 故球 O 的体积 4 R3 6.2.V 3 5.在球面上有四个点 P、A、B、C.如果 PA、PB、PC 两两互相垂直，且 PA PB PC a,求这个球的表面积是 _.答案：3a2 6设 P,A,B,C 是球 O 面上的四点,且 PA,PB,PC 两两互相垂直 ,若 PA PB PC a,则球心 O 到截面 ABC 的距离是.答案：3 a 6 7.一个四面体的所有棱长都为 2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 答案：3 8.在正三棱锥 S ABC 中，侧棱 SC 侧面 SAB，侧棱 SC 2，则此正三棱锥的外接球的表面积为 答案：12 【构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题 正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中 6 心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。】6 例：若一个底面边长为 2，侧棱长为 6 的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和表面积 【解】在底面正六边形 ABCDEF 中，连接 BE、AD 交于 O，连接 BE1，则 BE2OE2DE，BE 6，在 RtBEE1 中，BE1 BE2E1E2 2 3，2R2 3，则 R 3，球 4 R3 ，球的表面积 球 2 .球的体积 V 3 4 3 S 4 R 12 练习：1.若一个底面边长为 3，棱长为 6 的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，则此球的体 2 积为 答案：9 2 例.已知底面边长为 a 正三棱柱 ABC A1B1C1 的六个顶点在球 O1 上，又知球 O2 与此正三 7 棱柱的 5 个面都相切，求球 O1 与球 O2 的体积之比与表面积之比。分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。解：如图 6，由题意得两球心 O1、O2 是重合的，过正三棱柱的一条侧棱 AA1 和它们的 球心作截面，设正三棱柱底面边长为 a，则 R2 3 a，正三棱柱的高为 h 2R2 3 a，6 3 2 2 2 5 a 由 Rt A1 D1O 中，得 R1 2 3 a R2 2 3 a 3 a 5 a2，R1 3 3 6 12 12 S1:S2 R12:R22 5:1，V1:V2 5 5:1 练习：1.一个正三棱柱恰好有一个内切球(球与三棱柱的两个底面和三个侧面都相切)和一个外接 球(球经过三棱柱的 6 个顶点),则此内切球与外接球表面积之比为。答案：1:5 二 棱锥的内切、外接球问题（1）典题导入 8 例.正四棱锥 S ABCD，底面边长为 2，侧棱长为 3，则其外接球和内切球的半径是多少 由题悟法 1勾股定理，垂径定理 2与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接球与旋转体的组合 通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题 以题试法 1.半径为 R 的球内接一个各棱长都相等的正四棱锥则四棱锥的体积为 答案：2 R3 3 二 棱锥的内切、外接球问题（2）说明：球与正三棱锥四个面相切，实际上，球是正三棱锥的内切球，球心到正三棱锥的四个 9 面的距离相等，都为球半径 R 这样求球的半径可转化为求球心到三棱锥面的距离，而点面距离常可以用等体积法解决 例.正四面体的外接球和内切球的半径是多少？分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之。解：如图 1 所示，设点 O 是内切球的球心，正四面体棱长为 a 由图形的对称性知，点 O 也是外接球的球心设内切球半径为 r，外接球半径为 R 2 在 Rt BEO 中，BO 2 BE 2 EO2，即 R2 3 a r 2，得 R 6 a，得 R 3r 3 4 【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为 正四面体高的四等分点，即内切球的半径为 h(h 为正四面体的高 )，且外接球的半径 3h，4 4 从而可以通过截面图中 Rt OBE 建立棱长与半径之间的关系。例.正三棱锥 S ABC，底面边长为 3，侧棱长为 2，则其外接球和内切球的半径是多少 练习：10 1.正三棱锥的高为 3，底面边长为 8 3，正三棱锥内有一个球与其四个面相切则球的表面 积与体积分别为 答案：64;256 9 81 说明：球与正三棱锥四个面相切，实际上，球是正三棱锥的内切球，球心到正三棱锥的四个面的距离相等，都为球半径 R 这样求球的半径可转化为求球心到三棱锥面的距离，而点面距离常可以用等体积法解决 歪锥体有关的球的问题 11 典题导入 例 （2011 辽宁，5 分）已知球的直径 SC 4，A，B 是该球球面上的两点，AB 3，ASC BSC30，则棱锥 SABC 的体积为()A3 3 B2 3 C.3 D1 解析：由题可知 AB 一定在与直径 SC 垂直的小圆面上，作过 AB 的小圆交 直径 SC 于 D，设 SDx，则 DC4x，此时所求棱锥即分割成两个棱锥 SABD 3 和 CABD，在SAD 和 SBD 中，由已知条件可得 ADBD 3 x，又因为 SC 为直径，所以 SBCSAC90，所以DCBDCA 60，在 BDC 中，BD 3 3(4 x)，所以 3 x 3(4x)，所以 x3，ADBD 3，所以三角形 ABD 1 为正三角形，所以 V3SABD4 3.答案：C 由题悟法 1勾股定理，垂径定理 2与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接球与旋转体的组合 通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题 以题试法 12 3(1)点 A、B、C、D 在同一球面上，其中 ABC 是正三角形，AD平面 ABC，AD2AB6，则该球的体积为()A32 3 B48 C 64 3 D16 3 (2)(2012 琼州模拟)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为 ()8 16 A2 3 B.3 C43 D.3 (3)有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为 r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度 4.三棱锥 A BCD 的两条棱 AB CD 6,其余各棱长均为 5，求三棱锥的内切球半径.参考答案 13 3(1)点 A、B、C、D 在同一球面上，其中 ABC 是正三角形，AD平面 ABC，AD2AB6，则该球的体积为()A32 3 B48 C 64 3 D16 3 【答案】A (2)(2012 琼州模拟)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角 形，则这个几何体的外接球的表面积为 ()8 16 A2 3 B.3 C43 D.3 解析：(2)由三视图可知几何体的直观图如图所示 其中侧面 DBC底面 ABC，取 BC 的中点 O1，连接 AO1，DO1 知 DO1底 面 ABC 且 DO1 3，AO11，BO1O1C1.在 RtABO1 和 Rt ACO1 中，ABAC 2，又 BC 2，BAC90.BC 为底面 ABC 外接圆的直径，O1 为圆心，又 DO1 底面 ABC，球心在 DO1 上，即 BCD 的外接圆为球大圆，设球半径为 R，2 2 16 则(3 R)2 12R2，R .S 球 4R24 32 3.3 (3)有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为 r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度 14 解 如图所示，作出轴截面，因轴截面是正三角形，根据切线性质知当球在容器 内时，水的深度为 3r，水面半径 BC 的长为 3r，则容器内水的体积为 VV 圆锥 V 球 1(2 4353，将球取出后，设容器中水的深度为 h，3 3r)3r 3 r 3 r 3 则水面圆的半径为 3 h，从而容器内水的体积为 1 3 2 1 3 3 V 3 3 h h9h，由 VV，得 h 15r.4.三棱锥 A BCD 的两条棱 AB CD 6,其余各棱长均为 5，求三棱锥的内切球半径.答案：高考题训练 （2011 新课标全国）已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周 15 3 都在同一个球面上 若圆锥底面面积是这个球面面积的 16，则这两个圆锥中，体 积较小者的高与体积较大者的高的比值为 _ (2012 课标全国卷新)平面 截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面 的距离为 2，则此球的体积为 ()A.6 B4 3 C 4 6 D6 3 （2012 新课标全国）已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，ABC 是边长为 1 的正三角形，SC 为球 O 的直径，且 SC2，则此棱锥的体积为()2 3 2 2 A.6 B.6 C.3 D.2（2013 新课标全国）已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点，AHHB12，AB 平面，H 为垂足，截球 O 所得截面的面积为，则球 O 的表面积为 _ (2013 新课标全国卷)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 500 3 866 3 1 372 3 2 048 3 A.3 cm B.3 cm C.3 cm D.3 cm 2014 全国卷 正四棱锥的顶点都在同一球面上若该棱锥的高为 4，底面边长 为 2，则该球的表面积为()81 27 A.4 B16 C9 D.4 【2015 高考新课标 2】已知 A,B 是球 O 的球面上两点，AOB=90,C 为该球面 上的动点，若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为()A36 B.64 C.144 D.256 参考答案 （2011 新课标全国）已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周 3 都在同一个球面上 若圆锥底面面积是这个球面面积的 16，则这两个圆锥中，体 16 积较小者的高与体积较大者的高的比值为 _ 解析：设球心为 O1，半径为 r 1，圆锥底面圆圆心为 O2，半径为 r 2，3 22 2 3 1 2 2 2 r 1 4r1 2，即 r 1 1 r 2 则有 16 r 2 r，所以 O O r 2，r1 r1 设两个圆锥中，高分别为 h1、h2，则 h1 2 1 h r .2 1 3 r1 2 (2012 新课标全国卷 )平面 截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面 的距离为 2，则此球的体积为 ()A.6 B4 3 C 4 6 D6 3 解析 如图，设截面圆的圆心为 O，M 为截面圆上任一点，则 OO 2，OM1，OM 2 21 3，4 3 即球的半径为 3，V3(3)4 3答.案 B （2012 新课标全国）已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，ABC 是边长为 1 的正三角形，SC 为球 O 的直径，且 SC2，则此棱锥的体积为()2 3 2 2 A.6 B.6 C.3 D.2 解析：在直角三角形 ASC 中，AC 1，SAC 90，SC2，所以 SA 41 3；同理 SB 3.过 A 点作 SC 的垂线交 SC 于 D 点，连接 DB，因 SACSBC，故 BDSC，故 SC平面 ABD，且平面 ABD 为等腰三角形，因 ASC30，故 1 3 1 2 1 2 2 AD 2SA 2，则ABD 的面积为 21 AD 2 4，则三棱锥的体积 1 2 2 为 3 42 6.答案：A （2013 新课标全国）已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点，AHHB12，AB 平面，H 为垂足，截球 O 所得截面的面积为，则球 O 的表面积为 _ 17 解析：本题主要考查球及其组合体的基本知识 如图，设截面小圆的半径为 1 2 2 r，球的半径为 R，因为 AHHB12，所以 OH R.由勾股定理，有 R r 3 2 2 ，故 2 1 2 2 9 OH，又由题意得 ，则 r R 3R ，即 R .由球的表面积 r 1 1 8 2 9 9 公式，得 S4 R 2.答案：2 (2013 新课标全国卷)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器 高 8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 500 3 866 3 1 372 3 2 048 3 A.3 cm B.3 cm C.3 cm D.3 cm 解析 作出该球的轴截面，如图所示，依题意 BE2 cm，AECE4 cm，设 DEx，故 AD 2 x，因为 AD2AE2DE2，解得 x3(cm)，故该球的半径 AD 4 3 500 3 5 cm，所以 V 3R 3(cm)答案 A 2014 全国卷 正四棱锥的顶点都在同一球面上若该棱锥的高为 4，底面边长 为 2，则该球的表面积为()18 81 27 A.4 B16 C9 D.4 1【答案】A 解析 如图所示，因为正四棱锥的底面边长为 2，所以 AE2AC 2.设球心为 O，球的半径为 R，则 OE4R，OAR.又因为 AOE 为直角三 2 2 2 2 2 9 角形，所以 OA OE AE，即 R(4R)2，解得 R 4，所以该球的表面 2 9 2 81 积 S4R 4 4 4 .【2015 高考新课标 2】已知 A,B 是球 O 的球面上两点，AOB=90,C 为该球面 上的动点，若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为()A36 B.64 C.144 D.256 【考点定位】外接球表面积和椎体的体积 C O A B 【名师点睛】本题以球为背景考查空间几何体的体积和表面积计算，要明确球的 截面性质，正确理解四面体体积最大时的情形，属于中档题 课后作业 19 1、（2016 广适文 8）已知过球面上有三点 A,B,C 的截面到球心的距离是球半径的一半，且 AB BC CA 2，则此球的半径是（）3 B 1 C 4 A D 2 4 3 2、（2016 广一文理 10）一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为 （A）（B）20 5（C）5（D）5 5 3 6 、(2016 广二文理 9)已知球 O 的半径为 R，A,B,C 三点在球 O 的球面上，球心 O 到平面 3 ABC 的距离为 1R，AB AC 2，BAC 120,则球 O 的表面积为 16 2 16 64 64 (B)(C)(A)9 3 9(D)3 4、（2017 广调文理 11）如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某三棱锥 的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是 (A)25 25 (B)4 (C)29 29 (D)4 5、（2017 高二水平测 13）已知一个四棱锥的底面是边长为 2 的正方形，顶点在底面的正投 影为正方形的中心，侧棱长为 5，则这个四棱锥的内切球的表面积为 参考答案 20 1、（2016 广适文 8）已知过球面上有三点 A,B,C 的截面到球心的距离是球半径的一半，且 AB BC CA 2，则此球的半径是（）3 B 1 C 4 A D 2 4 3 【答案】C 2、（2016 广一文理 10）一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为 （A）（B）20 5（C）5（D）5 5 3 6 【答案】D 【解 析】由 题 意 知 正 六 边 形 外 接 圆 半 径 r 1，其 高 h 1，所以球半径为 Rr 2(h)2 1 1 5 所以球的体积为 V 4 R34 5 5 5 5 2 4 4 3 3 4 4 6 3、(2016 广二文理 9)已知球 O 的半径为 R，A,B,C 三点在球 O 的球面上，球心 O 到平面 ABC 的距离为 1R，AB AC 2，BAC 120,则球 O 的表面积为 16 2 16 64 64 (B)(D)(A)9 3 (C)3 9 【答案】D 4、（2017 广调文理 11）如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某三棱锥 的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是 (A)25 25 (B)4 (C)29 29 (D)4 答案：D 5、（2017 高二水平测 13）已知一个四棱锥的底面是边长为 2 的正方形，顶点在底面的正投 影为正方形的中心，侧棱长为 5，则这个四棱锥的内切球的表面积为 4 答案：3 21