数学学科前沿讲座.pdf

1 数学学科前沿讲座 通过 16 个学时的学习，我对数学有大概的了解，也有一些自己的体会。下面就简要谈谈。近半个多世纪以来，随着计算机技术的迅速发展，数学的应用不仅在工程技术、自然科学等领域发挥着越来越重要的作用，而且以空前的广度和深度向经济、金融、生物、医学、环境、地质、人口、交通等新的领域渗透，所谓数学技术已经成为当代高新技术的重要组成部分。因有数学，才有今天科技的繁荣，在我们身边到处都有数学问题。今天科技领域也以数学为基础。如计算机的发展，一切理论都是数学家提出的，某个物理学家要研究某个项目，都要以丰厚的数学功底为前提。在人们的生活中，时刻与数学打交道，可谓世界因数学而精彩。既然数学有如此大的魅力，下面将粗略的介绍一下。数学曾出现三次危机：无理数的发现第一次数学危机；无穷小是零吗第二次数学危机；悖论的产生-第三次数学危机。数学历来被视为严格、和谐、精确的学科，纵观数学发展史，数学发展从来不是完全直线式的，他的体系不是永远和谐的，而常常出现悖论。在悖论中逐渐成熟，进而到现在出现多个分支，分为：基础数学、数论、代数学、几何学、拓扑学、函数论、常微分方程、偏微分方程、概率论、应用数学、运筹学 一、应用数学 应用数学属于数学一级学科下的二级学科。应用数学是应用目的明确的数学理论和方法的总称，它是数学理论知识与应用科学、工程技术等领域联系的重要纽带。应用数学主要研究具有实际背景或应用前景的数学理论或方法，以数学各个分支的应用基础理论为研究主体，同时也研究自然科学、工程技术、信息、经济、管理等科学中的数学问题，包括建立相应的数学模型、利用数学方法解决实际问题等。主要研究方向：(1)非线性偏微分方程 非线性偏微分方程是现代数学的一个重要分支，无论在理论中还是在实际应用中，非线性偏微分方程均被用来描述力学、控制过程、生态与经济系统、化工循环系统及流行病学等领域的问题。利用非线性偏微分方程描述上述问题充分考虑到空间、时间、时滞的影响，因而更能准确的反映实际。本方向主要研究非线性偏微分方程、H-半变分不等式、最优控制系统的微分方程理论及其在电力系统的应用。(2)拓扑学 拓扑学，是近代发展起来的一个研究连续性现象的数学分支。中文名称起源于希腊语 的音译。Topology原意为地貌，于 19 世纪中期由科学家引入，当时主要研究的是出于数学分析的需要而产生的一些几何问题。发展至今，拓扑学主要研究拓扑空间在拓扑变换下的不变性质和不变量。拓扑学是数学中一个重要的、基础的分支。起初它是几何学的一支，研究几何图形在连续变形下保持不变的性质(所谓连续变形，形象地说就是允许伸缩和扭曲等变形，但不许割断和粘合)；现在已发展成为研究连续性现象的数学分支。由于连续性在数学中的表现方式与研究方法的多样性，拓扑学又分成研究对象与方法各异的若干分支。19 世纪末，在拓扑学的孕育阶段，就已出现点集拓扑学与组合拓扑学两个方向。现在，前者演化为一般拓扑学，后者则成为代数拓扑学。后来，又相继出现了微分拓朴学、几何拓扑学等分支。拓扑学也是数学的一个分支，研究几何图形在连续改变形状时还能保持不变的一些特性，它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的距离和大小。举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果完全重合，那么这两个图形叫做全等形。但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。例如，下面将要讲的欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个数。这些就是拓扑学思考问题的出发点。简单地说，拓扑就是研究有形的物体在连续变换下，怎 2 样还能保持性质不变。几何拓扑学是十九世纪形成的一门数学分支，它属于几何学的范畴。有关拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了。那时候发现一些孤立的问题，后来在拓扑学的形成中占着重要的地位。在数学上，关于哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓扑学发展史的重要问题。哥尼斯堡七桥问题 哥尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒）是东普鲁士的首都，普莱格尔河横贯其中。十八世纪在这条河上建有七座桥，将河中间的两个岛和河岸联结起来。人们闲暇时经常在这上边散步，一天有人提出：能不能每座桥都只走一遍，最后又回到原来的位置。这个看起来很简单又很有趣的问题吸引了大家，很多人在尝试各种各样的走法，但谁也没有做到。看来要得到一个明确、理想的答案还不那么容易。欧拉经过分析，得出结论不可能每座桥都走一遍，最后回到原来的位置。并且给出了所有能够一笔画出来的图形所应具有的条件。这是拓扑学的“先声”。在拓扑学的发展历史中，还有一个著名而且重要的关于多面体的定理也和欧拉有关。这个定理内容是：如果一个凸多面体的顶点数是 v、棱数是 e、面数是 f，那么它们总有这样的关系：f+v-e=2。根据多面体的欧拉定理，可以得出这样一个有趣的事实：只存在五种正多面体。它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。著名的“四色问题”也是与拓扑学发展有关的问题。四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。拓扑学起初叫形势分析学，是莱布尼茨 1679年提出的名词。十九世纪中期，黎曼在复函数的研究中强调研究函数和积分就必须研究形势分析学。从此开始了现代拓扑学的系统研究。在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念，但是讨论拓扑等价的概念。比如，尽管圆和方形、三角形的形状、大小不同，在拓扑变换下，它们都是等价图形。换句话讲，就是从拓扑学的角度看，它们是完全一样的。在一个球面上任选一些点用不相交的线把它们连接起来，这样球面就被这些线分成许多块。在拓扑变换下，点、线、块的数目仍和原来的数目一样，这就是拓扑等价。一般地说，对于任意形状的闭曲面，只要不把曲面撕裂或割破，他的变换就是拓扑变换，就存在拓扑等价。应该指出，环面不具有这个性质。把环面切开，它不至于分成许多块，只是变成一个弯曲的圆桶形，对于这种情况，我们就说球面不能拓扑的变成环面。所以球面和环面在拓扑学中是不同的曲面。（3）概率论与数理统计 研究随机现象数量规律的数学分支。随机现象是相对于决定性现象而言的。在一定条件下必然发生某一结果的现象称为决定性现象。例如在标准大气压下，纯水加热到 100时水必然会沸腾等。随机现象则是指在基本条件不变的情况下，一系列试验或观察会得到不同结果的现象。每一次试验或观察前，不能肯定会出现哪种结果，呈现出偶然性。例如，掷一硬币，可能出现正面或反面，在同一工艺条件下生产出的灯泡，其寿命长短参差不齐等等。随机现象的实现和对它的观察称为随机试验。随机试验的每一可能结果称为一个基本事件，一个或一组基本事件统称随机事件，或简称事件。事件的概率则是衡量该事件发生的可能性的量度。虽然在一次随机试验中某个事件的发生是带有偶然性的，但那些可在相同条件下大量重复的随机试验却 3 往往呈现出明显的数量规律。例如，连续多次掷一均匀的硬币，出现正面的频率随着投掷次数的增加逐渐趋向于 1/2。又如，多次测量一物体的长度，其测量结果的平均值随着测量次数的增加，逐渐稳定于一常数，并且诸测量值大都落在此常数的附近，其分布状况呈现中间多，两头少及某程度的对称性。大数定律及中心极限定理就是描述和论证这些规律的。在实际生活中，人们往往还需要研究某一特定随机现象的演变情况随机过程。例如，微小粒子在液体中受周围分子的随机碰撞而形成不规则的运动（即布朗运动），这就是随机过程。随机过程的统计特性、计算与随机过程有关的某些事件的概率，特别是研究与随机过程样本轨道(即过程的一次实现)有关的问题，是现代概率论的主要课题。（4）运筹学 在中国战国时期，曾经有过一次流传后世的赛马比赛，相信大家都知道，这就是田忌赛马。田忌赛马的故事说明在已有的条件下，经过筹划、安排，选择一个最好的方案，就会取得最好的效果。可见，筹划安排是十分重要的。现在普遍认为，运筹学是近代应用数学的一个分支，主要是将生产、管理等事件中出现的一些带有普遍性的运筹问题加以提炼，然后利用数学方法进行解决。前者提供模型，后者提供理论和方法。运筹学的思想在古代就已经产生了。敌我双方交战，要克敌制胜就要在了解双方情况的基础上，做出最优的对付敌人的方法，这就是“运筹帷幄之中，决胜千里之外”的说法。但是作为一门数学学科，用纯数学的方法来解决最优方法的选择安排，却是晚多了。也可以说，运筹学是在二十世纪四十年代才开始兴起的一门分支。运筹学主要研究经济活动和军事活动中能用数量来表达的有关策划、管理方面的问题。当然，随着客观实际的发展，运筹学的许多内容不但研究经济和军事活动，有些已经深入到日常生活当中去了。运筹学可以根据问题的要求，通过数学上的分析、运算，得出各种各样的结果，最后提出综合性的合理安排，以达到最好的效果。运筹学作为一门用来解决实际问题的学科，在处理千差万别的各种问题时，一般有以下几个步骤：确定目标、制定方案、建立模型、制定解法。虽然不大可能存在能处理及其广泛对象的运筹学，但是在运筹学的发展过程中还是形成了某些抽象模型，并能应用解决较广泛的实际问题。随着科学技术和生产的发展，运筹学已渗入很多领域里，发挥了越来越重要的作用。运筹学本身也在不断发展，现在已经是一个包括好几个分支的数学部门了。比如：数学规划（又包含线性规划；非线性规划；整数规划；组合规划等）、图论、网络流、决策分析、排队论、可靠性数学理论、库存论、博弈论、搜索论、模拟等等。运筹学有广阔的应用领域，它已渗透到诸如服务、库存、搜索、人口、对抗、控制、时间表、资源分配、厂址定位、能源、设计、生产、可靠性等各个方面。运筹学是软科学中“硬度”较大的一门学科，兼有逻辑的数学和数学的逻辑的性质，是系统工程学和现代管理科学中的一种基础理论和不可缺少的方法、手段和工具。运筹学已被应用到各种管理工程中，在现代化建设中发挥着重要作用。（5）代数学 代数学是数学的一个重要的基础分支。传统的代数学有群论，环论，模论，域论，线性代数与多重线性代数(含矩阵论)，有限维代数，同调代数，范畴等。目前，代数学的发展有几个特征：其一是与其它数学分支交叉，例如与几何，数论交叉产生了代数几何，算术几何，代数数论等目前数学主流方向，矩阵论与组合学交叉产生了组合矩阵论。其二是代数学与计算科学，计算机科学的交叉，产生了计算代数，数学机械化，代数密码学，代数自动机等新的方向。随着计算科学的发展，矩阵论仍处在发展的阶段，显示出其生命力。其三是一些老的重要代数学分支从代数学中独立出来形成新的数学分支，如李群与李代数，代数 K理论。4 1 矩阵几何及应用：目前矩阵几何的发展主要有三个方面：一是将矩阵几何的研究推广到有零因子的环上；二是将矩阵几何基本定理中的条件化简或寻找其它等价条件，并找出特殊情况下的简单证明；三是将矩阵几何的研究范围扩大到保其它的几何不变量以及无限维算子代数中。2 环上矩阵论及应用：四元数与四元数矩阵论在物理学，力学，计算机科学，工程技术中具有较好的应用，受到国内外工程技术界的重视。矩阵方程在很多实际问题(例如控制论，稳定性理论)中有重要的作用，也是长期的研究热点。3 群论及应用：群论是代数学的基础，也是物理学的基本工具。典型群是群的一种很重要的类型。研究数域或整数环上一般线性群的有限子群，用群的某些算术条件刻画群的结构并对其进行分类。4 Clifford代数,Hopf代数及应用：目前，Clifford代数，Hopf代数己成为物理学中的热门工具。二维 Clifford代数就是四元数。5 代数学在计算机科学与信息科学的应用：随着信息化进程与因特网的深入与飞速发展，信息安全问题日益重要，保护网上信息安全是一个极为重要的新课题。主要采用加密技术与数字鉴定，实际上是数学技术，主要用到代数学，组合数学与数论。图像压缩处理是信息处理中的一个困难和极为重要的问题。体会：在上课时，老师讲了一个年轻的数学家。1832年 5月 30 日清晨，在巴黎的葛拉塞尔湖附近躺着一个昏迷的年轻人，过路的农民从枪伤判断他是决斗后受了重伤，就把这个不知名的青年抬到医院。第二天早晨十点，这个可怜的年轻人离开了人世，数学史上最年轻、最富有创造性的头脑停止了思考。后来的一些著名数学家们说，他的死使数学的发展被推迟了几十年，他就是伽罗华。当时我就在想，何谓人生价值？一个人，能够影响世界，对世界产生巨大的影响，人离去后，被后人追念，此乃正真的人生价值，人生到如此境界，夫复何求。他 18岁时便有如此大的成就，这令我心灵深深地震撼。我们生活在这个繁荣的世界，学习条件，设备，都比当时优越，而且当时没有名师指导，就自己开出一片新领域群论，实在令人佩服和敬仰。我们在今后的学习和生活之中，也应多思考，对数学要有热爱，多思索和研究，打破“前无古人，后无来者”的局面。二、金融数学 （1）概述 金融数学是一门新兴学科，是“金融高技术”的重要组成部分。研究金融数学有着重要的意义。金融数学总的研究目标是利用我国数学界某些方面的优势，围绕金融市场的均衡与有价证券定价的数学理论进行深入剖析，建立适合我国国情的数学模型，编写一定的计算机软件，对理论研究结果进行仿真计算，对实际数据进行计量经济分析研究，为实际金融部门提供较深入的技术分析咨询。金融数学是在两次华尔街革命的基础上迅速发展起来的一门数学与金融学相交叉的前沿学科。其核心内容就是研究不确定随机环境下的投资组合的最优选择理论和资产的定价理论。套利、最优与均衡是金融数学的基本经济思想和三大基本概念。在国际上，这门学科已经有 50 多年的发展历史，特别是近些年来，在许多专家、学者们的努力下，金融数学中的许多理论得以证明、模拟和完善。金融数学的迅速发展，带动了现代金融市场中金融产品的快速创新，使得金融交易的范围和层次更加丰富和多样。这门新兴的学科同样与我国金融改革和发展有紧密的联系，而且其在我国的发展前景不可限量。（2）现状及发展 在国内不能回避这样一个事实：受过高等教育的专业人士都可以读懂国内经济类，金融类核心期刊，但国内金融学专业的本科生却很难读懂本专业的国际核心期刊Journal of Finance，证劵投资基金经理少有人去阅读Joural of Portfolio Management，其原因不在于外语的熟练程度，而在于内容和研究方法上的差异，国内较多停留在以描述性分析为主着 5 重描述金融的定义，市场的划分及金融组织等，或称为描述金融；而国外学术界以及实务界则以数量性分析为主，比如资本资产定价原理，衍生资产的复制方法等，或称为分析金融，即使在国内金融学的教材中，虽然涉及到了标的资产（Underlying asset）和衍生资产（Derivative asset）定价，但对公式提出的原文证明也予以回避，这种现象是不合理的，产生这种现象的原因有如下几个方面：首先，根据研究方法的不同，我国金融学科既可以归到我国哲学社会科学规划办公室，也可以归到国家自然科学基金委员会管理科学部，前者占主要地位，且这支队伍大多来自经济转轨前的哲学和政治学队伍，因此研究方法多为定性的方法。而西方正好相反，金融研究方向的队伍具有很好的数理功底。其次是我国的金融市场的实际环境所决定。我国证券市场刚起步，也没有一个统一的货币市场，投资者队伍主要由中小投资者构成，市场投机成分高，因此不会产生对现代投资理论的需求，相应地，学术界也难以对此产生研究的热情。然而数学技术以其精确的描述，严密的推导已经不容争辩地走进了金融领域。自从 1952年马柯维茨（Markowitz）提出了用随机变量的特征变量来描述金融资产的收益性，不确定性和流动性以来，已经很难分清世界一流的金融杂志是在分析金融市场还是在撰写一篇数学论文。再回到 Collins的讲话，在金融证券化的趋势中，无论是我们采用统计学的方法分析历史数据，寻找价格波动规律，还是用数学分析的方法去复制金融产品，谁最先发现了在规律，谁就能在瞬息万变的金融市场中获取高额利润。尽管由于森严的进入堡垒，数学进入金融领域受到了一的排斥和漠视，然而为了追求利润，未知的恐惧显得不堪一击。于是，在未来我们可以想象有这样一个充满美好前景的产业链：金融市场-金融数学-计算机技术。金融市场存在巨大的利润和高风险，需要计算机技术帮助分析，然而计算机不可能大概，左右等描述性语言，它本质上只能识别由 0和 1构成的空间，金融数学在这个过程中正好扮演了一个中介角色，它可以用精确语言描述随机波动的市场。比如，通过收益率状态矩阵在无套利的情形下找到了无风险贴现因子。因此，金融数学能帮助 IT 产业向金融产业延伸，并获取自己的利润空间。（3）感悟与体会 金融数学并不等价于金融专业，它是“金融高技术”的组成部分，是分析金融市场走向的有力工具。在中国，这方面的专业人士极缺，现在很多高校都陆续开设了此课程。但是，因中国的金融市场发展的比较晚，故很多高校毕业生很难有实践的机会。那么大学生也就只能在书本上学习一些西方国家的金融知识。大家都知道，金融是和数学打交道，数学知识必须学得很扎实。但要读懂西方国家的书籍，英语知识成为一个最大的障碍。据统计国内金融学专业的本科生很难读懂本专业的国际核心期刊Journal of Finance。这就给我们一个警示，要好就业，就要在大学时期充实自己，使自己变成一个全能性的复合型的人才。金融数学如果学得很出色，那么就业不成问题，且待遇很不错，这值得我考虑。三、数学建模 我们乘坐的先进、舒适的大型喷气客机的设计就离不开数学：机翼和机身通过分析计算才能确定它们的最佳形状；飞机的结构通过数学严格的校验才能确保有足够的强度；飞机发动机事先要用数学方法对其气动和机械性能进行分析和优化才能确保安全高效地运行、。如今数学不仅在各门自然科学和制造业、信息业、服务业等各种行业中有广泛的应用，而且在国民经济的规划和预测，自然资源的勘探、开发和保护，交通和物资调配，气象预报和各种灾害的预报、防治以及医学和社会科学的许多领域中乃至日常生活中都显示出举足轻重的作用。这一切促使人们对数学的重要性有了新的和更加深刻的认识。在这样的背景下，以计算机为工具、应用数学知识解决实际问题的能力将成为新世纪青年重要的科学素质。青年学生应自觉提高这方面的能力，迎接未来的挑战；数学教育工作者也应加强这种素质的培养。用数学解决实际问题除了掌握必要的数学基础知识以外还必须具备一定的能力。这里，需 6 要将现实问题归结为数学问题（又称建立数学模型或数学建模），然后选择合适的数学方法加以求解；对求得的结果用适当的方法加以验证；最后将结果应用于现实问题，对某些现象加以解释，或作出预测，或用于设计，或控制某个过程等等。这些能力不是天生的，也不是单纯通过学习数学基础知识就能获得的，只能通过有意识的反复训练和实践才能获得。然而以往的数学教学在这方面是欠缺的，有必要加以改革和完善。不论是用数学方法在科技和生产领域解决哪类实际问题，还是与其它学科相结合形成交叉学科，首要的和关键的一步是建立研究对象的数学模型，并加以计算求解。数学建模和计算机技术在知识经济时代的作用可谓是如虎添翼。数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和各种各样的应用问题紧密相关的。数学的特点不仅在于概念的抽象性、逻辑的严密性，结论的明确性和体系的完整性，而且在于它应用的广泛性，自从 20 世纪以来，随着科学技术的迅速发展和计算机的日益普及，人们对各种问题的要求越来越精确，使得数学的应用越来越广泛和深入，特别是在 21 世纪这个知识经济时代，数学科学的地位会发生巨大的变化，它正在从国家经济和科技的后备走到了前沿。经济发展的全球化、计算机的迅猛发展，数理论与方法的不断扩充使得数学已经成为当代高科技的一个重要组成部分和思想库，数学已经成为一种能够普遍实施的技术。培养学生应用数学的意识和能力已经成为数学教学的一个重要方面。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并 解决 实际问题的一种强有力的数学手段。数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程。这里的实际现象既包涵具体的自然现象比如自由落体现象，也包含抽象的现象比如顾客对某种商品所取的价值倾向。这里的描述不但包括外在形态，内在机制的描述，也包括预测，试验和解释实际现象等内容。我们也可以这样直观地理解这个概念：数学建模是一个让纯粹数学家变成物理学家，生物学家，经济学家甚至心理学家等等的过程。数学模型一般是实际事物的一种数学简化。它常常是以某种意义上接近实际事物的抽象形式存在的，但它和真实的事物有着本质的区别。要描述一个实际现象可以有很多种方式，比如录音，录像，比喻，传言等等。为了使描述更具科学性，逻辑性，客观性和可重复性，人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学。使用数学语言描述的事物就称为数学模型。有时候我们需要做一些实验，但这些实验往往用抽象出来了的数学模型作为实际物体的代替而进行相应的实验，实验本身也是实际操作的一种理论替代。建立教学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。要通过调查、收集数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题。这就需要深厚扎实的数学基础，敏锐的洞察力和想象力，对实际问题的浓厚兴趣和广博的知识面。数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是数学在各个领域广泛应用的媒介，是数学科学技术转化的主要途径。体会：据我个人了解，数学建模是三个人一个小组，经三天三夜的时间完成一篇论文，小组成员一般来自不同学院的会较好一些，这样就能集个人之所长，共同完成论文。在数学建模中，团队合作精神十分重要，要想赢得比赛，与其说他们有好的数学基础，不如说他们有合作的精神。即使组员个个都很优秀，没有合作的精神，一切都白搭。数学建模比赛与时间赛跑，即使在晚上也不能休息，组员们要讨论确定题目，收集资料，最后还要编写成章。在数学建模这个舞台上，给你一个实际的问题，要你设计一个最优方案去解决它，这不仅能锻炼我们的思维能力，总结能力和表达能力，而且能体会到合作的重要性。对于大一的我来说，现在数学建模还不是时候，基础知识不多，但在大二时期，这个比赛是很值得我们数学系的学生去参加的，即使不能获奖，但过程也精彩，期待大二的数学建模。总的来说，就单纯的数学知识是很难就业的，我们必须把知识运用到实际当中，这样才能 7 体现出数学的价值。像牛顿、爱因斯坦这样的伟大科学家，他们在研究问题时无不以数学知识为基础。在近代的计算机领域，像冯诺伊曼也是数学家。可见，数学推动着社会的进步。现在学好数学知识，将来在其他领域将有我们大显身手的时候。数学引领未来，世界因数学而精彩！