几何画板制作圆锥曲线的画法.pdf
几何画板课件制作 第二类课件 圆锥曲线的画法 一、由第二定义出发统一构造椭圆、抛物线和双曲线 原理：到定点和定直线的距离之比等于定值 m 的点的轨迹：当 0m1时，轨迹为双曲线。制作过程：1）如图（3）所示：打开一个新画板，画一条竖直的直线 j（定直线）和直线外一点 A（定点）。在直线 j 上取点 C，过点 A，C 作直线 j 的垂线 l,k,点 B，C为垂足。2）取点 C，B 作圆 C1，交直线 k 于 E。3）新建参数 t，并标记比值，让点 E 以 C 为中心，按标记比进行缩放得 E。4）取 C，E作圆 C2，取 CA 的中点 G 和点 C 作圆 C3，交 C2 于 F。5）用直线连接 A，F 交直线 k 于 D，则 AD/CD=CE/CE=1/t。6）选中 C，D 作轨迹，作点 D 关于直线 l 的对称点 D，选中 C，D作轨迹，最后隐藏不必要的对象。说明：（1）在圆 C1 中，CB=CE，在圆 C2 中，CF=CE，在BCF和ADC中，因为CFB=ACD=BAC，CBF=DAC（同弧上的圆周角相等），所以BCF和ADC为相似三角形。则 CB/CF=AD/CD=CE/CE=m=1/t,即定点 A 和定直线 j 距离之比等于定值 m。c3c1lkj0t1时为双曲线。t=1.54运动参数tDFGEEBAC （2）单击 运动参数 t按钮，比值 m 随之改变，这时可以动态地看到，当m 小于 1 的值逐渐变为 1 时，轨迹由椭圆变成抛物线；当 m 大于 1 时，轨迹变成双曲线。二、由第一定义出发，构造椭圆和双曲线及抛物线 原理：椭圆（双曲线）到定点的距离和定直线的距离之和（差）等于定值的点的轨迹；抛物线到定点的距离和定直线的距离相等的点的轨迹。制作过程：1.椭圆（或双曲线）的制作：1211221121,2()()xFxFFMFMMNNF MF NMNABABFF AF B作出平面直角坐标系，在 轴上任取两点作圆 标记圆心的点记为，另一点隐藏。再 轴上任取一点记为（在圆内时并且不与 重合时如图(4)，轨迹为椭圆，在圆外时如图（5），轨迹为双曲线），在圆上任取一点。过、作直线，交圆于另一点。联结、，并且作它们的中垂线，与直线相交于、。即为过焦点 的椭圆 或双曲线 的弦，、就是椭圆或双曲线 的焦半径。2.抛物线的制作：642-2-4-10-55BAEHNOF1F2M642-2-4-5510BAEHNOF1F2M 221,00,2,2,22sinPFPxFyMMFMxNNMPPypxFPPFPQXFPaaFQFFQ）是 轴正向上的自由点 过 的动直线与 轴交于过作的垂线 交 轴于作与 关于对称的点。如图（6）选择点M、P，单击，得点 的轨迹为抛物线 方程为。是它的一条焦半径。说明：设过 的抛物线的焦点弦为。设，则过抛物线焦点的弦长为，这样可以计算出，以 为圆心，以算出的值为半径作圆，可以找Q出点。从而作出抛物线的焦点弦。三、利用参数方程构造椭圆和双曲线 1.作椭圆 原理：利用椭圆参数方程cossinxayb 制作过程：1）如图（7）所示：开一个新画板，画线段 AB，以 A 为圆心，AB 为半径构造大圆 C1。8642-2-4-6-551015jPNOFM 2）构造过点 A与 AB 垂直的直线 k，在直线 k上取一点 C，以 A为圆心，以 AC为半径构造小圆 C2。3）在大圆 C1 上任取一点 D，构造过点 D 和点 A 的直线 l，直线 l 与小圆 C2 交于E。4）构造过 E 与 AB 平行的直线 m。5)构造过 D 与 AB 垂直的直线 n，并构造 m 与 n 的交点 F。6）建立轨迹：同时选中点 D 和点 F，单击 选项，画板显示椭圆，拖动点 A 或点 C，可以改变椭圆的形状。7）除了保留点 A，B，C 和椭圆轨迹外，隐藏其它对象。2.作双曲线 原理：利用双曲线参数方程secxaybtg 制作过程：1）打开一个新画板，单击，建立直角坐标系，标记原点为 A，单位点为 B。2）在 x 轴上取一点 C，按顺序选取 A，C，单击 记为 C1，同样，在 y 轴上取一点 D，构造以 A 为圆心通过点 D 的圆 C2。3）在 C1 上取一点 E（自由点），构造过 A，E 的直线 j。4）构造过 E 和 AE 垂直的直线 k,并构造 k 与横轴的交点 F。同样构造过 F 与 x 轴垂直的直线 l.5）构造 C2 与 x 轴正向的交点 G，并构造过 G 与 x 轴垂直的直线 m,交直线 j 于 H，过 H 与 x 轴平行的直线 o,交直线 l 于 I 点。6）构造轨迹：同时选中点 E 和点 I，单击。隐藏不必要的对象。说明：（1）选中 I 点，单击，再选中 E 点，单击，并把标签改为“双曲线”。隐藏除 I 点和坐标轴的其它对象。单击“双曲642-2-4D-5510omlkjc2c1IHGFABCE线”按钮可动态演示双曲线的形成。如图（8）所示：四、利用在极坐标系下，圆锥曲线的统一方程1cosepe 原理：在极坐标系中，椭圆、抛物线、和双曲线的统一方程为1cosepe：当 0e1时，方程代表双曲线。制作过程：1）打开一个新画板，单击，在打开的“参数选项”对话框中单击“单位”，把角度选为弧度并单击“确定”。2）单击，再单击 图表/隐藏网格，标记原点为 O单位点为 B。如图（9）所示：3）画射线 CD，在 CD 上画一点 E，在极轴的反向延长线上画一点 F。4）度量线段 CE、CD、FO 的长，过 F 作极轴的垂线 k 设p。5）计算 CE/CD，设 CE/CD=e。隐藏 CD、CE 的度量值。6）画单位圆，在单位圆上画一点 G。先选择点 B、G、单位圆，单击，顺序选取点 B、O、G，单击，得BOG的大小，设BOG=。用线段连结 O、G，选中弧 BG 并单击，扇形即被着色。7）计算1cosepe。8）先后选择计算值1cosepe，角度值（注意顺序），并单击，得到的点记为 H。同时选择 G、H，单击，得到方程1cosepe 的曲线。9）选中点 E，单击，弹出如图（10）所示：对话框。修改标签为“运动点 E 得不同的圆锥曲线”。8642241055kjeP1-ecos mBOG=-5.31 厘米mBOG=0.18 弧度e=2.28CECD=2.28P=2.14 厘米FO=2.14 厘米运动点E得不同的圆锥曲线HOCDBEFG 说明：1.拖动 F 可以改变参数 p 的大小。2.单击“运动点 E 得不同的圆锥曲线”，E 点在射线 CD 上运动，当 E 点在 CD之间运动时得椭圆，在 D 点时得抛物线，在 D 右侧得双曲线。五、利用椭圆、抛物线和双曲线的标准方程作曲线 这里只介绍椭圆的作法，抛物线和双曲线同样可以作出。椭圆的制作 原理：由椭圆的标准方程曲线。的图象，最后即得椭圆的图象，然后再作出这样我们先作出可得2222222222,1xaabyxaabyxaabybyax 制作过程：1）打开一个新画板单击，建立直角坐标系。标记原点为A。如图（12）所示：8642-2-5510ba a2-xE212=1.12xE=1.67b=1.40 厘米a=2.78 厘米FFACDE 2）在 x 轴上取一点 C，在 y 轴上取一点 D，然后度量 A、C 两点的距离。选中A、C。单 3）击，同样度量 A，D 两点的距离。分别改标签为 a、b。4）在 x 轴上取一点 E，并度量其横坐标 XE。5）单击，输入如图（11）所示：计算出22Exaab的值，选择xE,计算值22Exaab（注意顺序）单击，得点 F。6）作轨迹：选中E、F，单击，作出上半个椭圆。7）双击 x 轴，这样把 x轴标记为镜面，选中点 F，单击，得到的点为 F。然后选中 E、F，单击，作出下半个椭圆。8）选中上半个椭圆，单击，得如图（13）所示对话框，并把采样数量改为 5000，然后单击“确定”。同样修改下半圆的属性。这样可以使椭圆的图像比较平滑。
