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图表问题大盘点 1/6 图表问题大盘点 河北 张军红 对图表的识别能力是近年高考突出考查的热点，因为当今社会是信息的时代，要求中学生能读懂图形、表格所传递的信息，能熟练进行图表语言与数学语言的相互转化.尽管图表试题的每一个表格、图形都会蕴藏着玄机，但我们只要充分读懂题意，挖掘其内涵，理清其关系，就能得心应手，游刃有余.一、函数中的图表问题 这类试题重点考查学生读取信息的能力，将所得信息合理转化为数学语言以及对函数图象的理解和把握，正确进行文字语言与图象语言的互化.例 1 中华人民共和国个人所得税法规定，公民全月工资、薪金所得不超过 1600元的部分不必纳税，超过1600元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累进计算：全月应纳锐所得额 税率 不超过 500 元的部分 5%超过 500 元至 2000 元的部分 10%超过 2000 元至 5000 元的部分 15%某人一月份应交纳此项税款 26.78 元，则他的当月工资、薪金所得介于（）.（A）16001700 元 （B）17002000 元 （C）20002300 元 （D）23003600 元 解：估算法由 5005%=25 元，10010%=10 元，所以他的当月工资应为 21002200元之间，故选（C）.二、数列中的图表问题 这类试题重点考查对图表的观察能力以及归纳猜想能力.例 2 观察下面的数阵，容易看出，第 n+1 行最右边的一 个数与第 n 行最右边一个数满足11nnaan，则前 20 行 的所有数字和为（）.（）22155 （）2110 （）8400 （）44310 解：根据题中所给信息可判断此数阵共有20(120)2102m个数.这 210 个数之和为210(1210)221552S.三、不等式中的图表问题 这类试题重点考查学生读取信息，并能准确识别、正确理解信息，把信息提取出来，进行合理等价转化的能力.例 3（2006 年北京卷）下图为某三岔路口交通环岛 的简化模型.在某高峰时段，单位时间进出路口 A、B、C 的机动车辆数如图所示，图中123xxx，分别表示该时段 单位时间通过路段AB BC CA，的机动车辆数（假设：单 图表问题大盘点 2/6 位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则（）.（A）123xxx （B）132xxx（C）231xxx （D）312xxx 解：依题意，有13135055xxxx，同理21122030 xxxx，同理3223235305xxxxx，故选（C）.四、三角函数中的图表问题 例 4（2004 年湖北卷理）设()yf t是某港口水的深度 y（米）关于时间 t（时）的函数式，其中 0t24.下表是该港口某一天从 0 时至 24 时记录的时间 t 与水深 y 的关系：t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1 经长期观察，函数()yf t的图象可以近似地看成函数sin()ykAt的图象.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（）.（A）123sin0 24ytt，（B）123sin0 24ytt，（C）123sin0 2412ytt，（D）123sin0 24122ytt，解：观察图表可知，最大值近似为 15，最小值近似为 9，周期为 12 小时，所以 A=3，1206k，故选（A）.五、排列组合中的图表问题 例 5（2001 年全国卷）如图小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标注的数字表示 该网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点 A 向 结点 B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息为_.解析：因为连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，故 BC 段最大信息量是 3，BE 段最大信息量是 4，FG 段最大信息量是 6，BH 段最大信息量是6，而传递的途径只有4条：BCCDADBEEDDA，而每条路径允许通 图表问题大盘点 3/6 过的最大信息量应是一条途径中 3 段中的最小值，如BGCDDA中 BC 能通过的最大信息量为 3，则BCCADA段能通过的最大信息量也只能为 3，以此类推，能从 A 传到 B的最大信息量为 3+4+6+6=19.六、统计中的图表问题 例 6（2005 年浙江卷文）从存放号码分别为 1，2，10 的卡片的盒子中，有放回地取 100 次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到的次数 13 8 5 7 6 13 18 10 11 9 则取到号码为奇数的频率是（）.（A）0.53 （B）0.5 （C）0.47 （D）0.37 解：理解表格中的对应关系（如在取放 100 次后号码 1 共出现 13 次）是解决问题的前提，从表中对应关系可以发现号码为奇数的情况有 1、3、5、7、9，这些号码出现的次数分别为 13、5、6、18、11，故取到号码为奇数的频率是1356 18 110.53100，选（A）.点评：这类试题比较简单，只要仔细观察表中所给的数据信息，根据题目要求，寻找规律和一些等量关系或对应关系，就能顺利解决.图表的解题功能 河南 范长如 解题中作一些辅助性的图表，不仅有帮助思考的作用，而且图表本身常有逻辑结构，能使问题的逻辑关系直观简明地显现出来，并提供程序性操作的机会.特别是当情况较多，关系较复杂时，图形能把四面八方的联系条理化.例 1 小张、小李、小王出生在北京、上海、武汉，他们是歌唱演员、相声演员、舞蹈演员.已知：（1）小王不是歌唱演员，小李不是相声演员；（2）歌唱演员不出生在上海；（3）相声演员出生在北京；（4）小李不出生在武汉.试分别确定他们的出生地和职业.解：将已知条件列在一张表上，由于小李的信息最多，所以应先确定小李的出生地和职业.歌唱 相声 舞蹈 北京 相声 上海 武汉 非李 非王 非李 首先，由“小李不是相声演员”知小李不在第二列，且由“相声演员出生在北京”知小李不在第一行；再由“小李不出生在武汉”知小李也不在第三行.所以小李只能在，两位置.但由“歌唱演员不出生在上海”知第位置不会有人，故得小李只能在第位置上，即小李是出生在上海的舞蹈演员.其次，由“小王不是歌唱演员”知，小王是相声演员，且由“相声演员出生在北京”知职 业 出 生 地 点 图表问题大盘点 4/6 小王出生在北京.最后，小张就是武汉出生的歌唱演员.例（2005 年全国卷）在8(1)(1)xx的展开式中5x的系数是（）.（A）14 （B）14 （C）28 （D）28 解：由5x项的系数分别来自两个二项式的展开式中两项乘积的系数，应为如下表搭配：(1)x 8(1)x 常数项：1 5x的系数：38C x的系数：1 4x的系数：48C 因此，5x项的系数是3488CC14，故选（B）评注：此类题常用表格法，运用乘法分配律对指数进行分配 数学图表型问题分类例析 湖南 刘仲生 图表信息题是高考最具生命力的创新试题，主要考查运用数学知识处理相关知识或实际问题的能力.随着新课程在全国的全面铺开，高考可能会更加关注与生活、生产紧密联系的问题，所以以图表为信息源的问题必将成为今后高考的一大热点.一、新定义型图形问题.例 1 定义 A*B，B*C，C*D，D*B 分别对应下列图形：那么下列图形中 可以表示 A*D，A*C 的分别是（）.（A）（a）、（b）（B）（b）、（c）（C）（b）、（d）（D）（a）、（d）解析：在本题中通过观察图形和寻找规律可发现图形（1）、（2）、（4）中都有大长方形，而在它们的定义中都有 B，故可断定 B 代表大长方形，以此为突破口，可知 A 和 C 都代表直线，而 D 代表小长方形，所以 A*D 应是直线和小长方形组合，A*C 应是两直线组合，故选项为（C）.二、计算推理型表格问题.例 2 将 1，2，3，n，排成下表：1 图表问题大盘点 5/6 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 （1）求此表中第 n 行的最后一个数；（2）求此表中第 n 行的各数之和；（3）2007 是此表中第几行的第几个数？解析：（1）第 n+1 行的第一个数是2n，故第 n 行的最后一个数是21n；（2）设()123f nn ，则(1)()2n nf n，第 n 行的各数是12 21nn，故第 n 行的各数之和为121(21)(21)2(3 21)nnnnff；（3）10111022007221024，因此 2007 是此表中第 11 行的第 984 个数.点评：这类问题要求考生不仅要认真观察表中的数据，更需要对数据进行分析、计算和推理，以及较强的智力参与.三、计算机算法图表问题.例3 对任意函数()f xxD，可按图示构造一个数列发 例4 生器，其工作原理如下：输入数据0 xD，经数列发生器输出10()xf x；若1xD，则数列发生器结束工作；若1xD，则将1x返回输入端，再输出21()xf x，并依此规律继续下去.现定义42()1xf xx.（1）若输入04965x，则由数列发生器产生数列nx，请写出nx的所有项；（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据0 x的值；（3）若输入0 x时，产生的无穷数列nx满足对任意正整数 n 均有1nnxx，求0 x的取值范围.解析：解决本题的关键是应用转化思想将题意转化为数学语言.（1）()f x的定义域(1)(1)D ，数列nx只有三项，1231111195xxx，.（2）42()1xf xxx，即2320 xx，图表问题大盘点 6/6 x=1 或 x=2，即01x 或02x 时，1421nnnnxxxx.故当01x 时，1nx；当02x 时，2()nxnN.（3）解不等式421xxx，得1x 或12x，要使12xx，则11x 或112x，对于函数426()411xf xxx，若11x ，则21322()4()xf xxf xx，若112x，则211()xf xx，且212x.依次类推可得数列nx的所有项均满足1()nnxx nN，综上所述，1(12)x ，由10()xf x，得0(12)x ，.评析：本题主要考查学生的阅读审题，综合理解及逻辑推理的能力.考生易出现以下几种错因：（1）审题后不能理解题意.（2）由题意转化不出数学关系式，如第 2 问.（3）第 3 问不能进行从一般到特殊的转化.