等差数列的性质.pdf

1 第 2 课时 等差数列的性质 课时过关能力提升 基础巩固 1 已知m和 2n的等差中项是4,2m和 n 的等差中项是5,则 m和 n的等差中项是().A.2 B.3 C.6 D.9 解析:由已知可得 m+2n=8,2m+n=10,3(m+n)=18,m+n=6.m和 n 的等差中项是 3.故选 B.答案:B 2 若等差数列an的公差为d,则数列can(c为常数,且 c0)是().A.公差为d的等差数列 B.公差为cd的等差数列 C.不是等差数列 D.以上都不对 解析:设 bn=can,则 bn+1-bn=can+1-can=c(an+1-an)=cd.答案:B 3 已知等差数列an的公差为d(d0),且 a3+a6+a10+a13=32,若 am=8,则 m等于().A.12 B.8 C.6 D.4 解析:a3+a6+a10+a13=(a3+a13)+(a6+a10)=2a8+2a8=4a8=32,a8=8.m=8.答案:B 4 若数列an是等差数列,a15=8,a60=20,则 a75的值为().A.12 B.16 C.24 D.48 解析:an是等差数列,a15,a30,a45,a60,a75成等差数列.设其公差为 D,则 a60=a15+3D,即 D=4,故 a75=a15+4D=8+44=24.答案:C 5 已知数列an是等差数列,若 a1-a5+a9-a13+a17=117,则 a3+a15=.解析:a1-a5+a9-a13+a17=(a1+a17)-(a5+a13)+a9=a9=117,a3+a15=2a9=2117=234.答案:234 6 在数列an中,a1,a12是方程x2 的两根 若 是等差数列 则 2 解析:由题意得 a1+a12 故 a5+a8=a1+a12 答案:7 已知在数列an中,a5=10,a12=31,则其公差d=.解析:d -答案:3 8 在等差数列an中,已知a5=10,a1231,求公差d的取值范围.解设首项为 a1,由题意,可知 解得 d3.所以 d的取值范围是(3,+).9 已知三个数成等差数列,其和为15,首末两项的积为9,求这三个数.解由题意,可设这三个数分别为 a-d,a,a+d,则 解得 或 -所以,当 d=4 时,这三个数为 1,5,9;当 d=-4时,这三个数为 9,5,1.所以这三个数为 1,5,9或 9,5,1.10 已知数列an,an=2n-1,bn=a2n-1.(1)求 bn的通项公式;(2)数列bn是否为等差数列?说明理由.解(1)an=2n-1,bn=a2n-1,bn=a2n-1=2(2n-1)-1=4n-3.(2)bn是等差数列.理由如下:由 bn=4n-3,知当 n 2时,bn-1=4(n-1)-3=4n-7.bn-bn-1=(4n-3)-(4n-7)=4.又 b1=a1=21-1=1,bn是首项 b1=1,公差为 4 的等差数列.能力提升 1 设数列an,bn都是等差数列,且 a1=25,b1=75,a2+b2=100,则 a37+b37等于().A.0 B.37 C.100 D.-37 3 解析:an,bn都是等差数列,数列an+bn也是等差数列,设其公差为 d,则 d=(a2+b2)-(a1+b1)=0.数列an+bn为常数列.a37+b37=a1+b1=100.答案:C 2 在如图所示的表格里,每格填上一个数字后使每一横行和竖列都成等差数列,则 a等于().A.3 B.-3 C.0 D.6 解析:由于第一行成等差数列,则第一行中间数为 又第二列成等差数列,则 4+a=22,a=0.答案:C 3 如果在等差数列an中,a5+a6+a7=15,那么a3+a4+a9等于().A.21 B.30 C.35 D.40 解析:a5+a6+a7=(a5+a7)+a6=2a6+a6=3a6=15,所以 a6=5.所以 a3+a4+a9=(a3+a9)+(a4+a8)+(a5+a7)+a6=7a6=35.答案:C 4 在等差数列an中,a3+a7-a10=8,a11-a4=4,则 a6+a7+a8等于().A.34 B.35 C.36 D.37 解析:由题意得(a3+a7-a10)+(a11-a4)=12,(a3+a11)+a7-(a10+a4)=12.a3+a11=a10+a4,a7=12.a6+a7+a8=3a7=36.答案:C 5 若 a,b,c 成等差数列,则二次函数y=ax2-2bx+c 的图象与x 轴的交点的个数为 .解析:a,b,c成等差数列,2b=a+c.=4b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2 0.4 二次函数 y=ax2-2bx+c的图象与 x 轴的交点个数为 1或 2.答案:1或 2 6 若等差数列an满足a7+a8+a90,a7+a100,3a80,a80.a7+a100,a8+a90,a90.公差 d=a9-a80,等差数列an是递减数列,其前 8项为正项,an的前 8项和最大.答案:8 7 已知在数列an中,a3=3,a7=1,又数列 是等差数列 则 解析:是等差数列,设 bn 则 b3 公差 d -bn=b3 an+1 -答案:-8 已知 成等差数列 且 均为正数 求证 也成等差数列 证明 成等差数列,2ac=ab+bc.-2ac=2ac-2b(a+c),-2ac+a2+c2=2ac-2b(a+c)+a2+c2,(a-c)2=(a+c)(a+c-2b).a-c,a+c,a+c-2b都是正数,2lg(a-c)=lg(a+c)+lg(a+c-2b).lg(a+c),lg(a-c),lg(a+c-2b)成等差数列.9 设数列an是等差数列,bn 且 求通项公式 5 解b1b2b3 又bn a1+a2+a3=3.又an成等差数列,a2=1,a1+a3=2.b1b3 或 或 设等差数列an的公差为 d,当 a1=-1,a3=3 时,d=2,an=-1+2(n-1)=2n-3;当 a1=3,a3=-1 时,d=-2,an=3-2(n-1)=-2n+5.综上所述,an=2n-3或 an=-2n+5.