曲线拟合实验报告-.pdf
曲线拟合实验报告UU89前厅f甘t118YT-UU8数值分析课程设计报告名号级印姓学班耕生生在导学学所指一、课程设计名称里望豆豆j函数逼近与曲线拟合二、课程设计目的及要求实验目的：(1）学会用最小二乘法求拟合数据的多项式，并应用算法于实际问题。(2）学会基本的矩阵运算，注意点乘和叉乘的区别。实验要求：(1）编写程序用最小二乘法求拟合数据的多项式，并求平方误差，做出离散函数（,）和拟合函数的图形；(2）用MATLAB的内部函数polyfit求解上面最小二乘法曲线拟含多项式的系数及平方误差，并用MATLAB的内部函数plot作出其图形，并与(1）结果进行比较。三、课程设计中的算法描述用最小二乘法多项式曲线拟合，根据给定的数据点，并不要求这条曲线精确的经过这些点，而是拟合曲线无限逼近离散点所形成的数据曲线。思路分析：从整体上考虑近似函数囚同所给数据点差巧 p的）yd的大小，常用的方法有三种：一是误差耳 p问）yd绝对值的误差向量的1范数；三是误差平方和1立1;21的算术平方根，即类似于误差向量的2范数。前两种方法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑2范数的平方，此次采用第三种误差分析方案。算法的具体推导过程：1.设拟合多项式为：y。1+2 1+2.给点到这条曲线的距离之和，111偏差平方和：2三-(o+1=1 3.为了求得到符合条件的囚的值，对等式右边求偏导数，因而我们得到了：一2I一（0+1)=0 一2I一（o+1-2 I一（o+1)=0=l 4.将等式左边进行一次简化，然后应该可以得到下面的等式。+J三+三=1=l。三+J二2三+1=l=1=1。三+JI 1+三2=1=l=l 5.把这些等式表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵：n”,11 工X;工xLY;。,LX;工进工x：叶。1L Y;,ak,I:x:L,k+I 三二tLY;，6将这个范德蒙得矩阵化简后得到xk x,ao Y,X2 x1 t Y2 x,x:“k y,.7因为区，那么，计算得到系数矩埠，同时就得到了拟合曲线。四、课程设计内容(1）实验环境：MATLAB2010，、-HLM?据一数h刊1L内HM定？AQ口,“,-nu-i-容一肉？AU-实一)-。u(-,1）用最小二乘法求拟合数据的多项式；2）用MATLAB内部函数polyfit函数进行拟合。(3）实验步骤1）首先根据表格中给定的数据，用MATLAB软件画出数据的散点阁（图。飞JA 2）观察散点图的变化趋势，近似于二次函数。则用二次多项式进行拟合，取一组基函数气1,2，并令f(x)=I 2+2+3，其中是待定系数（k=1,2,3）。3）用MATLAB程序作线性最小二乘法的多项式拟合，求待定系数。算法实现代码如下：x=O ,y=l,R=(x.2)x ones(7,1);A=Ry 4）用MATLAB程序计算平均误差。算法实现代码如下：yl=l ,x=O ,y=x.2+x+1.z=(y-yl).2,sum(z)5）作出拟含曲线和数据图形（图2）。6）用MATLAB的内部函数polyfit求解上面最小二乘法曲线拟含多项式的系数及平方误差。算法实现代码如下：x=O ,y=l,A=polyfit(x,y,2)；%二次多形式拟合%z=polyval(A,x).A d=sum(z-y).2)7）绘制使用polyfit函数实现的拟合图形。（图3)五、程序流程图曲.告，11，.，.卦曲ffi!,J;i,i:H军l百1,合旗fr剑丑￥.，线；菩trJ守、11工沫t叶子引.I,:、JI，垂直。朵也，7,=I仲、t.c,.,v市E口王军L,I、；路，宁性Zl比仙，护EW货m.6,v目E口r:c宁峙，叶，；，-$-*.L，但1rca l,l:,.血，H宫、2、.tht,.f主因5-1用最小二乘法求多项式拟合曲线流程图击各丁h.11，弹U,t但主田E口、c.-.冻t,宫，7,=I.华2.4 4胁2.2 4萨2 4怜1.8*1.6 1.4 1.2 1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 固守l表中数据的散点图1 卖检费量据点的做点图及ti;J.合曲线3 争数据点2.8 卡一一一拟合曲线2.6 2.4 2.2 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 第1问系数为A=阁6-2.最小二乘法实现的拟合曲线则多项式的方程为y=2+1 平方误差和为ans=1 卖检费量据点的做点图及ti;J.合曲线3 争数据点2.8 卡一一一拟合曲线2.6 2.4 2.2 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 第2问系数为A=图6-3.polyfit函数实现的拟合函数则多项式的方程为y=2+1 平方误差和为ans=七、实验结果分析1 编写程序用最小二乘法求拟合曲线的多项式的过程中，求出的数据和拟合函数的平方误差很小，达到了很高的精度要求，以及通过散点求得的拟合曲线比较光滑。而用MATLAB的内部函数求polyfit求解的曲线拟合多项式和平方误差与程序求得的相同，还有就是虽然求解过程简单了，但用MATLAB的内部函数做出的图形由明显的尖点，不够光滑。此次实验数据较少，而且数据基本都是可靠数据。但是在应用实际问题中，数据会很庞杂，此时对于最小为乘法的算法就需要进一步的细化。例如在进行数据采集时，由于数据采集器（各种传感器或机器自身的原因及其外部各种因素的制约，导致数据偶尔会有大幅度的波动，及产生一些偏差极大的数据，不能真实反映数据的可靠性，所以会对数据进行筛选或修正。而此时就可应用曲线拟合的最小二乘法的进行处理。八、实验心得体会在日常的学习和生活中，我们可能会遇到各种方面的跟数据有关的问题，并不是所有的数据都是有用，必须对数掘进行适当的处理，然后找出数据之间的关系，然后进行分析得出结果。此次实验结果基本没有大的区别，可是MATLAB提供给我们一个特别简洁的办法，应用一个函数即可实现相同的结果。虽然很方便，但是对于初学者来说，我觉得打好基础才是关键，对于一个知识点，应该掌握其最基本的原理，然后在将它应用于实际。通过这个实验我也理解到了，数值分析是一个工具学科，它教给了我们分析和解决数值计算问题得方法，使我从中得到很多关于算法的思想，从中受益匪浅。附录：源代码散点图：x=O ;y=l ;plot(x,y,r*)t i t l e（实验数据点的散点图）；legend（数据点（刀，yi），xlabl e(x);y lab l e(y);最小二乘拟合：x=O y=l R=(x.2)xones(7,1).A=Ry xl=O yl=l x=O ;y=x.2+x+1,plot(xl,yl,k+,x,y,r)t itle（实验数据点的散点图及拟合曲线），z=(y-yl).2;sum(z)Polyfit函数拟合：x=O ;y=l ;A=polyfit(x,y,2)；%二次多形式拟合%z=polyval(A,x);A d=sum(z-y).2)plot(x,y,k)t itle（实验数据点的散点图及拟合曲线），hol d on plot(x,z,r)
