高考数学(理)大一轮复习顶层设计教师用书第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第五节古典概型与.pdf

第五节 古典概型与几何概型 2017考纲考题考情 考纲要求 真题举例 命题角度 1.理解古典概型及其概率计算公式；会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率；2.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；3.了解几何概型的意义。2016，全国卷，4,5分(几何概型)2016，全国卷，10,5分(运用模拟方法估计概率)2016，江苏卷，7,5分(古典概型)2016，陕西卷，11,5分(几何概型)2016，福建卷，13,4分(几何概型)1.古典概型主要是借助排列与组合知识求解概率，各种题型都可能涉及；2.几何概型主要是以客观题的形式出现，以面积型、长度型为主，难度较低。微知识 小题练 自|主|排|查 1 古典概型(1)基本事件的特点 任何两个基本事件是互斥的。任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和。(2)古典概型的定义 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型。(3)古典概型的概率公式 P(A)A包含的基本事件的个数基本事件的总数。2 几何概型(1)几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。(2)几何概型的两个基本特点(3)几何的概型的概率公式 P(A)构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积。微点提醒 1 一个试验是不是古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概率模型才是古典概型。2“几何概型”与“古典概型”两者共同点是基本事件的发生是等可能的，不同之处是几何概型的基本事件的个数是无限的，古典概型中基本事件的个数是有限的。小|题|快|练 一、走进教材 1(必修 3P145A 组 T5改编)盒中装有形状、大小完全相同的 5 个球，其中红色球 3 个，黄色球 2 个。若从中随机取出 2 个球，则所取出的 2 个球颜色不同的概率为_。【解析】从 5个球中任取 2个球有 C2510(种)取法，2个球颜色不同的取法有 C13C126(种)，故所求概率为61035。【答案】35 2(必修 3P140练习 T1改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()【解析】如题干选项中各图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为P(A)38，P(B)28，P(C)26，P(D)13。故选 A。【答案】A 二、双基查验 1从 1,2,3,4中任取 2 个不同的数，则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是()A.12B.13 C.14D.16【解析】基本事件的总数为 6，构成“取出的 2 个数之差的绝对值为 2”这个事件的基本事件的个数为 2，所以所求概率P2613，故选 B。【答案】B 2(2016全国卷)某公司的班车在 7：30,8：00,8：30 发车，小明在 7：50 至 8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是()A.13B.12 C.23D.34【解析】由题意得图：由图得等车时间不超过 10 分钟的概率为12。故选 B。【答案】B 3 袋中共有 15个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球，5 个红球。从袋中任取2 个球，所取的 2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球的概率为()A 1 B.1121 C.1021 D.521【解析】从袋中任取 2 个球共有 C215105 种，其中恰好 1 个白球，1 个红球共有 C110C1550 种，所以恰好 1 个白球，1 个红球的概率为501051021。故选 C。【答案】C 4有 5 本不同的书，其中语文书 2 本，数学书 2 本，物理书 1 本，若将其随机地抽取并排摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是_。【解析】语文、数学只有一科的两本书相邻，有 2A22A22A2348种摆放方法；语文、数学两科的两本书都相邻，有 A22A22A3324 种摆放方法；而五本不同的书排成一排总共有 A55120 种摆放方法。故所求概率为 148 2412025。【答案】25 微考点 大课堂 考点一 较简单的古典概型问题【典例 1】甲、乙两人参加法律知识竞答，共有 10 道不同的题目，其中选择题 6 道，判断题 4 道，甲、乙两人依次各抽一题。(1)甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？【解析】甲、乙两人从 10 道题中不放回地各抽一道题，先抽的有 10 种抽法，后抽的有 9 种抽法，故所有可能的抽法是 10990 种，即基本事件总数是 90。(1)记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A，下面求事件A包含的基本事件数：甲抽选择题有 6 种抽法，乙抽判断题有 4 种抽法，所以事件A的基本事件数为 6424。P(A)mn2490415。(2)先考虑问题的对立面：“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的对立事件是“甲、乙两人都未抽到选择题”，即都抽到判断题。记“甲、乙两人都抽到判断题”为事件B，“至少一人抽到选择题”为事件C，则B包含的基本事件数为 4312。由古典概型概率公式，得P(B)1290215。由对立事件的性质可得P(C)1P(B)12151315。【答案】(1)415(2)1315 反思归纳 含有“至多”、“至少”等类型的概率问题，从正面求解比较困难或者比较繁琐时，可考虑其反面，即对立事件，然后应用对立事件的性质P(A)1P(A)进一步求解。【变式训练】(1)(2017广西模拟)从 8 个学生(其中男生和女生人数相等)中任选 3 个作为学校元旦晚会的主持人，则男生甲和女生乙恰好同时入选的概率为()A.528B.956 C.17D.328(2)(2016平顶山调研)某校高二年级有 5 个文科班，每班派 2 名学生参加年级学生会选举，从中选出 4 名学生进入学生会，则这 4 名学生中有且只有两名学生来自同一个班级的概率为_。【解析】(1)PC16C38656328。故选 D。(2)4 名学生中有且只有两名学生来自同一个班级的概率为C15C24C12C12C41012021047。【答案】(1)D(2)47 考点二 较复杂的古典概型问题【典例 2】(2016云南统一检测)某市教育与环保部门联合组织该市中学参加市中学生环保知识团体竞赛，根据比赛规则，某中学选拔出 8名同学组成参赛队，其中初中学部选出的 3 名同学有 2 名女生；高中学部选出的 5 名同学有 3 名女生，竞赛组委会将从这 8 名同学中随机选出 4 人参加比赛。(1)设“选出的 4 人中恰有 2 名女生，而且这 2 名女生来自同一个学部”为事件A，求事件A的概率P(A)；(2)设X为选出的 4 人中女生的人数，求随机变量X的分布列。【解析】(1)由已知，得P(A)C22C23C23C23C48635，即事件A的概率为635。(2)随机变量X的所有可能取值为 1,2,3,4。由已知得P(Xk)Ck5C4 k3C48(k1,2,3,4)。所以随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P 114 37 37 114【答案】(1)635(2)见解析 反思归纳 1.求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解。2 注意区别排列与组合，以及计数原理的正确使用。【变式训练】在某项大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者。(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；(3)求五名志愿者中仅有一人参加A岗位服务的概率。【解析】(1)记“甲、乙两人同时参加A岗位服务”为事件EA，那么P(EA)A33C25A44140，即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是140。(2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件E，那么P(E)A44C25A44110，所以甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P(E)1P(E)910。(3)有两人同时参加A岗位服务的概率P2C25A33C25A4414，所以仅有一人参加A岗位服务的概率P11P234。【答案】(1)140(2)910(3)34 考点三 几何概型多维探究 角度一：长度型几何概型【典例 3】在区间0,2上随机地取一个数x，则事件“1log12x121”发生的概率为()A.34B.23 C.13D.14【解析】由1log12x121，得 log122 log12x12log1212，所以12x122，所以 0 x32。由几何概型可知，事件发生的概率为3202034。【答案】A 角度二：面积型几何概型【典例 4】如图，已知圆的半径为 10，其内接三角形ABC的内角A，B分别为 60和45，现向圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在三角形ABC内的概率为()A.3 316B.3 34 C.43 3D.163 3【解析】由正弦定理BCsinAACsinB2R(R为圆的半径)BC20sin60，AC20sin45 BC10 3，AC10 2。那么SABC1210 3 10 2sin751210 3 10 26 2425(3 3)。于是，豆子落在三角形ABC内的概率PSABC圆的面积 31023 34。【答案】B 角度三：体积型几何概型【典例 5】(2016保定联考)在棱长为 2 的正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中点，在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于 1 的概率为_。【解析】如图，与点O距离等于 1 的轨迹是一个半球面，其体积V11243 1323。事件“点P与点O距离大于 1 的概率”对应的区域体积为 2323，根据几何概型概率公式得，点P与点O距离大于 1 的概率P232323112。【答案】112 反思归纳 求与长度、面积、体积有关的几何概型的概率的基本思路为：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的区域，在图形中画出事件A发生的区域，然后用公式P(A)构成事件A的区域的测度试验的全部结果所组成的区域的测度求出概率。考点四 随机模拟的应用【典例 6】(2016全国卷)从区间0,1随机抽取 2n个数x1，x2，xn，y1，y2，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中两数的平方和小于 1 的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为()A.4nmB.2nm C.4mnD.2mn【解析】设由 0 xn10yn1构成的正方形的面积为S，x2ny2n1 构成的图形的面积为S，所以SS141mn，所以 4mn。故选 C。【答案】C 反思归纳 利用随机模拟试验可以近似计算不规则图形A的面积，解题的依据是根据随机 模 拟 估 计 概 率P(A)随机取的点落在A中的频数随机取点的总次数，然 后 根 据P(A)构成事件A的区域面积随机取点的全部结果构成的区域面积列等式求A的面积。为了方便解题，我们常常设计出一个规则的图形(面积为定值)来表示随机取点的全部结果构成的区域。【变式训练】随机地向半圆 0y90的概率是()A.512B.712 C.13D.12 解析(m，n)(1,1)mnn。基本事件总共有 6636(个)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,4)，(6,1)，(6,5)，共 1 23 45 15(个)。P1536512，故选 A。答案 A 3 如图，矩形长为 6，宽为 4，在矩形内随机地撒 300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为 96 颗，以此试验数据为依据可以估计椭圆的面积为()A 7.68 B 8.68 C 16.32 D 17.32 解析 由随机模拟的思想方法，可得黄豆落在椭圆内的概率为300 963000.68。由几何概型的概率计算公式，可得S椭圆S矩形0.68，而S矩形6424，则S椭圆0.682416.32。故选 C。答案 C 4 用两种不同的颜色给图中三个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则相邻两个矩形涂不同颜色的概率是_。解析 由于只有两种颜色，不妨将其设为 1 和 2，若只用一种颜色有 111；222。若用两种颜色有 122；212；221；211；121；112。所以基本事件共有 8 种。又相邻颜色各不相同的有 2 种，故所求概率为14。答案 14 5 有一个底面圆的半径为 1、高为 2 的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于 1 的概率为_。解析 V圆柱2 ，V半球1243 1323，V半球V圆柱13，故点P到O的距离大于 1 的概率为23。答案 23