高中数学专题练习19几何体中与球有关的切、接问题(新高考地区专用)解析版.pdf
几何体中与球有关的切、接问题 球的截面的性质(1)球的任何截面是圆面；(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面；(3)球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面的半径 r 的关系为 r R2d2 几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为 a，球的半径为 R，若球为正方体的外接球，则 2R 3a；若球为正方体的内切球，则 2Ra；若球与正方体的各棱相切，则 2R 2a.(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a，b，c，外接球的半径为 R，则 2Ra2b2c2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为 31.一、题型选讲 题型一、几何体的外接球 解决多面体的外接球问题，关键是确定球心的位置，方法是先选择多面体中的一面，确定此面外接圆的圆心，再过圆心作垂直此面的垂线，则球心一定在此垂线上，最后根据其他顶点确定球心的准确位置对于特殊的多面体还可采用补成正方体或长方体的方法找到球心位置 例 1、【2020 年高考全国卷理数】已知,A B C为球O的球面上的三个点，1O为ABC的外接圆，若1O的面积为4，1ABBCACOO，则球O的表面积为 A64 B48 C36 D32 例 2、【2020 年高考天津】若棱长为2 3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 A12 B24 C36 D144 例 3、已知边长为 2 的等边三角形ABC，D为BC的中点，以AD为折痕进行折叠，使折后的2BDC，则过A，B，C，D四点的球的表面积为（）A3 B4 C5 D6 例 4、已知四棱锥PABCD的体积是36 3，底面ABCD是正方形，PAB是等边三角形，平面PAB 平面ABCD，则四棱锥PABCD外接球体积为（）A28 21 B99112 C6372 D108 3 例 5、中国古代数学经典九章算术系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA 平面ABCE，四边形ABCD为正方形，5AD，3ED，若鳖臑PADE的外接球的体积为9 2，则阳马PABCD的外接球的表面积等于_.题型二、几何体的内切球 求解多面体的内切球的问题，一般是将多面体分割为以球心为顶点，多面体的各面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各棱锥的体积之和求内切球的半径 例 6、【2020 年高考全国卷理数】已知圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_ 例 7、如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为 1 的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的表面积为_；若该六面体内有一小球，则小球的最大体积为_ 二、达标训练 1、已知正三棱锥SABC的侧棱长为4 3，底面边长为 6，则该正三棱锥外接球的表面积是（）A16 B20 C32 D64 2、【2020 年高考全国 II 卷理数】已知ABC 是面积为9 34的等边三角形，且其顶点都在球 O 的球面上.若球O 的表面积为 16，则 O 到平面 ABC 的距离为 A3 B32 C1 D32 3、【2019 年高考全国卷理数】已知三棱锥 PABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PA=PB=PC，ABC 是边长为 2 的正三角形，E，F 分别是 PA，AB 的中点，CEF=90，则球 O 的体积为 A68 B64 C62 D6 4、【2018 年高考全国卷理数】设ABCD，是同一个半径为 4 的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为9 3，则三棱锥DABC体积的最大值为 A12 3 B18 3 C24 3 D54 3 5、【2020 年新高考全国卷】已知直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的棱长均为 2，BAD=60以1D为球心，5为半径的球面与侧面 BCC1B1的交线长为_ 6、已知三棱锥SABC，SA平面 ABC，6ABC，3SA，1BC，直线 SB 和平面 ABC 所成的角大小为3.若三棱锥SABC的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_.7、如图，在三棱锥 P-ABC 中，,PAABPCBC，,ABBC22,ABBC5PC，则 PA 与平面ABC 所成角的大小为_；三棱锥 P-ABC 外接球的表面积是_.8、已知三棱锥PABC的四个顶点都在球O的表面上，PA 平面ABC，6PA，2 3AB，2AC，4BC，则：（1）球O的表面积为_；（2）若D是BC的中点，过点D作球O的截面，则截面面积的最小值是_ 9、在四面体SABC中，2SASB，且SASB，5BC，3AC，则该四面体体积的最大值为_，该四面体外接球的表面积为_.10、下图是两个腰长均为10cm的等腰直角三角形拼成的一个四边形ABCD，现将四边形ABCD沿BD折成直二面角ABDC，则三棱锥ABCD的外接球的体积为_3cm 几何体中与球有关的切、接问题 球的截面的性质(1)球的任何截面是圆面；(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面；(3)球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面的半径 r 的关系为 r R2d2 几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为 a，球的半径为 R，若球为正方体的外接球，则 2R 3a；若球为正方体的内切球，则 2Ra；若球与正方体的各棱相切，则 2R 2a.(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a，b，c，外接球的半径为 R，则 2Ra2b2c2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为 31.一、题型选讲 题型一、几何体的外接球 解决多面体的外接球问题，关键是确定球心的位置，方法是先选择多面体中的一面，确定此面外接圆的圆心，再过圆心作垂直此面的垂线，则球心一定在此垂线上，最后根据其他顶点确定球心的准确位置对于特殊的多面体还可采用补成正方体或长方体的方法找到球心位置 例 1、【2020 年高考全国卷理数】已知,A B C为球O的球面上的三个点，1O为ABC的外接圆，若1O的面积为4，1ABBCACOO，则球O的表面积为 A64 B48 C36 D32【答案】A【解析】设圆1O半径为r，球的半径为R，依题意，得24,2rr，ABC为等边三角形，由正弦定理可得2 sin602 3ABr，12 3OOAB，根据球的截面性质1OO 平面ABC，222211111,4OOO A ROAOOO AOOr，球O的表面积2464SR.故选：A.本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.例 2、【2020 年高考天津】若棱长为2 3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 A12 B24 C36 D144【答案】C【解析】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即 2222 32 32 332R，所以，这个球的表面积为2244336SR.故选：C 本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.例 3、（2020 届山东省潍坊市高三上学期统考）已知边长为 2 的等边三角形ABC，D为BC的中点，以AD为折痕进行折叠，使折后的2BDC，则过A，B，C，D四点的球的表面积为（）A3 B4 C5 D6【答案】C【解析】边长为 2 的等边三角形ABC，D为BC的中点，以AD为折痕进行折叠，使折后的2BDC，构成以 D 为顶点的三棱锥，且三条侧棱互相垂直，可构造以其为长宽高的长方体，其对角线即为球的直径，三条棱长分别为 1,1，3，所以21 135R ，球面积254()52S，故选 C.例 4、（2020 届山东省日照市高三上期末联考）已知四棱锥PABCD的体积是36 3，底面ABCD是正方形，PAB是等边三角形，平面PAB 平面ABCD，则四棱锥PABCD外接球体积为（）A28 21 B99112 C6372 D108 3【答案】A【解析】设AB的中点为Q，因为PAB是等边三角形，所以PQAB，而平面PAB 平面ABCD，平面PAB 平面ABCDAB，所以PQ 平面ABCD，四棱锥PABCD的体积是36 3，136 33ABABPQ 1336 332ABABAB，所以边长6AB，3 3PQ，设OHx，3 3OMx，2222223 33 2ROAOMAMx，2222223ROPOHPHx，2 3x，2212321R 3428 213VR球.故选：A.例 5、（2020 届山东省德州市高三上期末）中国古代数学经典九章算术系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA 平面ABCE，四边形ABCD为正方形，5AD，3ED，若鳖臑PADE的外接球的体积为9 2，则阳马PABCD的外接球的表面积等于_.【答案】20【解析】四边形ABCD是正方形，ADCD，即ADCE，且5AD，3ED，所以，ADE的外接圆半径为221222AEADEDr，设鳖臑PADE的外接球的半径1R，则3149 23R，解得13 22R.PA 平面ADE，22112PARr，可得22111022PARr，10PA.正方形ABCD的外接圆直径为22210rACAD，2102r，PA 平面ABCD，所以，阳马PABCD的外接球半径222252PARr，因此，阳马PABCD的外接球的表面积为22420R.故答案为：20.题型二、几何体的内切球 求解多面体的内切球的问题，一般是将多面体分割为以球心为顶点，多面体的各面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各棱锥的体积之和求内切球的半径 例 6、【2020 年高考全国卷理数】已知圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_【答案】23【解析】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中2,3BCABAC，且点 M 为 BC 边上的中点，设内切圆的圆心为O，由于22312 2AM，故12 2 22 22S ABC，设内切圆半径为r，则：ABCAOBBOCAOCSSSS111222ABrBCrACr 13322 22r，解得：22r，其体积：34233Vr.故答案为：23.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.例 7、（2020 届山东省潍坊市高三上期中）如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为 1 的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的表面积为_；若该六面体内有一小球，则小球的最大体积为_ 【答案】3 328 6729【解析】（1）因为133 36(1)222S ，所以该六面体的表面积为3 32.（2）由图形的对称性得，小球的体积要达到最大，即球与六个面都相切时，每个三角形面积是34，六面体体积是正四面体的 2 倍，所以六面体体积是26.由于图像的对称性，内部的小球要是体积最大，就是球要和六个面相切，连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥，设球的半径为R，所以21366()6349RR，所以球的体积33446()38 693297VR.故答案为：3 32；8 6729.二、达标训练 1、（2020 届山东省泰安市高三上期末）已知正三棱锥SABC的侧棱长为4 3，底面边长为 6，则该正三棱锥外接球的表面积是（）A16 B20 C32 D64【答案】D【解析】如图所示，因为正三棱锥SABC的侧棱长为4 3，底面边长为 6，则2362 332AE，所以三棱锥的高2222(4 3)(2 3)6SESAAE,又由球心O到四个顶点的距离相等，在直角三角形AOE中，,6AOR OESESOR，又由222OAAEOE，即222(2 3)(6)RR，解得4R，所以球的表面积为2464SR，故选 D.2、【2020 年高考全国 II 卷理数】已知ABC 是面积为9 34的等边三角形，且其顶点都在球 O 的球面上.若球O 的表面积为 16，则 O 到平面 ABC 的距离为 A3 B32 C1 D32【答案】C【解析】设球O的半径为R，则2416R，解得：2R.设ABC外接圆半径为r，边长为a，ABC是面积为9 34的等边三角形，2139 3224a，解得：3a，22229933434ara，球心O到平面ABC的距离224 31dRr.故选：C 本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.3、【2019 年高考全国卷理数】已知三棱锥 PABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PA=PB=PC，ABC 是边长为 2 的正三角形，E，F 分别是 PA，AB 的中点，CEF=90，则球 O 的体积为 A68 B64 C62 D6【答案】D【解析】解法一：,PAPBPCABC为边长为 2 的等边三角形，PABC为正三棱锥，PBAC，又E，F分别为PA，AB的中点，EFPB，EFAC，又EFCE，,CEACCEF平面PAC，PB 平面PAC，2APBPAPBPC，PABC为正方体的一部分，22226R，即36446 6,62338RVR，故选 D 解法二：设2PAPBPCx，,E F分别为,PA AB的中点，EFPB，且12EFPBx，ABC为边长为 2 的等边三角形，3CF，又90CEF，213,2CExAEPAx，AEC中，由余弦定理可得2243cos2 2xxEACx，作PDAC于D，PAPC，D为AC的中点，1cos2ADEACPAx，2243142xxxx，221221222xxx，2PAPBPC，又=2AB BC AC，,PA PB PC两两垂直，22226R，62R，3446 66338VR，故选 D.本题主要考查学生的空间想象能力，补体法解决外接球问题可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决 4、【2018 年高考全国卷理数】设ABCD，是同一个半径为 4 的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为9 3，则三棱锥DABC体积的最大值为 A12 3 B18 3 C24 3 D54 3【答案】B【解析】如图所示，设点 M 为三角形 ABC 的重心，E 为 AC 中点，当点D在平面ABC上的射影为M时，三棱锥DABC的体积最大，此时，4ODOBR，239 34ABCSAB，6AB,点 M 为三角形 ABC 的重心，22 33BMBE，RtOBM中，有222OMOBBM，426DMODOM，max19 3618 33D ABCV，故选 B.5、【2020 年新高考全国卷】已知直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的棱长均为 2，BAD=60以1D为球心，5为半径的球面与侧面 BCC1B1的交线长为_【答案】22.【解析】如图：取11BC的中点为E，1BB的中点为F，1CC的中点为G，因为BAD60，直四棱柱1111ABCDABC D的棱长均为 2，所以111D BC为等边三角形，所以1D E3，111D EBC，又四棱柱1111ABCDABC D为直四棱柱，所以1BB 平面1111DCBA，所以111BBBC，因为1111BBBCB，所以1D E 侧面11BC CB，设P为侧面11BC CB与球面的交线上的点，则1D EEP，因为球的半径为5，13DE，所以2211|532EPD PD E，所以侧面11BC CB与球面的交线上的点到E的距离为2，因为|2EFEG，所以侧面11BC CB与球面的交线是扇形EFG的弧FG，因为114B EFC EG，所以2FEG，所以根据弧长公式可得2222FG.故答案为：22.6、（2020 届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知三棱锥SABC，SA平面 ABC，6ABC，3SA，1BC，直线 SB 和平面 ABC 所成的角大小为3.若三棱锥SABC的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_.【答案】13【解析】如图：SA平面ABC，则SBA为直线 SB 和平面ABC所成的角，即3SBA 在Rt SAB中：333tan3SAAB，如图，设O为三棱锥SABC外接球的球心，G 为ABC外接圆圆心，连结,OA OB GA GB OG，则必有OG面ABC 在ABC，22232cos3 123162ACABBCAB BC ，则1AC 其外接圆半径122,1sinsin6ACrrABC，又1322OGSA，所以三棱锥SABC外接球半径为22913142ROGr 该球的表面积为21344134SR,故答案为：13.7、（2020 届山东省枣庄、滕州市高三上期末）如图，在三棱锥 P-ABC 中，,PAABPCBC，,ABBC22,ABBC5PC，则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为_；三棱锥 P-ABC 外接球的表面积是_.【答案】456【解析】如图，作平行四边形ABCD，连接PD，由ABBC，则平行四边形ABCD是矩形 由BCCD，BCPC，PCCDC，BC 平面PCD，而PD 平面PCD，BCPD，同理可得ABPD，又ABBCB，PD 平面ABCD,PDCD PDAD，PAD是 PA 与平面 ABC 所成角 由2,5CDABPC得1PD，又1ADBC，45PAD PA 与平面 ABC 所成角是45 由,PAABPCBC知PB的中点到,A B C P的距离相等，PB是三棱锥 P-ABC 外接球的直径 由BC 平面PCD得BCPC，2222(5)16PBPCBC，24()62PBS 故答案为：45；6 8、（2020 届山东省烟台市高三上期末）已知三棱锥PABC的四个顶点都在球O的表面上，PA 平面ABC，6PA，2 3AB，2AC，4BC，则：（1）球O的表面积为_；（2）若D是BC的中点，过点D作球O的截面，则截面面积的最小值是_【答案】524【解析】（1）由题,根据勾股定理可得ACAB,则可将三棱锥PABC可放入以,AP AC AB为长方体的长,宽,高的长方体中,则体对角线为外接球直径,即2222262 32 13r+,则13r,所以球的表面积为22441352r；（2）由题,因为Rt ABC,所以D为底面ABC的外接圆圆心,当DO 截面时,截面面积最小,即截面为平面ABC,则外接圆半径为2,故截面面积为224 故答案为：（1）52；（2）4 9、（2020 届山东省滨州市高三上期末）在四面体SABC中，2SASB，且SASB，5BC，3AC，则该四面体体积的最大值为_，该四面体外接球的表面积为_.【答案】3068【解析】因为2SASB，且SASB，5BC，3AC，所以22 2ABSA，因此222BCACAB，则ACBC；取AB中点为O，连接OS，OC，则2OAOBOCOS，所以该四面体的外接球的球心为O，半径为2OC，所以该四面体外接球的表面积为24(2)8S；又因为SASB，所以SOAB；因为底面三角形ABC的面积为定值11522AC BC，SO的长也为确定的值2，因此，当SO 平面ABC时，四面体的体积最大，为13036ABCVSSO.故答案为：(1).306 (2).8 10、（2020 届山东省济宁市高三上期末）下图是两个腰长均为10cm的等腰直角三角形拼成的一个四边形ABCD，现将四边形ABCD沿BD折成直二面角ABDC，则三棱锥ABCD的外接球的体积为_3cm 【答案】500 3【解析】由题设可将该三棱锥拓展成如图所示的正方体，则该正方体的外接球就是三棱锥的外接球，由于正方体的对角线长为210 3lR，即球的半径5 3R，该球的体积34500 33VR，应填答案500 3
