小学奥数猫吃老鼠问题(约瑟夫问题)演练.pdf

猫吃老鼠(约瑟夫问题)问题 第一章 一条直线 有一天，Tom 抓了 100 只老鼠，很不幸，Jerry 也在其中。Tom 决定把老鼠排成一条直线，从 1 到 100 号编了号，从 1 号开始，吃一个隔一个，从排头吃到排尾，下一轮继续从排头开始，直到只剩下最后一个的时候就放掉。那么 Jerry 该站到哪个位置，才能保证不被 Tom 吃掉呢 练习一下：现在 Tom 抓了 2000 只老鼠，还是排成一排，从 1 号开始，吃一个隔一个，这样吃下去，那么最后剩下的老鼠的编号是多少 拓展一下：现在 Tom 又抓了 100 只老鼠排成一排，很不幸，这次 Jerry 又被抓住了，这次 Tom决定从 1 号开始，吃两个隔一个，这样吃下去，直到剩下的老鼠不足 3 个，那么这次 Jerry该站在哪里呢 实战应用：（第 14 届华杯赛决赛第 3 题）思考：假设 S 只老鼠排成一排，Tom 从 1 号开始，吃 m 个隔 n 个，这样循环吃下去，直到剩下的老鼠不到 m+n 个，那么剩下的老鼠的编号是多少 第二章 一个圆圈 又有一天，Tom 又抓了 100 只老鼠，很不幸，Jerry 又被抓住了。这一次，Tom 决定把老鼠排成一个圆，从 1 到 100 号编了号，从 1 号开始，隔一个吃一个，一圈一圈的吃下去，直到只剩下最后一个的时候就放掉。那么这一次，Jerry 该站到哪个位置，才能保证不被 Tom 吃掉呢 拓展一下：Tom 抓了 99 只老鼠，这一次，Tom 决定把老鼠排成一个圆，从 1 到 99 号编了号，从 1 号开始，隔一个吃两个，一圈一圈的吃下去，直到只剩下最后一个的时候就放掉。那么这一次，最后哪只老鼠是幸运儿呢 思考：如果 Tom 抓了 100 只老鼠，从 1 号开始，隔一个吃两个，一圈一圈的吃下去，最后剩下的会是几号呢（注意：这时候，Tom 无法在吃掉 2n 只老鼠后，剩下 3m只老鼠）终极拓展：（第 15 届少年数学邀请赛赛前教程第二章）圆周上放置有 2009 枚，按顺时针编号为 1、2、32008 和 2009，首先取走 2 号棋子，然后按顺时针方向，每隔 2 枚棋子就取走 1 枚棋子，直到圆周上仅仅剩下 2 枚棋子为止。问：剩下 2 枚棋子的编号各是多少 实战应用一：（第 12 届华杯赛总决赛二试第 6 题）圆周上放置有 3000 枚棋子，按顺时针依次编号为 1、2、3、2999、3000。首先取走 3 号棋子，然后按顺时针方向，每隔 2枚棋子就取走 1 枚棋子，直到 1 号棋子被取走为止。问：此时，（1）圆周上还有多少枚棋子（2）在圆周剩下的棋子中，从编号最小一枚棋子开始数，第 181 枚棋子的编号是多少 实战应用二：（第 6 届华杯赛总决赛二试第 4 题）圆周上放有 N 枚棋子，如图所示，B 点的一枚棋子紧邻 A 点的棋子。小洪首先拿走 B 点处 1 枚棋子，然后顺时针每隔 1 枚拿走 2 枚棋子，连续转了 10 周，9 次越过 A。当将要 10 次越过 A 处棋子取走其它棋子时，小洪发现圆周上余下 20 多枚棋子。若 N 是 14 的倍数，请帮助小洪精确计算一下圆周上还有多少枚棋子 练习（第 3 届华杯赛总决赛一试第 6 题）在一个圆周上放了 1 枚黑色的和 1990 枚白色的围棋子，一个同学进行这样的操作：从黑子开始，按顺时针方向，每隔一枚，取走一枚。当他取到黑子时，圆周上还剩下多少枚白子