小学数学奥数基础教程(五年级)23.pdf

小学数学奥数基础教程(五年级)本教程共 30 讲 列方程解应用题 有些数量关系比较复杂的应用题，用算术方法求解比较困难。此时，如果能恰当地假设一个未知量为x（或其它字母），并能用两种方式表示同一个量，其中至少有一种方式含有未知数 x，那么就得到一个含有未知数 x 的等式，即方程。利用列方程求解应用题，数量关系清晰、解法简洁，应当熟练掌握。例 1 商店有胶鞋、布鞋共 46 双，胶鞋每双 7.5 元，布鞋每双 5.9 元，全部卖出后，胶鞋比布鞋多收入 10 元。问：胶鞋有多少双？分析：此题几个数量之间的关系不容易看出来，用方程法却能清楚地把它们的关系表达出来。设胶鞋有 x 双，则布鞋有（46-x）双。胶鞋销售收入为 7.5x 元，布鞋销售收入为 5.9（46-x）元，根据胶鞋比布鞋多收入 10 元可列出方程。解：设有胶鞋 x 双，则有布鞋（46-x）双。7.5x-5.9（46-x）=10，7.5x-271.4+5.9x=10，13.4x=281.4，x=21。答：胶鞋有 21 双。分析：因为题目条件中黄球、蓝球个数都是与红球个数进行比较，所以 答：袋中共有 74 个球。在例 1 中，求胶鞋有多少双，我们设胶鞋有 x 双；在例 2 中，求袋中共有多少个球，我们设红球有 x 个，求出红球个数后，再求共有多少个球。像例 1 那样，直接设题目所求的未知数为 x，即求什么设什么，这种方法叫直接设元法；像例 2 那样，为解题方便，不直接设题目所求的未知数，而间接设题目中另外一个未知数为x，这种方法叫间接设元法。具体采用哪种方法，要看哪种方法简便。在小学阶段，大多数题目可以使用直接设元法。例 3 某建筑公司有红、灰两种颜色的砖，红砖量是灰砖量的 2 倍，计划修建住宅若干座。若每座住宅使用红砖 80 米3，灰砖 30 米3，那么，红砖缺 40 米3，灰砖剩 40 米3。问：计划修建住宅多少座？分析与解一：用直接设元法。设计划修建住宅 x 座，则红砖有（80 x-40）米3，灰砖有（30 x+40）米3。根据红砖量是灰砖量的 2 倍，列出方程 80 x-40=（30 x+40）2，80 x-40=60 x+80，20 x=120，x=6（座）。分析与解二：用间接设元法。设有灰砖 x 米3，则红砖有 2x 米3。根据修建住宅的座数，列出方程。（x-40）80=（2x+40）30，80 x-3200=60 x+1200，20 x=4400，x=220（米3）。由灰砖有 220 米3，推知修建住宅（220-40）30=6（座）。同理，也可设有红砖 x 米3。留给同学们做练习。例 4 教室里有若干学生，走了 10 个女生后，男生是女生人数的 2 倍，又走了 9 个男生后，女生是男生人数的 5 倍。问：最初有多少个女生？分析与解：设最初有 x 个女生，则男生最初有（x-10）2 个。根据走了 10 个女生、9 个男生后，女生是男生人数的 5 倍，可列方程 x-10=（x-10）2-95，x-10=（2x-29）5，x-10=10 x-145，9x=135，x=15（个）。例 5 一群学生进行篮球投篮测验，每人投 10 次，按每人进球数统计的部分情况如下表：还知道至少投进 3 个球的人平均投进 6 个球，投进不到 8 个球的人平均投进 3 个球。问：共有多少人参加测验？分析与解：设有 x 人参加测验。由上表看出，至少投进 3 个球的有（x-7-5-4）人，投进不到 8 个球的有（x-3-4-1）人。投中的总球数，既等于进球数不到 3 个的人的进球数加上至少投进 3 个球的人的进球数，0 7+15+24+6（x-7-5-4）=5+8+6（x-16）=6x-83，也等于进球数不到8个的人的进球数加上至少投进8个球的人的进球数，3（x-3-4-1）+83+94+101，=3（x-8）+24+36+10 =3x+46。由此可得方程 6x-83=3x+46，3x=129，x=43（人）。例 6 甲、乙、丙三人同乘汽车到外地旅行，三人所带行李的重量都超过了可免费携带行李的重量，需另付行李费，三人共付 4 元，而三人行李共重 150 千克。如果一个人带 150 千克的行李，除免费部分外，应另付行李费 8 元。求每人可免费携带的行李重量。分析与解：设每人可免费携带 x 千克行李。一方面，三人可免费携带3x 千克行李，三人携带 150 千克行李超重（150-3x）千克，超重行李每千克应付 4（150-3x）元；另一方面，一人携带 150 千克行李超重（150-x）千克，超重行李每千克应付 8（150-x）元。根据超重行李每千克应付的钱数，可列方程 4（150-3x）=8（150-x），4（150-x）=8（150-3x），600-4x=1200-24x，20 x=600，x=30（千克）。练习 23 还剩 60 元。问：甲、乙二人各有存款多少元？有多少溶液？3.大、小两个水池都未注满水。若从小池抽水将大池注满，则小池还剩 5 吨水；若从大池抽水将小池注满，则大池还剩 30 吨水。已知大池容积是小池的 1.5倍，问：两池中共有多少吨水？4.一群小朋友去春游，男孩每人戴一顶黄帽，女孩每人戴一顶红帽。在每个男孩看来，黄帽子比红帽子多 5 顶；在每个女孩看来，黄帽子是红帽子的 2 倍。问：男孩、女孩各有多少人？5.教室里有若干学生，走了 10 个女生后，男生人数是女生的 1.5倍，又走了 10 个女生后，男生人数是女生的 4 倍。问：教室里原有多少个学生？含金多少克？7.一位牧羊人赶着一群羊去放牧，跑出一只公羊后，他数了数羊的只数，发现剩下的羊中，公羊与母羊的只数比是 9 7；过了一会跑走的公羊又回到了羊群，却又跑走了一只母羊，牧羊人又数了数羊的只数，发现公羊与母羊的只数比是 7 5。这群羊原来有多少只？练习 23 1.甲 72 元，乙 28 元。提示：设甲有存款x 元，可得方程 2.甲 1600克，乙 1000克。提示：设甲容器原有x 克，可得方程 3.80吨。解：设小池注满水为 x 吨，则大池注满水为 1.5x 吨。由两池共有水量，可列方程 1.5x+5=x+30。解得=50。两池共有水 50+30=80（吨）。4.14 个男孩，8 个女孩。提示：设有 x 个男孩。因为每个人看不到自己的帽子，根据男孩看的情况，有女孩（x-5-1）个。再根据女孩看的情况，可列方程 x=（x-5-l）-12。5.50个。解：设原有女生 x 个。根据男生人数可列方程（x-10）1.5=（x-20）4。解得 x=26。男生有（26-20）4=24（个），共有学生 26+24=50（个）。6.380克。解：设含金 x 克，则含银（500-x）克。根据减轻的重量可列方程 解得 x=380（克）。7.49只。解：设这群羊原有 x 只。由原有公羊只数可得方程