最短路径问题.pdf
一、复习回顾 1.提问：我们学习了几种“距离”？学生回答：两种，一种“点到点”的距离，一种“点到线的距离”。2.提问：在第 1 问的基础上，我们相应地学习了几种“最短”？学生回答：两种，一种“两点之间，线段最短”，一种“垂线段最短”。3.引入：我们今天就来归纳一下“最短路径问题”二、课题讲授（一）两点一线型（轴对称）“将军饮马”问题 1：已知：如图，在直线上 l 上找一点 P。使得 AP+BP值最小。解析:作图：连接点 A、点 B 与直线 l 相交于一点，则该点即为点 P。原理：两点之间线段最短。结论：AP+BP值最小为 AB。【提问】：你可以给这个模型赋予一个实际意义吗？比如我们的“将军饮马”问题？学生回答：古时候有位将军，每天都要从军营 A，经过一条笔直的小河 l 回到家 B。而将军的马每天要到河边喝水，问题：怎样走才能使总路程最短呢？【教师追问】：按照大家赋予的实际意义，如果将军的家搬到了河对岸，结果又会怎么？问题 2：已知：如图，在直线上 l 上找一点 P。使得 AP+BP值最小。解析:作图：作点 B 关于直线 l 的对称点 B，连接点 A、点 B与直线 l 相交 于一点，则该点即为点 P。原理：两点之间线段最短。结论：AP+BP值最小为 AB。【渗透数学思想】：解决问题 2 时，是将问题 2 转换成问题 1.两者区别在于一个是两点在直线的异侧，一个是两点在直线的同侧，所以通过轴对称的知识将“同侧”的两点转化成“异侧”两点问题得以解决，其中运用了转化的数学思想。【总结归纳】：归纳两点一线型的做法。【练习巩固】：解析：建立数学模型，明确“两点”，再明确“一线”；最后明确“两点”和 “一线”的位置关系：同侧或异侧。师生活动:学生分析解题思路,并相互补充,然后独立完成画图。其基本思路 为:由于两点之间线段最短,所以首先可连接 PQ,线段 PQ 为旅游船 最短路径中的必经线路.将河岸抽象为一条直线 BC,这样问题就转 化为“点 P,Q在直线 BC 的同侧,如何在 BC 找到一点 R,使 PR 与 QR 的和最小”如图,一个旅游船从大桥 AB 的 P 处前往山脚下的 Q处接游客,然后将游客送往河岸 BC 上,再回到 P处,请画出旅游船的最短路径。（二）两线一点（两点）型（轴对称）问题 3：延续前两个问题，将军从营地 A 出发，先要到草地边缘 l1牧马，再 到河边 l2饮马，再回到营地 A，请求出最短路径。建立数学模型:在直线 l1、l2上分别找到点 M、N，使得ANM 的周长最短。解析:作图：分别作点 A 关于直线 l1、l2的对称点 A、A ，连接点 A、A ，与直线 l1、l2分别相交，交点即为点 M、点 N.原理：两点之间线段最短。结论：AM+AN+NM值最小为 AA 。问题 4：将军从营地 A 出发，先要到草地边缘 l1牧马，再到河边 l2饮马，再 回到家 B，最后返回营地 A,请求出最短路径。建立数学模型:在直线 l1、l2上分别找到点 M、N，使得四边形 AMNB 的周长 最短。解析:作图：分别作点 A 关于直线 l1、点 B 关于直线 l2的对称点 A、B，连 接点 A、B，与直线 l1、l2分别相交，交点即为点 M、点 N。原理：两点之间线段最短。结论：AB+BN+NM+MA 的最小值为 AB+AB。【总结归纳】：归纳两线一点（两点）型的做法。【练习巩固】：（三）平移+轴对称“造桥选址”问题 5：如图,A 和 B 两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥 MN.桥造在何 处可使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥 要与河垂直)建立数学模型：已知 l1l2，在 l1、l2上分别求点 M、点 N，使得 MNl1，且 AM+MN+NB 的值最小。解析:作图：将点 A 向下平移 MN 个单位长度得到 A，连接 AB 与 l2相交于 于点 N，过点 N 作 MNl1，交 l1于点 M。原理：两点之间线段最短。结论：AM+MN+NB 的最小值为 AB+MN。【反思】：该问题与问题 1 相近，区别在于“河的宽度”，处理方法“平移”。如图,牧马人从 A 地出发,先到草地边某一处牧马,再到河边饮马,然后回到 B 处,请画出最短路径。问题 6：在直线 l 上求两点 M、N（M 在 N 的左侧），使得 MN=a（a 为定值），并使 AM+MN+NB 的值最小。解析:作图：将点 A 向右平移 a 个单位长度得 A,作 A 关于 l 的对称点 A ，连接 A B,交直线 l 于点 N,将 N 点向左平移 a 个单位得 M。原理：两点之间线段最短。结论：AM+MN+NB 的最小值为 A B+MN。【反思】：该问题与问题相近，区别在于的长度，处理方法“平移”。【总结归纳】：“造桥选址”的做法。【练习巩固】：（四）利用“垂线段最短”问题 7：在 l1上求点 A，在 l2上求点 B，使得 PA+AB 的值最小。荆州护城河在 CC 处直角转弯,河宽相等,从 A 处到达 B 处,需经过两座桥 DD、EE,护城河及两桥都是东西、南北方向,桥与 河岸垂直.如何确定两座桥的位置,可使A到 B 点路径最短?解析:作图：作点 P 关于 l1对称点 P，作 PBl2于 B,交 l2于 A。原理：垂线段最短。结论：PA+AB 的最小值为 PB。三、聚焦中考【最短路径与函数】1.(2016 包头)如图,直线 y=32x+4 与 x 轴,y 轴分别交于点 A 和点 B,点 C,D 分别为线段 AB,OB 的中点,点 P 为 OA 上一动点,PC+PD 的值最小时点 P 的坐标为（）A.(-3,0)B.(-6,0)C.（-23，0）D.（-25，0）解析：作点 D 关于 x 轴的对称点 D,连接 CD交 x 轴于点 P,此时 PC+PD 值最 小,如图所示 在 y=32x+4 中,令 x=0,则 y=4,点 B 的坐标为(0,4)在 y=32x+4 中,令 y=0,则32x+4=0 解得 x=-6 点 A 的坐标为(-6,0)点 C,D 分别为线段 AB,OB 的中点，点 C(-3,2),点 D(0,2)点 D和点 D 关于 x 轴对称，点 D的坐标为(0,-2)。设直线 CD的表达式为 y=kx+b 直线 CD过点 C(-3,2),D(0,-2）2bk3-2-b34-k-2b 解得 2.（2016 内江)如图所示,已知点C(1,0),直线y=-x+7与两坐标轴分别交于A,B两点,D,E 分别是 AB,OA 上的动点,则CDE 周长的最小值是多少？解析：点 C 关于 OA 的对称点 C(-1,0),点 C 关于直线 AB 的对称点 C(7,6),连接 CC与 AO 交于点 E,与 AB 交于点 D 此时DEC 周长最小 DEC 的周长=DE+EC+CD=EC+ED+DC =CC=10 【最短路径与几何图形】3.（2013.钦州）如图,在正方形 ABCD 中,E 是 AB 上一点,BE=2,AE=3BE,P 是AC 上一动点,则 PB+PE 的最小值是 。4.如图,在边长为 2 的等边 ABC 中,D 为 BC 的中点,E 是 AC 边上一点,则 BE+DE 的最小值是多少？解析：如图，连接 DE，交 AC 于 P，连接 BP，则此时 PB+PE 的值最小 四边形 ABCD 是正方形，B、D 关于 AC 对称，PB=PD，PB+PE=PD+PE=DE BE=2，AE=3BE，AE=6，AB=8，DE=2286=10 故 PB+PE 的最小值是 10 解析：作 B 关于 AC 的对称点 B,连接 BB、BD,交 AC 于 E,此时 BE+ED=BE+ED=BD,根据两点之间线段最短可知 BD 就是 BE+ED 的最小值。B、B关于 AC 对称,AC,BB互相垂直平分,四边形 ABCB是平行四边形 ABC 是边长为 2 的等边三角形,D 为 BC 的中点,ADBC,AD=3，BD=CD=1,BB=2AD=23 作 GBBC 的延长线于 G BG=AD=3 在 Rt BBG 中,BG=3 DG=BG-BD=3-1=2.在 R BDG 中,BD=7 故 BE+ED 的最小值为7。5.如图,钝角三角形 ABC 的面积为 15,最长边 AB=10,BD 平分ABC,点 M,N 分别是 BD,BC 上的动点,则 CM+MN 的最小值为多少？解:过点 C 作 CEAB 于点 E,交 BD 于点 M，过点 M 作 MNBC 于 N,BD 平分ABC,MEAB 于点 E,MNBC 于 N，MN=ME CE=CM+ME=CM+MN 的最小值 三角形 ABC 的面积为 15,AB=10 2110CE=15 CE=3 即 CM+MN 的最小值为 3
