浙教版七年级数学下册平行线讲义.pdf
第二讲 平行线的性质及平移 思维导图 重难点分析 重点分析：1.平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补.2.平移的概念：一个图形沿着某个方向运动，在移动过程中，原图形上的每一个点都沿着同一个方向移动相等的距离，这样的图形运动叫做图形的平移.3.平移的性质：平移不改变图形的形状和大小，一个图形和它经过平移所得到的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等.难点分析：1.注意平行的性质与判定的区别与联系：区别是条件与结论不同，联系是条件与结论互换位置；性质是由平行线得到角的关系，判定是由角的关系得到平行线.2.确定平移有两个要素：一是平移的方向；二是平移的距离.3.连结平移前后两个图形的对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等，注意一定要对应点相连，连线的平行是指它们的位置关系，相等是指它们的数量关系.例题精析 例 1、如图，把边长为 2 的正方形的局部进行图 1图 4 的变换，拼成图 5，则图 5 的面积是（）.A.18 B.16 C.12 D.8 思路点拨：根据平移的基本性质，平移不改变图形的形状和大小，即图形平移后面积不变，则图 5 的面积可求.解题过程：一个正方形的面积为 4，而把一个正方形从图 1图 4 进行变换，面积并没有改变，图 5 由 4 个图 4 构成，故图 5 的面积为 44=16.故选 B.方法归纳：本题考查图形拼接与平移的变换.解决本题的关键是要知道平移不改变图形的形状和大小，即面积没有改变.易错误区：图 5 由 4 个图 4 构成，没有多也没有少，本题易误认为图 5 有残缺.例 2、如图，CDAB 于点 D，EFAB 于点 F，DGC=105，BCG=75.试说明1+2=180.思路点拨：由DGC=105，BCG=75，得出DGC+BCG=180，判定 DGBC，得出1=DCB，由 CDAB，EFAB，判定 CDEF，得出DCB+2=180，等量代换即可.解题过程：DGC=105，BCG=75，DGC+BCG=180.DGBC（同旁内角互补，两直线平行）.1=DCB（两直线平行，内错角相等）.CDAB，EFAB，CDEF（在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行）.DCB+2=180（两直线平行，同旁内角互补）.1+2=180（等量代换）.方法归纳：本题考查了平行线的判定与性质，解答本题的关键是平行线的性质与判定定理的正确运用.易错误区：注意平行线的判定与性质的区别，填写理由时不要填错.例 3、某学校准备在升旗台的台阶上铺设一种红色的地毯（含台阶的最上层），已知这种地毯的批发价为每平方米 40 元，升旗台的台阶宽为 3 米，其侧面如图所示.请你帮助测算一下，买地毯至少需要多少元？思路点拨：根据题意，结合图形，先把楼梯的横、竖分别向上向左（右）平移，构成一个长方形，先求得地毯的长度再求其面积，则购买地毯的钱数可求.解题过程：如图，利用平移线段，把楼梯的横竖分别向上向左（右）平移，构成一个长方形，长宽分别为 6.4m，3.8m.地毯的长度为 6.4+3.8+3.8=14（m），地毯的面积为 143=42（m2）.买地毯至少需要 4240=1680（元）.方法归纳：本题考查了平移的性质，属于基础应用题，解答本题的关键是要利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算.易错误区：地毯面积等于地毯长度乘以台阶宽度，注意计算时不能将地毯长度误作面积.例 4、珠江流域某江段江水流向经过 B，C，D 三点拐弯后与原来相同，如图，若ABC=120，BCD=80，求CDE 的度数.思路点拨：由已知可得 ABDE，过点 C 作 CFAB，则 CFDE.由平行线的性质可得BCF+ABC=180，所以能求出BCF，继而求出DCF.又由 CFDE，所以CDE=DCF.解题过程：如图，过点 C 作 CFAB.珠江流域某江段江水流向经过 B，C，D 三点拐弯后与原来相同，ABDE.CFDE.BCF+ABC=180.ABC=120,BCF=60.又BCD=80,DCF=BCD-BCF=20.CDE=DCF=20.方法归纳：本题考查的知识点是平行线的性质，关键是过点 C 先作 AB 的平行线，由平行线的性质求解.易错误区：作辅助线只能作其中一条直线的平行线，然后利用传递性说明三条直线平行，不能出现过点 C 作 CFABDE 的错误.例 5、已知直线 l1l2，点 A 是 l1上的动点，点 B 在 l1上，点 C，D 在 l2上，ABC，ADC 的平分线交于点 E（不与点 B，D 重合）.（1）若点 A 在点 B 的左侧，ABC=80，ADC=60，过点 E 作 EFl1，如图 1，求BED 的度数；（2）若点 A 在点 B 的左侧，ABC=，ADC=60，如图 2，求BED 的度数（直接写出计算结果）；（3）若点 A 在点 B 的右侧，ABC=，ADC=60，如图 3，求BED 的度数.图 1 图 2 图 3 思路点拨：（1）由平行线的性质得出BEF=ABE，同理可得出DEF=CDE，再由BED=BEF+DEF 即可得出结论；（2）过点 E 作 EFAB，同（1）可求BED 的度；（3）过点 E 作 EFl1，根据 BE，DE 分别是ABC，ADC 的平分线可知ABE=21ABC=21，CDE=21ADC，再由EF l1可 知 BEF=(180-21).易 知EFl2，故 DEF=CDE=30，所 以BED=BEF+DEF.解题过程：（1）BE，DE 分别是ABC，ADC 的平分线，ABE=21ABC=2180=40，CDE=21ADC=2160=30.EFl1，BEF=ABE=40(两直线平行，内错角相等).l1l2,EFl2.DEF=CDE=30(两直线平行，内错角相等).BED=BEF+DEF=40+30=70.图 4（2）过点 E 作 EFl1,如图 4.BE，DE 分别是ABC，ADC 的平分线，ABE=21ABC=21，CDE=21ADC=2160=30.EFl1，BEF=ABE=12.l1l2，EFl2.DEF=CDE=30(两直线平行，内错角相等).BED=BEF+DEF=21+30，即BED=(21+30).图 5（3）过点 E 作 EFl1，如图 5.BE，DE 分别是ABC，ADC 的平分线，ABE=21ABC=21，CDE=21ADC=2160=30.EFl1，BEF=(180-21).又l1l2,EFl2.DEF=CDE=30.BED=BEF+DEF=(180-21+30)=(210-21).方法归纳：本题考查的是平行线的性质，根据题意作出平行线，再由平行线的性质得到角之间的倍分关系和和差关系，从而可得出结论.易错误区：图中角与角之间的关系比较复杂，要注意区别，特别是第（3）题需要通过添平行线将问题转化为“三线八角”下的角度关系.探究提升：例、探究：（1）如图 1，若 ABCD，则B+D=E，你能说明为什么吗？（2）反之，若B+D=E，直线 AB 与 CD 有什么位置关系？请证明；（3）若将点 E 移至如图 2 所示位置，此时B，D，E 之间有什么关系？请证明；（4）若将点 E 移至如图 3 所示位置，情况又如何？（5）如图 4，ABCD，E+G 与B+F+D 又有何关系？（6）如图 5，若 ABCD，又得到什么结论？图 1 图 2 图 3 图 4 图 5 思路点拨：已知 ABCD，连结 AB，CD 的折线内折或外折、或改变点 E 的位置、或增加折线的条数，通过适当地改变其中的一个条件，就能得出新的结论，给我们创造性的思考留下了极大的空间.解题的关键是过点 E 或点 F 作 AB（或 CD）的平行线，把复杂的图形化归为基本图形中.解题过程：（1）过点 E 作 EFAB，如图 6，则B=BEF.ABCD，EFCD.D=DEF.BED=BEF+DEF=B+D.图 6 图 7 图 8 图 9（2）如图 6，若B+D=BED，由 EFAB 可得B=BEF.BED=BEF+DEF=B+D，D=DEF.EFCD.ABCD.（3）若将点 E 移至如图 2 所示位置，过点 E 作 EFAB，如图 7.ABCD,EFCD.D+DEF=180，B+BEF180.BED+B+D=360.（4）如图 8，ABCD，B=BFD.D+E=BFD，D+E=B.（5）如图 9，过点 F 作 FHAB，则由（1）的结论可知E=B+EFH,G=HFG+D.又EFG=EFH+HFG,E+G=B+EFG+D.（6）由以上可知E1+E2+En=B+F1+F2+Fn-1+D.方法归纳：本题考查了平行线的性质与判定，关键是添加适当的辅助线，把复杂的图形化归到基本图形，使问题得以简化.易错误区：为了合理应用平行线的性质定理，过折点作平行线时画射线比较好，但要注意射线的方向，尽量避免添加辅助线后的图形复杂化.专项训练 拓展训练 A 组 1.如图，ABCD，直线EF分别交AB，CD于E，F两点，BEF的平分线交CD于点G，若EFG=52，则EGF 等于（）.A.26 B.64 C.52 D.128(第 4 题)(第 5 题)2.如图，1=83，2=97，3=78，则4 的度数为 .3.如图，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，道路的宽为 2 m，则绿化的面积为 m2.(第 8 题)4.如图，ABDE，1=2，求 AE 与 DC 的位置关系，并说明理由.(第 10 题)5.潜望镜中的两面镜子 MN 和 PQ 是互相平行的，如图所示，光线 AB 经镜面反射后，1=2，3=4.射入的光线 AB 与射出的光线 CD 平行吗？为什么？(第 11 题)6.如图，已知 ABCD.（1）判断FAB 与C 的大小关系，并说明理由；（2）若C=35，AB 是FAD 的平分线.求FAD 的度数；若ADB=110，求BDE 的度数.(第 13 题)B 组 7.如图，有 a，b，c 三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列，则三户所用电线（）.A.a 户最长 B.b 户最长 C.c 户最长 D.一样长(第 14 题)(第 16 题)8.如图，长方形 ABCD 的对角线 AC=10，BC=8，则图中五个小长方形的周长之和为.9.如图，BAP+APD=180，1=2.求证：E=F.(第 18 题)10.在四边形 ABCD 中，B=D=90，BAD 和BCD 的内（或外）角平分线分别为 AE 和 CF.（1）当 AE，CF 都为内角平分线时，不难证明 AECF.过程如下：（如图 1）BAD+BCD=1+2+3+4=360-（B+D）.而B=D=90.1=2，3=4，2（2+4）=360-180=180，则2+4=90.又B=90，2+5=90，则4=5.AECF.（2）当 AE，CF 都为外角平分线时（如图 2），AE 与 CF 的位置关系怎样？请给出证明；（3）当 AE 是内角平分线，CF 是外角平分线时（如图 3），请探索 AE 与 CF 的位置关系，并给出证明.图 1 图 2 图 3(第 20 题)走进重高 11.【广州】如图，在ABC 中，AB=AC，BC=12cm，点 D 在 AC 上，DC=4cm.将线段 DC 沿着 CB的方向平移 7cm 得到线段 EF，点 E，F 分别落在边 AB，BC 上，则EBF 的周长为 cm.(第 3 题)(第 4 题)12.【绵阳】如图，ABCD，CDE=119，GF 交DEB 的平分线 EF 于点 F，AGF=130，则F=.13.【赤峰】如图 1，E 是直线 AB，CD 内部一点，ABCD，连结 EA，ED.（1）探究猜想：若A=30，D=40，则AED 等于多少度？若A=20，D=60，则AED 等于多少度？猜想图 1 中AED，A，D 的关系并证明你的结论.（2）拓展应用：如图 2，射线 FE 与长方形 ABCD 的边 AB 交于点 E，与边 CD 交于点 F，分别是被射线FE 隔开的 4 个区域（不含边界)，其中区域位于直线 AB 上方，P 是位于以上四个区域上的点，猜想：PEB，PFC，EPF 的关系（不要求证明）.图 1 图 2(第 6 题)高分夺冠 1.一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而行，如果第一次拐角A 是 110，第二次拐角B 是150，第三次拐角是C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则C 的度数是（）.A.100 B.150 C.110 D.140 (第 1 题)(第 2 题)(第 3 题)2.如图，甲船从北岸码头 A 向南行驶，航速为 36km/h；乙船从南岸码头 B 向北行驶，航速为27km/h.两船均于 7：15 出发，两岸平行，水面宽为 18.9km，则两船距离最近时的时刻为（）.A.7：35 B.7：34 C.7：33 D.7：32 3.如图，在 44 的正方形网格中，1，2，3 的大小关系是 .4.略 5.已知 E，F 分别是 AB，CD 上的动点，P 也为一动点.（1）如图 1，若 ABCD，求证：P=BEP+PFD；（2）如图 2，若P=PFD-BEP，求证：ABCD；（3）如图 3，ABCD，移动点 E，F 使得EPF=90，作PEG=BEP，求PFDAEG的值.图 1 图 2 图 3(第 5 题)
