简单几何体的外接球及内切球问题.pdf

.1 简单几何体的外接球与切球问题 定义 1：假设一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的接多面体，这个球是这个多面体的外接球。定义 2：假设一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的切球。1、切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。2、正多面体的切球和外接球的球心重合。3、正棱锥的切球和外接球球心都在高线上，但不重合。4、根本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。5、体积分割是求切球半径的通用做法。一、直棱柱的外接球 1、长方体的外接球：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为cba,，则体对角线长为222cbal，几何体的外接球直径R2为体对.1 角线长l 即2222cbaR 2、正方体的外接球：正方体的棱长为a，则正方体的体对角线为a3，其外接球的直径R2为a3。3、其它直棱柱的外接球：方法：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球。例 1、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为，则这个球的体积为.例 2、各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4，体积为 16，则这个球的外表积是 A.16 B.20 C.24 D.32 二、棱锥的外接球 1、正棱锥的外接球 方法：球心在正棱锥的高线上，根据球心到各个顶点的距离是球半径，列出关于半径的方程。.1 例 3、正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点SABCD、都在同一球面上，则此球的体积为.例 5、假设正四面体的棱长为 4，则正四面体的外接球的外表积为_。例 6、一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是：A433 (B)33 (C)43 (D)123 2、补体方法的应用 1、正四面体2、三条侧棱两两垂直的三棱锥 3、四个面均为直角三角形的三棱锥 例 7、如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为 62cm、42cm和 32cm，则它的外接球的体积是。例 9、在三棱锥BCDA中，BCCDBCDAB,平面,543CDBCAB，则三棱锥BCDA外接球的外表积_。例 10、如图为一个几何体的三视图，则该几何体的外接球的外表积为()A.4 B.8C.12 D.16.1 三、圆柱、圆锥的外接球 旋转体的外接球，可以通过研究轴截面求球的半径。例 11、圆柱的底面半径为 4，母线为 8，求该圆柱的外接球的半径。例 12、圆锥的底面半径为 2，母线长为 4，求该圆锥的外接球的半径。四、正方体的切球 设正方体的棱长为a，求1切球半径；2与棱相切的球半径。1截面图为正方形EFGH的切圆，得2aR；2与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，作截面图，圆O为正方形EFGH的外接圆，易得aR22。五、棱锥的切球分割法 将切球的球心与棱锥的各个顶点连线，将棱锥分割成以原棱锥的面为底面，切球的半径为高的小棱锥，根图 1 图 2.1 据分割前后的体积相等，列出关于半径 R 的方程。假设棱锥的体积为 V，外表积为 S，则切球的半径为SVR3.例 17、正四棱锥SABCD，底面边长为 2，侧棱长为 3，则切球的半径是多少.例 18、三棱锥PABC中，底面ABC是边长为 2 的正三角形，PA底面ABC，且2PA，则此三棱锥切球的半径为 六、圆柱轴截面为正方形、圆锥的切球截面法 例 19、圆锥的高为 4，底面半径为 2，求该圆锥切球与外接球的半径比。例 20、圆柱的底面直径和高都是 6，求该圆柱切球的半径。稳固训练：1、一个正三棱柱恰好有一个切球(球与三棱柱的两个底面和三个侧面都相切)和一个外接球(球经过三棱柱的 6 个顶点),则此切球与外接球外表积之比为。2、如图，半径为 2 的半球有一接正六棱锥PABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是_ 3、棱长为2 的正四面体的四个顶点都在同一个 A B C P D E F .1 球面上，假设过该球球心的一个截面如图，则图中 三角形(正四面体的截面)的面积是.4、三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上,ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且2SC;则此棱锥的体积为 A26 B36 C23 D22 5、点P,A,B,C,D是球O外表上的点,PA平面ABCD,四边形ABCD是边长为23正方形.假设PA=26,则OAB的面积为_.