核反应堆物理分析习题答案第三章.pdf

第三章 1.有两束方向相反的平行热中子束射到235U的薄片上，设其上某点自左面入射的中子束强度为122110 cms。自右面入射的中子束强度为12212 10 cms。计算：（1）该点的中子通量密度；（2）该点的中子流密度；（3）设2119.2 10am，求该点的吸收率。解：（1）由定义可知：12213 10IIcm s （2）若以向右为正方向：12211 10JIIcm s 可见其方向垂直于薄片表面向左。（3）2122133119.2 103 10105.76 10aaRcm s 2.设在x处中子密度的分布函数是：0(,)(1cos)2xaEnn x Eee 其中：,a为常数，是与x轴的夹角。求：（1）中子总密度()n x；（2）与能量相关的中子通量密度(,)x E;（3）中子流密度(,)J x E。解：由于此处中子密度只与与x轴的夹角相关，不妨视为视角，定义在YZ平面影上与Z轴的夹角为方向角，则有：（1）根据定义：004()(1cos)2xaEnn xdEeed 20000(1cos)sin2xaEndEdeed 000(1 cos)sinxaEn ee dEd 可见，上式可积的前提应保证0a，则有：0000()()(sincos sin)aExen xn edda 0002(cos0)xxn en eaa （2）令nm为中子质量，则2/2()2nnEm vv EE m 04(,)(,)()2(,)22xaEnnx En x E v EE mn x Edn eeE m （等价性证明：如果不做坐标变换，则依据投影关系可得：cossincos 则涉及角通量的、关于空间角的积分：240(1 cos)(1 sincos)sindd 2220000sincossindddd 002(cos)(2sincos)404d 对比：2400(1 cos)(1 cos)sinddd 220000sinsincosdddd 002(cos)(2sincos)404d 可知两种方法的等价性。）（3）根据定义式：44(,)(,)(,)()J x Ex Edn x Ev E d 20002cos(1 cos)sin2xaEnn eeE mdd 20002(cossincossin)xaEnn eeE mdd 利用不定积分：1coscossin1nnxxxdxCn（其中n为正整数），则：300022cos(,)2(0)33xaEnxaEnn eeE mJ x En eeE m 6在某球形裸堆（R=0.5 米）内中子通量密度分布为 .17215 10()sin()()rrcm srR 试求：（1）(0);（2）()J r的表达式，设20.8 10Dm；（3）每秒从堆表面泄露的总中子数（假设外推距离很小，可略去不济）。解：（1）由中子通量密度的物理意义可知，必须满足有限、连续的条件 17005 10(0)lim()limsin()rrrrrR 1705 10limrrrR 175 10R 183.14 10 21cm s（2）中子通量密度分布：175 10()sin()rrrR 21cm s ()J rDgrad ()rDer （e为径向单位矢量）1 71 72251 051 0()0.81 0s i n()c o s()rrJ rerRrRR 152124 10sin(2)cos(2)rrerr（3）泄漏中子量=径向中子净流量球体表面积 LJ ds 中子流密度矢量：15212()4 10sin(2)cos(2)J rrrerr ()J r仅于 r 有关，在给定 r 处各向同性 2()4LJ RR 15224 1040.50.5 1711.58 10 s 7.设有一立方体反应堆，边长9a.m 中子通量密度分布为：1321(,)3 10 cos()coscos()xyzx y zcmsabc 已知20.84 10,0.175.Dm Lm 试求：（1）()J r的表达式；（2）从两端及侧面每秒泄露的中子数；（3）每秒被吸收的中子数（设外推距离很小，可略去）。解：有必要将坐标原点取在立方体的几何中心，以保证中子通量始终为正。为简化表达式起见，不妨设132103 10 cm s。（1）利用斐克定律：()(,)(,)()J rJ x y zDgradx y zDijkxyy 0sin()cos()cos()sin()cos()cos()sin()cos()cos()xyzyxzzxyDijkaabcbaccab ()()J rJ r 2222222220sin()cos()cos()sin()cos()cos()sin()cos()cos()xyzyxzzxyDaabcbaccab（2）先计算上端面的泄漏率：/2/220(/2)/2/2()sin()cos()cos()2aaZ aS z aaaxyLJ r kdSDdxdyaab /2/20/2/20s i n()s i n()4aaaaaxayDDaaaa 同理可得，六个面上的总的泄漏率为：21 31 7109642 40.8 41 031 01.71 03.14LDsa 其中，两端面的泄漏率为：16135.8 10;Ls 侧面的泄漏率为：17131.2 10LLs （如果有同学把问题理解为“六个面”上的总的泄露，也不算错）（3）由2/aLD，可得：2/aD L 由于外推距离可忽略，只考虑堆体积内的吸收反应率：/2/2/22302/2/2/22/cos()coscos()aaaaaVVaaaxyzDaR dVdVD LdxdydzabcL 213320120.84 102 93 10()1.24 100.1753.14s 8.圆柱体裸堆内中子通量密度分布为 162102.405(,)10 cos()zrr zJcmsHR 其中，,H R为反应堆的高度和半径（假定外推距离可略去不计）。试求：（1）径向和轴向的平均中子通量密度和最大中子通量密度之比；（2）每秒从堆侧表面和两个端面泄露的中子数；（3）设7,3Hm Rm,反应堆功率为510,410fMWb，求反应堆内235U的装载量。解：9.试计算0.0253EeV时的铍和石墨的扩散系数。解：查附录 3 可得，对于0.0253EeV的中子：1/sm 01 Be 8.65 0.9259 C 3.85 0.9444 对于Be：0010.041633(1)3(1)trssDm 同理可得，对于C：0.0917Dm 10.设某石墨介质内，热中子的微观吸收和散射截面分别为a=4.510-2靶和s=4.8靶。试计算石墨的热中子扩散长度 L和吸收自由程a，比较两者数值大小，并说明其差异的原因。：12.计算3235,802/TKkg m时水的热中子扩散长度和扩散系数。解：查 79 页表 3-2 可得，293K时：0.0016Dm，由定义可知：()/31/()(293)(293)(293)(293)/31/(293)()()()(293)trsatrssD TTTNKKKKKN TTTDK 所以:(293)(293)/0.00195D TK DKm 中子温度利用 56 页（2-81）式计算：2()2()1 0.461 0.46aMaMnMMssAkTAkTTTT 其中，介质吸收截面在中子能量等于217.28 100.0461MkTJeV 再利用“1/v”律：()(0.0253)0.0253 0.04610.4920aMakTb 535(1 0.46 36 0.4920/103)577nTK （若认为其与在0.0253eV时的值相差不大，直接用0.0253eV热中子数据计算：535(1 0.46 36 0.664/103)592nTK 这是一种近似结果）利用 57 页的（2-88）式 282(0.0253)2930.414 101.128592aam 11.1aaNm (293)(293)(293)(293)(293)ssssNNKNKKNKK 10(293)802/(3 1000 0.0016 0.676)247(293)3(293)(293)(1)ssKmKK DK 0110.04243 1.11 2470.6763(1)asLm 13.如图 3-15 所示，在无限介质内有两个源强为1Ss，试求1P和2P点的中子通量密度和中子流密度。16.设有一强度为21()I ms的平行中子束入射到厚度为a的无限平板层上。求：（1）中子不遭受碰撞而穿过平板的概率;（2）平板内中子通量密度的分布;（3）中子最终扩散穿过平板的概率。解：（1）0()/exp()tI aIa（2）此情况相当于一侧有强度为I的源，建立以该侧所在横坐标为x原点的一维坐标系，则扩散方程为：222()()0,0dxxxdxL 边界条件：（1）.0lim()xJ xI （2）.lim()0 xxaJa 方程的普遍解为：/()x Lx LxAeCe 由边界条件（1）可得：/00011lim()lim()lim()x Lx LxxxdDJ xDD AeCeACIdxLLLILACD 由边界条件（2）可得：/()1()lim()04646a La La La Lxx axatrtradxAeCeAeCeJadxL2/2/232232a La LtrtrLLDACeCeLLD 所以：2/2/212212a La LLDILILCeCDLLDDDeDL 2/2/2/212(1)221122a La La LDLeILILDLADLDLDDeeDLDL 2/2/2/212()()221122a Lx Lx La La LDLeILDLxeeDLDLDeeDLDL()/()/2(2)(2)(2)a xLa xLa La LLD eDL eILDLD eDL e（3）此问相当于求Xa处单位面积的泄漏率与源强之比：/11(2)(2)()()()()(2)(2)x x axx aa La LLDLDJJ aJaJ aD dxLLLIIIIdxLD eLD e /4(2)(2)a La LDLD eLD e 17.设有如图 3-16 所示的单位平板“燃料栅元”，燃料厚度为2a,栅元厚度为2b，假定热中子在慢化剂内据黁分布源（源强为S）出现。在栅元边界上的中子流为零（即假定栅元之间没有中子的净转移）。试求：（1）屏蔽因子Q，其定义为燃料表面上的中子通量密度与燃料内的平均中子通量密度之比；（2）中子被燃料吸收的份额。解：（1）以栅元几何中线对应的横坐标为原点，建立一维坐标系。在这样的对称的几 何条件喜爱，对于所要解决的问题，我们只需要对0 x 的区域进行讨论。燃料内的单能中子扩散方程：222()()0,0dxxxadxL 边界条件：（1）.0lim()0 xJ x （2）.0lim()xxS 通解形式为：()c o s h(/)s i n h(xAxLCxL 利用斐克定律：()()sinh()cosh()dxAxCxJ xDDdxLLLL 代入边界条件（1）：s i n h()c o s h()00AxCxD CDCLLLLL 代入边界条件（2）：cosh()sinh()cosh()cos(/)aaaSACASALLLa L 所以：00011sinh(/)cosh()tan()cosh(/)cosh(/)aaFFaFdxdVSxSLa LSLadxaa LLaa LaLdVdxcosh(/)()cosh(/)cot()tan(/)FSa Laaaa LQSLLLa La（3）把该问题理解为“燃料内中子吸收率/燃料和慢化剂内总的中子吸收率”，设燃料和慢化剂的宏观吸收截面分别为Fa和Ma，则有：000tan(/)tanh(/)()tan(/)()aFFFFaaaFaFaaFMFMFMFMaaaaaaaaFMdVdVaLa LLa Lba SLa LbadVdVdVdV回顾扩散长度的定义，可知：2/FFaaLDLD L ，所以上式化为：tan(/)tan(/)tan(/)()tan(/)()FaFMMaaaLa LDa LLa LbaDa LLba （这里是将慢化剂中的通量视为处处相同，大小为S，其在b处的流密度自然为 0，但在 a 处情况特殊：如果认为其流密度也为 0，就会导致没有向燃料内的净流动、进而燃料内通量为 0 这一结论！所以对于这一极度简化的模型，应理解其求解的目的，不要严格追究每个细节。）21.在一无限均匀非增值介质内，每秒每单位体积均匀地产生S个中子，试求：（1）介质内的中子通量密度分布；（2）如果0 x 处插入一片无限大的薄吸收片（厚度为t,宏观吸收截面为a），证明 这时中子通量密度分布为()1(2/)x LaaateSxtD L（提示：用源条件0lim()(0)/2axJ xt）解：（1）建立以无限介质内任一点为原点的坐标系（对此问题表达式比较简单），建立扩散方程：2aDS 即：2aSDD 边界条件：1.0,2.()0,0J rr 设存在连续函数()r满足：22 （1）21aSDDL （2）可见，函数()r满足方程221L，其通解形式：exp(/)exp(/)()r Lr LrACrr 由条件（1）可知：0C,由方程（2）可得：()()/exp/aarrSAr LS 再有条件 2 可知：0A，所以：/aS （实际上，可直接由物理模型的特点看出通量处处相等这一结论，进而其梯度为 0）（2）此时须以吸收片中线上任一点为原点建立一维直角坐标系，想考虑正半轴，建立扩散方程：2aDS 即：2,0aSxDD 边界条件：i.0,ii.0lim()(0)/2,axJ xt iii.lim()0 xJ x 对于此“薄”吸收片，可以忽略其厚度内通量的畸变。参考上一问中间过程，可得通解形式：()exp(/)exp(/)/axAx LCx LS/()x Lx LdADCDJ xDeedxLL 由于条件 ii 可得：0lim()()()22aaxaaADCDtStLSJ xACCAACLLD 由条件 iii 可得：0C 所以：()221aaaatLSSAAADDtL /()1(2/)21x Lx LaaaaaateSSSxetD LDtL 对于整个坐标轴，只须将式中坐标加上绝对值号，证毕。22.假设源强为21()S cms的无限平面源放置在无限平板介质内，源强两侧平板距离分别为a和b（图 3-17），试求介质内的中子通量密度分布（提示：这是非对称问题，0 x 处的边界条件应为：）（1）中子通量密度连续；（2）000lim()()xxJ xJ xS 解：以源平面任一一点味原点建立一维直角坐标系，建立扩散方程：21121()(),0 xx xL 22221()(),0 xxxL 边界条件：i.1200lim()lim()xxxx;ii.000lim()()xxJ xJ xS ;iii.1()0a;iv.1()0b;通解形式：111222sinh(/)cosh(/),sinh(/)cosh(/)Ax LCx LAx LCx L 由条件 i：12CC （1）由条件 ii:12112200lim()limcosh()sinh()cosh()sinh()xxddDxxxxDDACACSdxdxLLLLL 2112SLSLAAAADD （2）由条件 iii，iv:1111sinh(/)cosh(/)0cosh(/)sinh(/)Aa LCa LCa LAa L (3)2222sinh(/)cosh(/)0cosh(/)sinh(/)Ab LCb LCb LAb L(4)联系（1）可得：12tanh(/)/tan(/)AAb La L 结合（2）可得：222/tanh(/)/tan(/)1tanh(/)/tan(/)SLSL DAAb La LADb La L 1/1tanh(/)/tan(/)SL DAa Lb L 121tanh(/)tanh(/)/tanh(/)tanh(/)tanh(/)SLa Lb LDCCAa La Lb L 所以：tanh(/)sin(/)tanh(/)tanh(/)cosh(/)(),0tanh(/)tanh(/)SLb Lx La Lb Lx LxxDb La L tanh(/)sin(/)tanh(/)tanh(/)cosh(/)(),0tanh(/)tanh(/)SLa Lx La Lb Lx LxxDb La L 23.在厚度为2a的无限平板介质内有一均匀体积源，源强为31()S ms，试证明其中子通量密度分布为（其中d为外推距离）cosh(/)()1cosh()aSx LxadL 证明：以平板中线上任一点位原点建立一维直角坐标系，先考虑正半轴，建立扩散方程：2aDS 即：2,0aSxDD 边界条件：i.0,ii.0lim()0,xJ x iii.()0ad 参考题 21，可得通解形式：()sinh(/)cosh(/)/axAx LCx LS()cosh()sinh()dADxCDxJ xDdxLLLL 由条件 ii 可得：0lim()00 xADJ xAL 再由条件 iii 可得：()cosh()0cosh()aaadSSadCCadLL 所以：cos(/)()cosh()1cosh()cosh()aaaSxSSx LxadadLLL 由于反曲余弦为偶函数，该解的形式对于整个坐标轴都是适用的。证毕。24.设半径为R的均匀球体内，每秒每单位体积均匀产生S个中子，试求球体内的中子通量 密度分布。解：以球心为原点建立球坐标系吗，建立扩散方程：2aDS 即：2aSDD 边界条件：i.0,ii.()0Rd iii.20lim4()0 xr J r 通解：由条件 iii:200lim4()lim4110r Lr Lxxrrr J rD AeCeACLL 再由条件 ii：()exp()exp()0aARdCRdSRdRRdLRdL()exp()exp()aRd SARdRdLL 所以：()exp(/)exp(/)1()cosh(/)()1cosh()exp()exp()aaaRd Sr Lr LSSRdr LrRdRdRdrrLLL（此时：0lim()0rJ r）