核反应堆物理分析课后答案(更新版).概要.pdf

1 核反应堆物理分析答案 第一章 1-1.某压水堆采用 UO2作燃料，其富集度为 2.43%（质量），密度为 10000kg/m3。试计算：当中子能量为 0.0253eV时，UO2的宏观吸收截面和宏观裂变截面。解：由 18 页表 1-3 查得，0.0253eV 时：(5)680.9,(5)583.5,(8)2.7afaUbUbUb 由 289 页附录 3 查得，0.0253eV 时：()0.00027baO 以 c5表示富集铀内 U-235 与 U 的核子数之比，表示富集度，则有：555235235238(1)ccc 151(10.9874(1)0.0246c 255283222M(UO)235238(1)16 2269.91000()()2.23 10()M(UO)AccUONN UOm 所以，26352(5)()5.49 10()N Uc N UOm 28352(8)(1)()2.18 10()N Uc N UOm 2832()2()4.46 10()N ON UOm 2112()(5)(5)(8)(8)()()0.0549680.92.18 2.74.46 0.0002743.2()()(5)(5)0.0549 583.532.0()aaaaffUON UUN UUN OOmUON UUm 1-2.某反应堆堆芯由 U-235,H2O 和 Al 组成，各元素所占体积比分别为 0.002,0.6 和 0.398，计算堆芯的总吸收截面(E=0.0253eV)。解：由 18 页表 1-3 查得，0.0253eV 时：(5)680.9aUb 由 289 页附录 3 查得，0.0253eV 时：112()1.5,()2.2aaAlmH Om,()238.03,M U 33()19.05 10/Ukg m 可得天然 U 核子数密度283()1000()/()4.82 10()AN UU NM Um 则纯 U-235 的宏观吸收截面：1(5)(5)(5)4.82 680.93279.2()aaUN UUm 总的宏观吸收截面：120.002(5)0.6()0.398()8.4()aaaaUH OAlm 1-6 题 2 1171721111PVV3.2 10P2 101.25 10 m3.2 105 3.2 10 1-7.有一座小型核电站，电功率为 150MW，设电站的效率为 30%，试估算该电站反应堆额定功率运行一小时所消耗的铀-235 数量。每秒钟发出的热量：68150 105.00 100.30PTEJ 每秒钟裂变的 U235：10193.125 101.56 10()NE个 运行 1h 的裂变的 U235：1922N T1.56 1036005.616 10()N 个 消耗的 u235 质量：2223A(1)(1 0.18)5.616 10235mA25.9g0.0259kgN6.022 10N 1-10.为使铀的 1.7，试求铀中 U-235 富集度应为多少(E=0.0253eV)。解：由 18 页表 1-3 查得，0.0253eV 时：(5)680.9,(5)583.5,(8)2.7afaUbUbUb,(5)2.416v U 由定义易得：(5)(5)(5)(5)(5)(5)(8)(8)ffaaav Uv UN UUN UUN UU(5)(5)(5)(8)(5)(8)faav UUN UN UUU 为使铀的 1.7，(5)2.416 583.5(8)(680.9)54.9(5)2.71.7N UN UN U 富集度235(5)235100%1.77%235(5)238(8)235238 54.9N UN UN U 1-12 题 每秒钟发出的热量：691000 103.125 100.32PTEJ 每秒钟裂变的 U235：109193.125 103.125 109.765610()N 个 运行一年的裂变的 U235：1927N T9.76561036524 36003.079710()N 个 消耗的 u235 质量：27623A(1)(1 0.18)3.0797 10235mA1.4228 10 g1422.8kgN6.022 10N 3 需消耗的煤：9967E1 10365 24 3600m3.3983 10 Kg3.3983 10Q0.322.9 10吨 .一核电站以富集度 20%的 U-235 为燃料，热功率 900MW,年负荷因子(实际年发电量/额定年发电量)为 0.85,U-235的俘获裂变比取 0.169,试计算其一年消耗的核燃料质量。解：该电站一年释放出的总能量=616900 100.8536006024 3652.412510 J 对应总的裂变反应数=16266192.4125 107.54 10200 101.6 10 因为对核燃料而言：tf 核燃料总的核反应次数=26267.54 10(10.169)8.81 10 消耗的 U-235 质量=26238.81 10235344()6.02 101000kg 消耗的核燃料质量=344/20%1720()kg 第二章.某裂变堆，快中子增殖因数 1.05，逃脱共振俘获概率 0.9，慢化不泄漏概率 0.952，扩散不泄漏概率 0.94，有效裂变中子数 1.335，热中子利用系数 0.882，试计算其有效增殖因数和无限介质增殖因数。解：无限介质增殖因数：1.1127kpf 不泄漏概率：0.9520.940.89488sd 有效增殖因数：0.9957effkk 2-1.H 和 O 在 1000eV 到 1eV 能量范围内的散射截面近似为常数，分别为 20b 和 38b。计算 H2O 的 以及在 H2O中中子从 1000eV 慢化到 1eV 所需的平均碰撞次数。解：不难得出，H2O 的散射截面与平均对数能降应有下述关系：H2OH2O=2HH+OO 即：(2H+O)H2O=2HH+OO H2O=（2HH+OO）/(2H+O)查附录 3，可知平均对数能降：H=1.000，O=0.120，代入计算得：H2O=(2201.000+380.120)/(220+38)=0.571 可得平均碰撞次数：Nc=ln(E2/E1)/H2O=ln(1000/1)/0.571=12.09 12.1 2-2.设 f(v-v)dv表示 L 系中速度 v 的中子弹性散射后速度在 v附近 dv内的几率。假定在 C 系中散射是各向同性的，求 f(v-v)的表达式，并求一次碰撞后的平均速度。解：212Emv，dEmv dv代入 4(),(1)dEf EE dEaEEEa E 得到：22(),(1)v dvf vv dvavvva v，22(),(1)vf vvavvva v 322()(1)3(1)avvvvv f vv dvaa 2-6.在讨论中子热化时，认为热中子源项 Q(E)是从某给定分界能 Ec以上能区的中子，经过弹性散射慢化而来的。设慢化能谱服从(E)=/E 分布，试求在氢介质内每秒每单位体积内由 Ec以上能区，（1）散射到能量 E（EE）（2）利用上一问的结论：111111()(ln)(1)(1)(1)ggggggEEEgggsssgEEccgEEEEEQQ E dEdEEEEE 2-8.计算温度为 535.5K，密度为 0.802 103 kg/m3的 H2O 的热中子平均宏观吸收截面。解：已知 H2O 的相关参数，M=18.015 g/mol，=0.802103 kg/m3，可得：362328100.802 10 6.023 102.68 1018.015ANNM m-3 已知玻尔兹曼常数 k=1.3810-23 JK-1，则：kTM=1.38 10-23535.5=739.010-23(J)=0.4619(eV)；1eV=1.60210-19J 查附录 3，得热中子对应能量下，a=0.664 b，=0.948，s=103 b，a=0.664 b，由“1/v”律：()(0.0253)0.0253/aMaMkTkT0.4914(b)由 56 页（2-81）式，中子温度：2()2 180.491410.46535.510.46103aMnMsAkTNTTN 577.8(K)对于这种”1/v”介质，有：(0.0253)2930.6642931.1281.128577.8aanT 0.4192(b)5 所以：2232422.68 100.4192 10aaNcmcm 1.123(m-1)第三章 3.1 有两束方向相反的平行热中子束射到235U 薄片上，设其上某点自左面入射的中子束强度为 1012 cm-2s-1。自右面入射的中子束强度 21012 cm-2s-1。计算：（1）该点的中子通量密度；（2）该点的中子流密度；（3）设 a=19.2102 m-1，求该点的吸收率。解：（1）由定义可知：II31012(cm-2s-1)（2）若以向右为正方向：JII-11012(cm-2s-1)可见其方向垂直于薄片表面向左。（3）aaR 19.231012=5.761013(cm-3s-1)3.2 设在 x 处中子密度的分布函数是/0(,)(1cos)2xaEnn x Eee 其中：，为常数，是与 x 轴的夹角。求：（1）中子总密度 n(x)；（2）与能量相关的中子通量密度(x,E)；（3）中子流密度 J(x,E)。解：由于此处中子密度只与与 x 轴的夹角有关，不妨视 为极角，定义在 Y-Z 平面上的投影与 Z 轴的夹角 为方向角，则有：（1）根据定义：/0042/0000/000()(1cos)2(1cos)sin2(1cos)sinxaExaExaEnn xdEeedndEdeedn ee dEd 可见，上式可积的前提应保证 0 的区域进行讨论。燃料内的单能中子扩散方程：222()()0,0dxxxadxL 边界条件：i.0lim()0 xJ x ii.lim()xaxS 通解形式为：()cosh(/)sinh(/)xAx LCx L 利用 Ficks Law：()()sinh()cosh()dxAxCxJ xDDdxLLLL 代入边界条件 i：0sinh()cosh()00 xAxCxDCDCLLLLL 代入边界条件 ii：cosh()sinh()cosh()cosh(/)aaaSACASALLLa L 所以00011sinh(/)cosh()tanh()cosh(/)cosh(/)aaFFaFdxdVSxS La LSLadxaa LLaa LaLdVdx cosh(/)()cosh(/)coth()tanh(/)FSa Laaaa LQSLLLa La（2）把该问题理解为“燃料内中子吸收率/燃料和慢化剂内总的中子吸收率”，设燃料和慢化剂的宏观吸收截面分别为Fa和Ma，则有：00tanh(/)tanh(/)()()aFFFFaaaFaFabFMFMFMFMaaaFaaaaaFMadxdVaLa LLa Lbaaba SdVdVdxdx回顾扩散长度的定义，可知：2/FFaaLDLD L，所以上式化为：tanh(/)tanh(/)tanh(/)()tanh(/)()FaFMMaaaLa LDa LLa LbaDa LLba （这里是将慢化剂中的通量视为处处相同，大小为 S，其在 b 处的流密度自然为 0，但在 a 处情况特殊：如果认为其流密度也为 0，就会导致没有向燃料内的净流动、进而燃料内通量为 0 这一结论！所以对于这一极度简化的模型，应理解其求解的目的，不要严格追究每个细节。）3-18 15 解：（1）当 B 为无限厚度平板介质时，,()xx 为有限值。扩散方程为：222()()0,(0)dxxxdxL 方程的通解为：()xxLLxAeCe，由,()xx 为有限值，得到 C=0；()xLxAe 1214612146ssdD ddxJdxdD dJdxdx，代入()xLxAe得到11ddxL 1 212JD LJD L（2）扩散区 A 中包含中子源，介质 B 不包含，设介质 A 为一无限平面源，介质 B 为厚度为 a 的平板层。扩散方程为：222()()0,(0)dxxxdxL 边界条件：()0 xa；方程的通解为：()sinh()cosh()xxxABLL 边界条件代入方程通解中得：sinh()cosh()0 xaxaABLL，cosh()sinh()xaLABxaL cosh()cosh()sinh()sinh()cosh()cosh()sinh()sinh()111cosh()cosh()sinh()sinh()cosh()sinh()cosh()sinh()xaxxLxaxaxxaxLLdLLLLLxaxaxxaxdxLLxxLLLLLxaLLL 22111cosh()cosh()()()()44x ax axxx ax aaaLLLLLLLLxaxIeeeeeeeeLL 22211sinh()sinh()()()()44x ax axxx ax aaaLLLLLLLLxaxIeeeeeeeeLL 211()cosh()2aaLLaIIeeL 16 22311cosh()sinh()()()()44x ax axxx ax aaaLLLLLLLLxaxIeeeeeeeeLL 22411sinh()cosh()()()()44x ax axxx ax aaaLLLLLLLLxaxIeeeeeeeeLL 431()sinh()2aaLLaIIeeL cosh()111coth()sinh()adaLadxLLLL 12211coth()4612211coth()46ssdD dDadxJdxLLdD dDaJdxdxLL 当,coth()1xxxxeexxee，1 212JD LJD L（2）扩散区 A 中包含中子源，介质 B 不包含，设介质 A 为一无限平面源，介质 B 为厚度为 a 的平板层。扩散方程为：222()()0,(0)dxxxdxL 边界条件：()0 xa；中子源条件：0lim()2xsJ x；方程的通解为：()xxLLxAeCe 由边界条件()0 xa，得到2x LCAe，即()()xxLLxA ee 由中子源条件lim()xJ xs，得到2lim()lim(),(1)axxLdsLJ xDs AdxDe 即(2)2()()(1)xa xLLaLsLxeeDe 化简得到11coth()daxLdxL，并代入得到 1(2)coth()1(2)coth()JD LaxLJD LaxL 因为假设介质为一平面中子源，则0 x，1(2)coth1(2)cothJD La LJD La L 17 3-21 解：（1）建立以无限介质内任一点为原点的球坐标系（对此问题表达式较简单），建立扩散方程：2aDS 即：2aSDD 边界条件：i.0,ii.()0,0J rr 设存在连续函数()r满足：222,(1)1(2)aSDDL 可见，函数()r满足方程221L，其通解形式：exp(/)exp(/)()r Lr LrACrr 由条件 i 可知：C=0，由方程（2）可得：()()/exp(/)/aarrSAr LrS 再由条件 ii 可知：A=0，所以：/aS（实际上，可直接由物理模型的特点看出通量处处相等这一结论，进而其梯度为 0）（2）此时须以吸收片中线上任一点为原点建立一维直角坐标系，先考虑正半轴，建立扩散方程：2aDS 即：2aSDD，x 0 边界条件：i.0|,ii.0lim()(0)/2axJ xt,iii.lim()0 xJ x 对于此“薄”吸收片，可以忽略其厚度内通量的畸变。参考上一问中间过程，可得通解形式：()exp(/)exp(/)/axAx LCx LS/()x Lx LdADCDJ xDeedxLL 由条件 ii 可得：0lim()()()22aaxaaADCDtStLSJ xACCAACLLD 由条件 iii 可得：C=0 所以：()22(1)aaaatLSSAAADDtL /()12(2/)(1)x Lx LaaaaaateSSSxeDtD LtL 对于整个坐标轴，只须将式中坐标加上绝对值号，证毕。18 3-22 解：以源平面任一点为原点建立一维直角坐标系，建立扩散方程：211222221()(),01()(),0 xxxLxxxL 边界条件：i.1200lim()lim()xxxx;ii.000lim()|()|xxJ xJ xS ;iii.1()0a;iv.2()0b;通解形式：111sinh(/)cosh(/)Ax LCx L，222sinh(/)cosh(/)Ax LCx L 由条件 i：12CC（1）由条件 ii：12112200lim()limcosh()sinh()cosh()sinh()xxddDxxxxDDACACSdxdxLLLLL 2112SLSLAAAADD（2）由条件 iii、iv：1111sinh(/)cosh(/)0cosh(/)sinh(/)Aa LCa LCa LAa L （3）2222sinh(/)cosh(/)0cosh(/)sinh(/)Ab LCb LCb LAb L （4）联系（1）可得：12tanh(/)/tanh(/)AAb La L 结合（2）可得：222tanh(/)/tanh(/)1tanh(/)/tanh(/)SLb LSL DAAADa Lb La L 1/1tanh(/)/tanh(/)SL DAa Lb L 121tanh(/)tanh(/)/tanh(/)tanh(/)tanh(/)SLa Lb LDCCAa La Lb L 所以：tanh(/)sinh(/)tanh(/)tanh(/)cosh(/),0tanh(/)tanh(/)()tanh(/)sinh(/)tanh(/)tanh(/)cosh(/),0tanh(/)tanh(/)SLb Lx La Lb Lx LxDb La LxSLa Lx La Lb Lx LxDb La L 3-23 证明：以平板中线上任一点为原点建立一维直角坐标系，先考虑正半轴，建立扩散方程：2aDS 即：2aSDD，x 0 边界条件：i.0|,ii.0lim()0 xJ x,iii.()0ad 19 参考 21 题，可得通解形式：()sinh(/)cosh(/)/axAx LCx LS()cosh()sinh()dADxCDxJ xDdxLLLL 由条件 ii 可得：0lim()00 xADJ xAL 再由条件 iii 可得：()cosh()0cosh()aaadSSadCCadLL 所以：cosh(/)()cosh()1cosh()cosh()aaaSxSSx LxadadLLL 由于反曲余弦为偶函数，该解的形式对于整个坐标轴都是适用的。证毕。3-24 设半径为 R 的均匀球体内，每秒每单位体积均匀产生 S 个中子，试求球体内的中子通量密度分布。解：以球心为原点建立球坐标系，建立扩散方程：2aDS 即：2aSDD 边界条件：i.0,ii.()0Rd,iii.20lim4()0rr J r 通解：exp(/)exp(/)()ar Lr LSrACrr 由条件 iii：2/00lim4()lim4(1)(1)0r Lr Lrrrrr J rD AeCeACLL 再由条件 ii：()exp()exp()0()exp()exp()aaARdCRdSRdRRdLRdLRd SARdRdLL 所以：()exp(/)exp(/)1()cosh(/)()1exp()exp()cosh()aaaRd Sr Lr LSSRdr LrRdRdRdrrLLL （此时，0lim()0rJ r）第四章 4-1 试求边长为 a，b，c（包括外推距离）的长方体裸堆的几何曲率和中子通量密度分布。设有一边长 a=b=c=0.5 m，c=0.6 m（包括外推距离）的长方体裸堆，L=0.0434 m，=6 cm2。（1）求达到临界时所必须的 k；（2）如果功率为 5000 kW，f=4.01 m-1，求中子通量密度分布。解：长方体的几何中心为原点建立坐标系，则单群稳态扩散方程为：222222()0aaDkxyz 20 边界条件：(/2,)(,/2,)(,/2)0ay zx bzx y c（以下解题过程中不再强调外推距离，可以认为所有外边界尺寸已包含了外推距离）因为三个方向的通量变化是相互独立的，利用分离变量法：(,)()()()x y zX x Y y Z z 将方程化为：22221kXYZXYZL 设：222222,xyzXYZBBBXYZ 先考虑 x 方向，利用通解：()cossinxxX xAB xCB x 代入边界条件：1cos()0,1,3,5,.2xnxxanABBnBaa 同理可得：0(,)cos()cos()cos()x y zxyzaaa 其中0是待定常数。其几何曲率：2222()()()gBabc106.4(m-2)（1）应用修正单群理论，临界条件变为：221gkBM 其中：22ML0.00248(m2)k1.264（2）只须求出通量表达式中的常系数0 3222002222cos()cos()cos()()abcabcffffffVPEdVEx dxy dyz dzEabcabc30(/2)ffPEabc1.0071018(m-2s-1)4-2 设一重水-铀反应堆堆芯的 k=1.28，L2=1.810-2 m2，=1.2010-2 m2。试按单群理论，修正单群理论的临界方程分别求出该芯部材料曲率和达到临界时总的中子不泄漏概率。解：对于单群理论：221mkBL15.56(m-2)在临界条件下：22221111gmB LB L 0.7813(或用1/k)对于单群修正理论：22ML0.03(m2)221mkBM9.33(m-2)在临界条件下：22221111gmB MB M 0.68 0.7813?21（注意：这时仍能用1/k，实际上在维持临界的前提条件下修正理论不会对不泄漏概率产生影响，但此时的几何曲率、几何尺寸已发生了变化，不再是之前的系统了）4-4 解：5555555510001000AACCNNNNNMNNMN=4.791024(m-3)，55CCNNNN4.791028(m-3)堆总吸收截面：555()CafCaNN=0.344(m-1)总裂变截面：5555CffCffNNN=0.280(m-1)2555()CafCaDDLNN=2.6110-2(m2)55555()ffCafCavvNkNN=1.97 则材料曲率：5555522()1CffCamvNNNkBLD=37.3(m-2)在临界条件下：222()gmBBR 22255555()1CmffCaLDRBvNNNk=0.514(m)考虑到外推距离：223trdD=0.018(m)（如有同学用trd=0.7104也是正确的，但表达式相对复杂）再考虑到堆的平均密度：555555512/2351/CCCCCNNNNNNNN=957(kg/m3)（或者由10001000AANNMNMN）实际的临界质量：34()3Rdm2355555555512/235421/3()CCCffCaNNDDNNvNNN=156(kg)4-5 证明：以球心为坐标原点建立球坐标系，单群稳态扩散方程：2222Brrr 22 边界条件：i.1lim0rRJ；ii.2()0R；（如果不认为 R2包括了外推距离的话，所得结果将与题意相悖）球域内方程通解：cossin()BrBrrACrr 由条件 i 可得：1111112211111111111111cossinsincoslim|0cossintansincostan1r RrRBRBRBRBRJDABACBCRRRRBRBRBRBRBRCAABRBRBRBRBR 由条件 ii 可得：222222sincos()0tanBRBRRACCABRRR 由此可见，11211tantantan1BRBRBRBRBR，证毕 4-7 一由纯235U 金属（=18.7103 kg/m3）组成的球形快中子堆，其周围包以无限厚的纯238U（=19.0103 kg/m3），试用单群理论计算其临界质量，单群常数如下：235U：f=1.5 b,a=1.78 b,tr=35.4 m-1,=2.51；238U：f=0,a=0.18 b,tr=35.4 m-1。解：以球心为坐标原点建立球坐标系，对于 U-235 和 U-238 分别列单群稳态扩散方程，设其分界面在半径为 R 处：U-235：255251kL 方程1 U-238：288281L 方程 2 边界条件：i.50limr ii.58()()RR iii.5858r Rr RDDrr iv.8lim0r 令2251kBL（在此临界条件下，既等于材料曲率，也等于几何曲率），球域内方程 1 通解：555cossin()BrBrrACrr 由条件 i 可知 A5=0，所以：5sin()BrrCr 球域内方程 2 通解：88888exp(/)exp(/)()r Lr LrACrr 由条件 iv 可知 C8=0，所以：88exp(/)()r LrAr 23 由条件 ii 可得：88exp(/)exp(/)sinsinR LR LBRCACARRBR 由条件 iii 可得：8885822885(1)exp()cossin11()()exp()sincosRRDLLBRBRRD C BD ACARRL RRLDBRBRBR所以（由题目已知参数：,5,858,5,81133trtrtrtrDD）888858(1)exp()exp(/)sincos(1)sinsincossinRRLLDR LRAABRBRBRBRBRBRBRDBRL 即：8cossinRBRBRBRL 88arccot(1/)1cossinBLBRBRRBLB 代入数据：355510ANNM4.7910-28(m-3)388810ANNM4.8110-28(m-3),5,5,5,5ffaavvk2.115 25,5,513atrL 1.3110-3(m2)251kBL29.17(m-1)8,8,813atrL 0.1043(m)88arccot(1/)/2arctan(1/)BLBLRBB0.06474(m)355543mVR21.3(kg)4-8 证明：（1）如图 4-8 所示的柱坐标系下，单群稳态扩散方程可写为（临界条件下，几何曲率与材料曲率相等）：2222222211gBrrrrz，（0,0,/2/2r RHz H）边界条件（不考虑外推距离）：i.0|0r Rr ii.0|0 iii./2/2|0z HzH（注意，这里不能用线性微分方程解的存在唯一性定理：如 果()(1,2,),iatinft都 是 区 间,a b上 的 连 续 函 数，则 对 于 任 一0(,)ta b及 任 意 的(0)(1)(2)(1)0000,nxxxx，方程()(1)11()nnnnxa xaxa xf t存在唯一解()xt 定义于区间,a b上，且满足初值条件()()00()(0,1)kkxtxkn，24 而此扩散方程并非线性微分方程。）对于表达式：11(,)()sincos()x rzr zAJRH，13.89x 不难证明其满足上述全部三个边界条件。（11(0)(3.89)0JJ）（2）将表达式代入方程，其中，已知如下关系：101,nnnxJnJxJJJ 可推得：101JxJJx 10001001110011222212(1)JxJJJJxJJJJJxJJJJxxxxxxxx 111111110()()()()x rJx rx rxx rRJJJRRrRR 1022211111111111102211()22()()1()()()()()()x rJx rx rx rxx rx rxx rRJJJJJx rx rRRRRrRRRrRRR所以：2211111022112()()()()xx rxx rJJrrRRRrRx rJR 11110211()1()()x rJxx rRJrrrRrRx rJR 2112221111()()x rJrrRx rJR 所以：11221121111111002222222111()()112()()()()()()x rx rJJxx rxx rxx rRRJJJxrrrrrRRRrRrRrRrx rRJR 再有：2222()cos()()cos()zzHHzHH 所以方程化为：2221()()gxBRH 可知该表达式为方程的解。证毕。（也可如此推出解的形式：分离变量：(,)()()()rzr QZ z 25 方程变形：2222222211gddd Qd Zdrr drddzBrQZ 设：222d QdnQ（n 为任意实数），222zd ZdzBZ：22222221gzrddndrr drBBBr 222222()0rddrrB rndrdr 变量替换：,()()rrxB r Bxr，22222()0ddxxxndxdx 此为 n 阶 Bessel 方程，通解为：()()()()()nnrnnrJxJB rxY xY B r 由边界条件 i 可得，n 须取使(0)0nJ的值，在其中，我们只取基波，即 n=1，相应的1rB Rx：11()(/)rJ x r R 相应的：()sincosQAC 由边界条件 ii 可得，0C，()sinQA 对于 z 有：()sin)cos()zzzzZ zAB zCB z 由边界条件 ii 可得，0,/,()cos(/)zzzABH Z zCz H 所以：11(/)sincos(/)AJ x r Rz H）4-10 解：（1）对于均匀圆柱体裸堆，其几何曲率：2222.405()()gBHR 可得，在临界条件下：22222.405()gRBH 临界体积：2322222.405gHVR HB H 其取最小值时：0dVdH，即：222322222222222222.40532.4053203()2()ggggggHHB HB HB HHB HB HB 26 222222222.4052.40532.4053223/ggggRRBBBB 所以：2.4052RH0.5412（2）由上可得临界最小体积：2222232.405332.4053 322gggVR HBBB 由于临界条件下：22gmBB 所以：3148.4/mVB 4-11 设有一由纯239Pu（=14.4103 kg/m3）组成的球形快中子临界裸堆，试用下列单群常数：=2.19,f=1.85 b,r=0.26 b,tr=6.8 b 计算其临界半径与临界质量。解：4-11 解：由已知条件可得：310ANNM3.641028(m-3)ffafvvk1.92 21133)atratrfDLNN 1.7710-3(m2)设临界半径为 R，则由临界条件：22gmBB，可得：22221()1kLRRLk0.138(m)对于这一实际问题，需考虑外推距离：0.71040.7104trtrdN0.0288(m)所以实际临界体积为：34()3VRd5.4010-3(m3)临界质量：mV77.8(kg)4-12 试求下列等效裸堆内热中子通量密度的最大值与平均值之比，即热中子通量密度的不均匀系数：（1）半径为 R 的球形堆，反射层节省为 T；（2）半径为 R，高度为 H 的圆柱体堆，反射层节省分别为 r和 H；（3）边长为 a，b，c 的长方体堆，反射层节省分别为 x，y，z。解：可利用裸堆结论：球：27 32,20234/33.2713sin4()3H bareRHTRKrr drrRRKR 圆柱：2,/20/2022.31 1.573.622.405cos()()23.62()()2H bareHRHHrHR HKz dzJrrdrHRRHKRH 立方体：3,/2/2/2/2/2/233.888coscoscos()()()8222H bareabcabcHxyzabcKx dxy dyz dzabcabcKabc 详细推导：根据 97 页表 4-1 裸堆的通解形式可得：球：1()sin()TrArrR max00cos()1limsin()lim1TrrTTTrRArAArRRR 34/3VR 200000002220sinsin()2(cos)|cos()4cos()()cos()()40()cos()4()TTTTRVTRTTRRTTTTTTTdVAddrr drRRArdrdrRRRArr drRRRRAx dxA R max1HVKdVV323243()4()3TTTRARRA RR 圆柱：02.405(,)()cos()rzr zAJrzRH 28 max00,02.405lim()cos()rrzzAJrzARH 2VR H 2/2000/2/210/2222.405()cos()222.4052()()sin()2.4052()220.519120.86337()(2)2.405rrRHVHrzRHrzrzHrzrzdVAdrJr drdzRHRHArJrRHRHAA RH 22max23.64()()10.86337()(2)2HrzrzVAR HRHKA RHRHdVV（与教材上数值的差异在于对1(2.405)J所取的近似值的不同，在此取的是 0.5191）立方体：(,)cos()cos()cos()xyzx y zAxyzabc max0,0,0limcos()cos()cos()222xxyzyzAxyzAabc Vabc/2/2/2/2/2/23coscoscos22222222()2()2()()(2)(2)(2)xyzxyzabcVabcxyzyxzxyzdVAx dxy dyz dzabcbacAAabc 3max3()()()128222()(2)(2)(2)HxyzxyzVAabcabcKabcdVAabcV 4-16 解：以平板厚度方向上的几何中心为原点建立坐标系，对两区分别建立单群稳态扩散方程（由于几何上的对称性，对于本题只需考虑一侧，如 x 为正一侧）：2221,0IIIIkxbxL 方程 1 2221,IIIIIIIIkbxbaxL 方程 2 边界条件：i.()()IIIbb;ii.()0IIba 29 由表 3-1 查得方程 1 的通解：()cossinIIIIIxAB xCB x 其中第二项明显有悖于对称性条件，故 CI=0，同理有：()cosIIIIIIxAB x（由于本题是求解临界尺寸，默认的前提是几何曲率等于材料曲率，故以下不再对其进行区别，统一用 B2表示）由条件 ii 可得：cos()02()IIIIIIABbaBab 整个系统的临界条件为：1effk中子生率中子泄漏率中子吸收率 即：0202001bb aIIIIIIIIIaIaIIIfIIfbIIIeffb abb aIIIIIIaaIIaIaIIx a bIIIbbb abb abbIIIIIIIIIIIaIaIIaIaIIbbbkdxkdxv R dVv R dVkJdSR dVR dVdxdxdxdxdxdxkdxkdx 202(1)(1)(1)(1)/2(1)2ab abb ab aIIIIIIIIIIIIIIIIaIaIIaIIbbbIIIIIIaIIIIIIIIaD BdxkdxkdxkdxBkDDbka（注意，此处的泄漏仅仅是 II 区外表面上的泄漏，I-II 区之间的净流动是通过对通量分布产生影响从而作用于泄漏率的）可见，临界尺寸 a 与 b 负相关，从物理上理解：由于 I 区增殖性质弱于 II 区，故存在由 II 区向 I 区的净流动，相当于 II 区的泄漏。I 区尺寸越小，则这一泄漏越弱，当 b=0 时，则无此项泄漏，此时的临界尺寸 a 最小。但不要认为ab 之和为固定常数！这里用几何曲率只是考虑基波，求出的 a+b 相当于同一材料曲率下最小的临界尺寸，而实际上对于任意 n 平方倍的几何曲率，临界条件都可以满足。由条件 i 可得：coscoscoscos()2211/0IIIIIIIIIIIIIIIIIAB bAB bbAAB bAa