核反应堆物理分析习题答案第四章共6页.pdf
第 1 页 第四章 1.试求边长为,a b c（包括外推距离）的长方体裸堆的几何曲率和中子通量密度的分布。设有一边长0.5,0.6abm cm（包括外推距离）的长方体裸堆，0.043,Lm 426 10m。（1）求达到临界时所必须的k；（2）如果功率为15000,4.01fkWm，求中子通量密度分布。解：长方体的几何中心为原点建立坐标系，则单群稳态扩散方程为：边界条件：(/2,)(,/2,)(,/2)0ay zx bzx y c （以下解题过程都不再强调外推距离，可认为所有外边界尺寸已包含了外推距离）因为三个方向的通量拜年话是相互独立的，利用分离变量法：将方程化为：22221kXYZXYZL 设：222222,xyzXYZBBBXYZ 想考虑 X 方向，利用通解：()cossinxxX xAB xCB x 代入边界条件：1cos()0,1,3.5,.2xnxxanABBnBaa 同理可得：0(,)cos()cos()cos()x y zxyzaaa 其中0是待定常数。其几何曲率：22222()()()106.4gBmabc（1）应用修正单群理论，临界条件变为：221gkBM 其中：2220.00248MLm（2）只须求出通量表达式中的常系数0 2.设一重水铀反应堆的堆芯222221.28,1.8 10,1.20 10kLmm。试按单群理论，修正单群理论的临界方程分别求出该芯部的材料曲率和达到临界时候的总的中子不泄露几率。解：对于单群理论：在临界条件下：2222110.781311gmB LB L （或用1 k）对于单群修正理论：2220.03MLm 在临界条件下：2222110.781311gmB MB M （注意：这时能用1 k，实际上在维持临界的前提条件下修正理论不会对不泄露几率产生影响，但此时的几何曲率、几何尺寸已发生了变化，不再是之前的系统了。）4.设有圆柱形铀-水栅装置，R=0.50米，水位高度 H=1.0米，设栅格参数为：k=1.19，L2=6.610-4米2，=0.5010-2米2。（a）试求该装置的有效增殖系数 k；（b）当该装置恰好达临界时，水位高度 H 等于多少？（c）设某压水堆以该铀-水栅格作为芯部，堆芯的尺寸为 R=1.66米，H=3.50米，若反射层节省估算为r=0.07米，H=0.1米。试求反应堆的初始反应性第 2 页 以及快中子不泄漏几率和热中子不泄漏几率。5.一个球壳形反应堆，内半径为1R,外半径为2R，如果球的内、外均为真空，求证单群理论的临界条件为：解答：以球心为坐标原点建立球坐标系，单群稳态扩散方程：边界条件：i.1lim0;xRJ ii.2()0R （如果不2R包括了外推距离的话，所得结果将与题意相悖）球域内方程通解：cossin()BrBrrACrr 由条件 i 可得：由条件 ii 可得：由此可见，11211tantantan1BRBRBRBRBR，证毕。7.一由纯235U金属33(18.7 10/)kg m组成的球形快中子堆，其周围包以无限厚的纯 238U33(19.0 10/)kg m，试用单群理论计算其临界质量，单群常数如下：解：以球心为左边原点建立球左边系，对于 U-235 和 U-238 分别列单群稳态扩散方程，设其分界面在半径为 R 处：255251235:kUL 方程 1 288281238:UL 方程 2 边界条件：i.50limr ii.58()()RR iii.5858r Rr RDDrr iv.8lim0r 令2251kBL（.在此临界条件下，既等于材料曲率，也等于几何曲率），球域内方程 1 通解：555cossin()BrBrrACrr 由条件 i 可知50A，所以：5sin()BrrCr 球域内方程 2 通解：88888exp(/)exp(/)()r Lr LrACrr 由条件 iv 可知,所以：888exp(/)()r LrAr 由条件 ii 可得：88exp(/)exp(/)sinsinR LR LBRCACARRBR 由条件 iii 可得：888582885(1)exp()cossin11()()exp()sincosRRDLLBRBRRD C BD ACARRL RRLDBRBRBR所以（由题目已知参数,5,858,5,81133trtrtrtrDD）第 3 页 888858(1)exp()exp(/)sincos(1)sinsincossinRRLLDR LRAABRBRBRBRBRBRBRDBRL即：8cossinRBRBRBRL 代入数据：8.试证明有限高半圆形反应堆中子通量密度分布和几何曲率 其中：13.89x 是11()J x的第一个零点，即。证明：（1）书上图 4-8 所示的柱坐标系下，单群稳态扩散方程可写为（临界条件下，几何曲率与材料曲率相等）：边界条件（不考虑外推距离）：i.00r Rr II.00 III./2/20z HzH (注意,这里不能用线性微分方程解的存在唯一性定理：如果()(1,2,),()ia t inf t都是区间,a b上的连续函数，则对于任一0(,)ta b及任意的(0)(1)(2)(1)0000,nxxxx方程：存在唯一解 定义于区间,a b上，且满足初值条件()()00()(0,1),kkxtxkn 而此扩散方程并非线性微分方程。）对于表达式：111(,)()sincos(),3.89x rzr zAJxRH 不难证明其满足上述全部三个边界条件。11(0)(3.89)0)JJ（2）将表达式代入方程，其中，已知如下条件：可推得：101JxJJx 1220211111111111102211()22()()1()()()()()x rJx rx rx rxx rx rx rx rRJJJJJx rx rRRRRrRRRRRR所以：所以：11221121111111002222222111()()211()()()()()()x rx rJJxx rx rx rx rx rRRJJJx rrRRRRrRRrrrrrx rRJR 再有：2222cos()()cos()zFHzzHH 所以方程为：2221gxBRH 可知该表达式为方程的解。证毕。（也可如此推出解的形式：分离变量：(,)()()()rzr QZ z 第 4 页 方程变形：2222222211gddd Qd Zdrr drddzBrQZ 设：222d QdnQ（n为任意实数），222zd ZdzBZ；变量替换：22222,()(),()0rrddxB r Bxrxxxndxdx 此为nBessel阶方程，通解为 由边界条件 i 可得,n 须取使(0)0nJ的值，在其中，我们只去基波，即1n，相应的1rB Rx：相应的：()sinsinQAC 由边界条件 ii 可得：0,()sinCQA 对于 z 有：()sin()cos()zzzzZ zAB zCB z 由边界条件 ii 可得，0,/,()cos(/)zzzABH Z zCz H 所以:11(/)sincos(/)AJ x r Rz H 10.设有均匀圆柱形裸堆，其材料曲率等于，试求：（1）使临界体积为最小的/R H的值；（2）最小临界体积 V 与2mB的关系。解：（1）对于均匀圆柱体裸堆，其几何曲率：2222.405()()gBHR 可得，在临界条件下：22222.405()gRBH 临界体积：2322222.405gHVR HB H 其取最小值时:0dVdH,即：所以：22.4050.54122R （2）由上可得临界最小体积：2222232.405 332.405 3 322gggVR HBBB 由于临界条件下：22gmBB，所以：3148.4/mVB 11.设有意纯239Pu33(14.4 10/)kg m组成的球形快中子临界裸堆，试用下列单群常数：2.1 9,1.8 5,0.2 6,frt rvbbb计算其临界半径与临界质量。解：由已知条件可得：3283103.64 10ANNmM 设临界半径为R，则临界条件：22gmBB，可得：对于这一实际问题，需要考虑外推距离：0.71040.71040.0288trtrdmN 第 5 页 所以实际临界体积为：3334()5.40 103VRdm 临界质量：77.8mVkg 12.试求下列等效裸堆内热中子通量密度的最大值与平均值，即热中子通量密度的不均匀系数:（1）半径为R的球形堆，反射层节省为T；（2）半径为R，高度为H的圆柱形堆，反射层节省分别为r和H；（3）边长为,a b c的长方形堆，反射层节省分别为,xyz。解：可利用裸堆的结论，球：圆柱：2,2/02/03.622.405cos()()2H bareHRHR HKz dzJrrdrHR 立方体：详细推导：据 97 页 4-1 裸堆的通解形式可得：球：1()sin()TrArrR 圆柱：02.405(,)()cos()2Tzr zAJrzRH 立方体：(,)cos()cos()cos()222xyzx y zAxyzaaa 16.设有如图 4-9 所示的 一维无限平板反应堆。中间区域（I）的1Ik，厚度2b为已知，两侧区域（II）的1IIk，试用单群理论导出确定临界尺寸a的公式及临界时中子通量密度的分布。说明尺寸b对临界尺寸有无影响及其理由。解：以平板厚度方向上的几何中心为原点建立坐标系，对两区分别建立单群稳态扩散方程（由于几何上的对称性，对于本体只需考虑一侧，如 X 为正一侧）：2221,0IIIIkxbxL 方程1 2221,IIIIIIIIkbxbaxL 方程 2 边界条件：i.()();IIIbb ii.()0IIba 由表 3-1 查得方程 1 的通解：()cossinIIIIIxAB xCB x 其中第二项明显有悖于对称性条件，故0IC，同理有：()cosIIIIIIxAB x （由于本体是求解临界尺寸，默认的前提是几何曲率等于材料曲率，故以下不再 对其进行区别，统一用2B表示）有条件 ii 可得：cos()02()IIIIIIABbaBab 整个系统的临界条件为：effk=中子率/（中子泄漏率+中子吸收率）=1 即：（注意，此处的泄露仅仅是II区外表面上的泄露，III区之间的净流动时通过对通量分布产生影响从而作用于泄漏率的）可见，临界尺寸 a 与 b 负相关，从物理上的理解：由于I区增值性质弱于II区，故存在由II区向I区的净流动，相当于II区的泄露。I区尺寸越小，则第 6 页 这一泄露越弱，此时的临界尺 a 最小。但不要认为 ab 之和为固定常数！这里用几何曲率只是考虑基波，求出的 a+b 相当于同一材料曲率下最小的临界尺寸，而实际对于任意 n 平方倍的几何曲率，临界条件都可以满足。由条件 i 可得：coscoscoscos2211/0IIIIIIIIIIIIIIIIIAB bAB bbAAB bAabkBkL 中子通量密度分布为：()cos,()cos2222IIIIIIIxbxAxAabab，其中IIA由临界时的功率条件确定。17.设有高度为H（端部无反射层）径向为双区的圆柱形反应堆，中心为通量密度展平区，要求中子通量密度等于常数，假定单群理论可以适用。试求：（1）中心区的k应等于多少？（2）临界判别式及中子通量密度分布。解：自己设定材料有关参数，以几何中心为原点建立坐标系：222221,0IIIIIIkrbrrrzL 方程1 222221,0IIIIIIIIIIIIkrbrrrzL 方程 2 由于I区进行了通量展平，即0I为常数，易知1Ik，而IIk必须大于 1.边界条件：i.0IIr b|;ii.IIIIx bIIx bDDxx|iii.0IIr a|iv./20IIxH|
