考点19数列的概念与简单表示法备战年浙江新高考数学考点一遍过.pdf

Ruize 知识分享 了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）.一、数列的相关概念 1数列的定义 按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项 数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第 1 项，通常也叫做首项，排在第二位的数称为这个数列的第 2 项排在第 n 位的数称为这个数列的第 n 项所以，数列的一般形式可以写成简记为 na 2数列与函数的关系 数列可以看成定义域为正整数集*N(或它的有限子集1,2,n)的函数 naf n，当自变量按照由小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值 由于数列是特殊的函数，因此可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等,此时要注意数列的定义域为正整数集（或其有限子集1,2,n）这一条件.3数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的 个数 有穷数列 项数有限的数列，如数列 1，2，3，4，5，7，8，9，10 无穷数列 项数无限的数列，如数列 1，2，3，4，按项的变化趋势 递增数列 从第 2 项起，每一项都大于它的前一项，如数列 1，3，5，7，9，递减数列 从第 2 项起，每一项都小于它的前一项，如数列 10，9，8，7，6，5，Ruize 知识分享 常数列 各项都相等的数列，如数列 2，2，2，2，摆动数列 从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，如 1，2，1，2 按项的有界性 有界数列 任一项的绝对值都小于某一正数，如1，1，1，1，1，1，无界数列 不存在某一正数能使任一项的绝对值小于它，如 2，4，6，8，10，二、数列的表示方法（1）列举法：将数列中的每一项按照项的序号逐一写出，一般用于“杂乱无章”且项数较少的情况（2）解析法：主要有两种表示方法，通项公式：如果数列 na的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即()naf n 递推公式：如果已知数列 na的第一项(或前几项)，且任一项na与它的前一项1na(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式（3）图象法：数列是特殊的函数，可以用图象直观地表示数列用图象表示时，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标描点画图由此可知，数列的图象是无限个或有限个孤立的点 三、数列的前 n 项和与通项的关系 数列的前 n 项和通常用nS表示，记作，则通项 若当2n时求出的na也适合1n 时的情形，则用一个式子表示na，否则分段表示 考向一 已知数列的前几项求通项公式 1常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法 具体策略：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；Ruize 知识分享 各项的符号特征和绝对值特征；化异为同对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；对于符号交替出现的情况，可用()1 k或处理 根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想.2常见的数列的通项公式：（1）数列 1，2，3，4，的通项公式为nan；（2）数列 2，4，6，8，的通项公式为2nan；（3）数列 1，4，9，16，的通项公式为2nan；（4）数列 1，2，4，8，的通项公式为2nna；（5）数列 1，12，13，14，的通项公式为1nan；（6）数列12，16，112，120，的通项公式为 3根据图形特征求数列的通项公式，首先要观察图形，寻找相邻的两个图形之间的变化，其次要把这些变化同图形的序号联系起来，发现其中的规律，最后归纳猜想出通项公式 典例 1 数列32，54，78，916，的一个通项公式为 A B C D 【答案】D 【名师点睛】根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的变化特征；拆项后的各部分特征；符号特征应多进行对比、分析，从整体到Ruize 知识分享 局部多角度观察、归纳、联想 典例 2 下面图形由小正方形组成，请观察图 1 至图 4 的规律，并依此规律，写出第 17 个图形中小正方形的个数是_ 【答案】153 1 已知*nN，给出 4个表达式：，.其中能作为数列：0，1，0，1，0，1，0，1，的通项公式的是 A B C D 考向二 利用na与nS的关系求通项公式 已知nS求na的一般步骤：（1）先利用11aS求出1a；（2）用1n替换nS中的 n 得到一个新的关系，利用便可求出当2n时na的表达式；（3）对1n 时的结果进行检验，看是否符合2n时na的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n 与2n两段来写.利用求通项公式时，务必要注意2n这一限制条件，所以在求出结果后，要看看这Ruize 知识分享 两种情况能否整合在一起 典例 3 在数列中，数列的前 项和（，为常数）.（1）求实数，的值；（2）求数列的通项公式.典例 4 已知数列 na的前n项和为nS，且满足11a，*nN（1）求2a的值；（2）求数列 na的通项公式【解析】（1）11a,，（2）由,得 数列nSn是首项为111S,公差为12的等差数列 Ruize 知识分享 2设数列满足.（1）求及的通项公式;（2）求数列21nan的前 项和.考向三 由递推关系式求通项公式 递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项.高考对递推公式的考查难度适中，一般是通过变换转化成特殊的数列求解.已知数列的递推公式求通项公式的常见类型及解法如下：（1）：常用累加法，即利用恒等式求通项公式（2）：常用累乘法，即利用恒等式求通项公式（3）（其 中,p q为 常 数，0,1p）：先 用 待 定 系 数 法 把 原 递 推 公 式 转 化 为，其中1qkp，进而转化为等比数列进行求解（4）：两边同时除以1nq，然后可转化为类型 3，利用待定系数法进行求解；两边同时除以1np，然后可转化为类型 1，利用累加法进行求解（5）：把原递推公式转化为，解法同类型 3（6）1rnnapa：把原递推公式两边同时取对数，然后可转化为类型 3，利用待定系数法进行求解 Ruize 知识分享 （7）：把原递推公式两边同时取倒数，然后可转化为类型 3，利用待定系数法进行求解（8）：易得，然后分n为奇数、偶数两种情况分类讨论即可（9）：易得，然后分 n 为奇数、偶数两种情况分类讨论即可 典例 5 已知数列an中,a1=1,an=n(an+1-an)(n*N).求数列an的通项公式.典例 6 在数列 na中，11a，.（1）设nnabn，求数列 nb的通项公式；（2）求数列 na的前n项和nS.【解析】（1）由已知有，Ruize 知识分享 ，学&科网 3在数列中，为常数，（1）求 的值；（2）设，求数列的通项公式.考向四 数列的性质 数列可以看作是一类特殊的函数，所以数列具备函数应有的性质，在高考中常考查数列的单调性、周期性等.Ruize 知识分享 1数列的周期性 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值 2数列的单调性（1）数列单调性的判断方法：作差法：数列na是递增数列；数列na是递减数列；数列na是常数列 作商法：当0na 时，11nnaa 数列na是递增数列；11nnaa 数列na是递减数列；11nnaa 数列na是常数列 当0na 时，11nnaa 数列na是递减数列；11nnaa 数列na是递增数列；11nnaa 数列na是常数列（2）数列单调性的应用：构造函数，确定出函数的单调性，进而可求得数列中的最大项或最小项 根据11kkkkaaaa可求数列中的最大项；根据11kkkkaaaa可求数列中的最小项当解不唯一时，比较各解对应的项的大小即可（3）已知数列的单调性求解某个参数的取值范围，一般有两种方法：利用数列的单调性构建不等式，然后将其转化为不等式的恒成立问题进行解决，也可通过分离参数将其转化为最值问题处理；利用数列与函数之间的特殊关系，将数列的单调性转化为相应函数的单调性，利用函数的性质求解参数的取值范围，但要注意数列通项中 n 的取值范围 典例 7 已知数列na的通项公式为，判断数列na的单调性 Ruize 知识分享 典例 8 已知正项数列的前 项和为，且对任意恒成立.（1）证明：；（2）求数列的通项公式；（3）若，数列是递增数列，求 的取值范围.【解析】（1）由，得，两式相减得.又，所以，即，当时，得，也满足，所以.（2）当时，得，又，所以，Ruize 知识分享 4在数列中,若,则的值为 A B C D 5已知数列 na的前n项和nS满足：.（1）求数列 na的通项公式；（2）若0na，数列2log32na的前n项和为nT，试问当n为何值时，nT最小？并求出最小值.1已知数列的通项公式为，则数列的第 5 项为 A13 B C D15 2数列na的前 5 项分别为，则数列na的通项可能是 A542nna B322nna Ruize 知识分享 C652nna D 3若数列中,则的值为 A B C D 4若数列的前 项和,则它的通项公式是 A B C D 5如图，给出的 3 个三角形图案中圆的个数依次构成一个数列的前 3 项，则这个数列的一个通项公式是 A21n B3n C222nn D2322nn 6在数列中=则 A B C D 7已知数列的前 项和为，且满足，则下列说法正确的是 A数列的前 项和为 B数列的通项公式为 C数列为递增数列 D数列为递增数列 8已知函数=,若数列满足=,且是递增数列,则实数 a 的取值范围是 A B Ruize 知识分享 C9,34 D9,34 9如图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第 n 个图案中需用黑色瓷砖_块（用含 n 的代数式表示）10若数列 na满足，则1a_ 11已知数列的前 项和为,且=213n，则_ 12已知an是递增数列，且对任意的自然数 n(n1)，都有恒成立，则实数 的取值范围为_.13已知首项为 2 的数列的前项和为，且，若数列满足，则数列中最大项的值为_ 14在数列na中，a1=2，点(an，an+1)在函数 f(x)=21xx的图象上（1）求 a2，a3，a4的值；（2）猜想数列na的一个通项公式 Ruize 知识分享 15已知数列an的通项公式 an=n2-7n-8.（1）数列中有多少项为负数?（2）数列an是否有最小项?若有,求出其最小项.16已知数列 na的前n项和nS满足（1）求1a，2a，3a的值；（2）已知数列 nb满足12b，求数列 nb的通项公式 Ruize 知识分享 17已知数列na的通项公式为4()5nnan()n*N，试问数列na是否有最大项？若有，求出最大项；若没有，请说明理由 18设数列的前 项和为，点 均在函数的图象上.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前 n 项和.Ruize 知识分享 1（2018 新课标全国理科）记nS为数列 na的前n项和，若21nnSa，则6S _ 2（2015 江苏）数列满足且,则数列1na的前 10 项和为 .3（2017 新课标全国文科节选）设数列na满足，求na的通项公式.4（2018 新课标全国文科）已知数列 na满足11a，设nnabn（1）求123bbb，；（2）判断数列 nb是否为等比数列，并说明理由；（3）求 na的通项公式 Ruize 知识分享 5（2015 新课标全国理科）nS为数列na的前 n 项和.已知 an0,.（1）求an的通项公式；（2）设11nnnba a.求数列bn的前 n 项和.1【答案】A【解析】逐一写出为 0，1，0，1，0，1，0，1，逐一写出为，不满足，故选 A.2【解析】（1）令，则.变式拓展 Ruize 知识分享 （2）由（1），知，设数列21nan的前 项和为nS，则.3【解析】（1）将代入，得，由，得（2）由，得，即 当时，因为，所以 因为也适合上式，所以 Ruize 知识分享 4【答案】B【解析】由题意得,所以数列是周期为 4的周期数列，所以.选 B 5【解析】（1）由已知，可得 （2）因为0na，所以2nna.设，则5nbn，显然 nb是等差数列，由50n 解得5n，当4n 或5n时，nT最小，最小值为.1【答案】B【解析】当5n时，故选 B 考点冲关 Ruize 知识分享 【解析】由已知得111nnaa，82a，所以，11【答案】12【答案】(-3,+)【解析】由an为递增数列,得 an+1-an=(n+1)2+(n+1)-n2-n=2n+1+0 恒成立,即-2n-1 在 n1 时恒成立,令 f(n)=-2n-1,n*N,则 f(n)max=-3.只需 f(n)max=-3 即可.故实数 的取值范围为(-3,+).13【答案】43【解析】，当时，当时，两式相减可得，时也适合，即数列是以 4 为首项，2 为公比的等比数列，即，数列是以 1 为首项，1 为公差的等差数列，Ruize 知识分享 ，又二次函数开口向下，对称轴为，当时，最大，最大值为 43，故答案为 43.14【答案】a243，a387，a41615，猜想221nnna 15【解析】（1）令 an0,即 n2-7n-80,得-1n0,可得 an+1-an=2.又+2a1=4a1+3,解得 a1=-1(舍去)或 a1=3.所以an是首项为 3,公差为 2 的等差数列,通项公式为 an=2n+1.（2）由 an=2n+1 可知 bn=.设数列bn的前 n 项和为 Tn，则 Tn=b1+b2+bn=.Ruize 知识分享