行列式练习题1.pdf

1 第二章 行列式练习题（1）一、判断题：（在括号里打“”或“”，每小题 2 分，共 20 分）1 排列 217986354必定经过奇数次对换变为 123456789 2 任一排列施行一次对换后，其逆序数必增加 1 或减少 1 （）3 排列1 21nnj jjj与排列12 1nnj jj j的奇偶性相反 （）4 1122121233443434ababaabbababaabb （）5 若行列式中所有元素都是整数，则行列式的值一定是整数 （）6 若矩阵A经过初等变换化为矩阵B，则AB （）7把三级行列式的第一行减去第二行的 2 倍，同时把第一行的 3 倍加到第二行上去，所得的行列式与原行列式相等即：111121212222212121333333222333abcaabbccabcaabbccabcabc （）8 设A是n级矩阵，k是任意常数，则kAk A或kAk A；（）9 设abcd是一个 4 级排列，则abcd与badc的奇偶性相同；（）10设方程个数与未知量的个数相等的非齐次线性方程组的系数行列式等于 0，则该线性方程组无解；（）11 设 D=111212122212nnnnnnaaaaaaaaa,D1=121212111222nnnkkkkkknknknkaaaaaaaaa,其中12nk kk是 1、2、3、n 的一个排列，则 1 211nk kkDD （）二、填空题（每小题 2 分，共 20 分）1 排列(1)321n n的逆序数为(1)2n n，当 n 是 时为奇排列；当 n 是 时为偶排列 2 1 2 3 4 5ii i i i的逆序数为 6，则5 4 3 2 1iiiii的逆序数是 。3 排列 135（2n-1）246(2n)的逆序数为 ，排列(2k)1(2k-1)2(k+1)k的逆序数为 ；4 排列 12435作三个对换 、变为排列 25341，这些对换并不唯一，但所作的对换的次数与逆序数（12435）具有相同的奇偶性。5 五级行列式D中的一项21 13324554a a a a a在D中的符号为 负 6 3000003000_;0030000073111940000_;0000aebfgchd123123123aaabbbccc ；222111=；2 7 计算行列式123411232112321432000_;00aaaaabbbabccabcdabcd 8 D=0205011341023857利用拉普拉斯定理按前两行展开 D=；求11121314_;AAAA 9 多项式xxxxxxg43214321432432)(中3x的系数是 ；10如果线性方程组123123123000axxxxaxxxxax有非零解，那么a=；11方程（1）12341234012341234xxxx 与方程（2）22231227120538653815xx 的全部根分别为 和 （重根按重数计算）；12（1）11112345_;49162582764125（2）222233331111586258625862=；（3）2300014000_;180791208743034968508102 三选择题 1 多项式1111234()131143xxp xxxx中，x4，x3的系数项和常数项分别为 （）（A）-6，2，-6；（B）-6，-2，6；（C）-6，2，6；（D）-6，-2，-6 2 一个 n 阶方阵 A 的行列式，其值不为零，A 经若干次初等变换后，其行列式值 （）（）保持不变；（）保持不为零；（）可变为任何值；（）保持相同符号。3 设D是一个n阶行列式，那么 （）（A）列式与它的转置行列式相等；（）D中两行互换，则行列式不变符号；（）若0D，则D中必有一行全是零；（）若0D，则D中必有两行成比例。4行列式 1122334400000000ababbaba的值为 （）A 12341 2 3 4a a a abb b b；B12341 2 3 4a a a abb b b；C121 2343 4()()a abba ab b；D141 4232 3()()a abba ab b 3 5 若齐次线性方程组0200321321321xxxxkxxxxkx仅有零解则 （）A4k或1k；B4k或1k；C4k且1k；D4k且1k 6用克莱姆法则得20142332321xxxxxx的解为 （）（A）.123(,)(1,0,2)x x x （B）.123(,)(7,2,2)x x x （C）.123(,)(11,2,2)x x x （D）.123(,)(11,2,2)x x x 7行列式00410011aa的充要条件是 （）A2a B2a C2a D2a 8设,均为方程310 x 的根，则行列式 的值为 （）（A）1；（B）-1；（C）3；（D）0 四、计算行列式 1、用定义计算（1）000100200100000nn；（2）010000200001000nn；3）000000000000 xyxyxyyx（4）13122325212224313233343543425253000000000aaaaaaaaaaaaaaaa（5）由0111111111说明：奇偶排列各半 2、用行列式的性质（1）1111222abcbcacabbccaab （2）2222222222222222321321321321ddddccccbbbbaaaa（3）证明：2221112222221111112cbacbacbabaaccbbaaccbbaaccb 4（4）nnnnnnbababababababababa212221212111 3、利用性质化上三角或按行（列）展开（降级）（1）1234522131121111（2）n222232222222221（3）xyxyxyx00000000000000004）nnn11000010000001100001100001132211 逐步下加（4）mxxxxmxxxxmxnnn212121（5）121212nnnaxaaaaxaaaax（6）nnnnn110000200000220000111321（7）12312341345121221nnnnDnnn（循环行列式，后列减前列）4、各行（列）元素之和相等 （1）nabbbabDbba（2）1111111111111111aaaa（n级）3、（4）（5）5、将一行各元素拆成两项的和 （1）12naxxxxaxxxxax（2）1223311000110001100000100011nnnaaaaaaaa 6、爪型行列式（1）证明 niinnaaaaaaaaa10212101001001001111 5 7、加边法（1）n222232222222221 （2）nabbbabDbba （3）1111111111111111aaaa （4）121212nnnaxaaaaxaaaax（5）证明niinnnaaaaaaaaa1211321111111111111111111111111111 8、递推法、数学归纳法（三对角）（1）2212221212121111nnnnnxxxxxxxxxxxxxxx （2）0111122101000000010001000axaxaxaxaxaxaxaxnnnnn（3）1100000000()(1)()000000nnnn （4）53000253000250000025nD （5）110001000100()(1)()0000001nnnn （6）8150001815000180000018nD （7）cos100012cos100012cos00cos0002cos100012cosn 9、利用范德蒙行列式 1232222123111111231111()nnijj i nnnnnnxxxxxxxxxxxxxx 还可用因式法证明范德蒙行列式 6（1）1827641491612341111 解 原式3332222223331111123412341234123412341234111112（2）D=222244441111abcdabcdabcd增加一行一列，设 f(x)=22222333334444411111abcdxabcdxabcdxabcdx,可以看出 D 正好是 f(x)中3x的余子式4 54545(1)MA，f(x)按最后一列展开，4 5A的值就是 f(x)的3x的系数的相反数（3）（4）计算 Daaanaaanaaannnnnnnn1111111111()()()()解（4）:此式不是范德蒙行列式.将第n+1 行，第n行，第 2 行分别向上与相邻行交换n次，n-1 次，1 次，共交换了2)1(nn次；将列也作同样的变换。这样一共交换了)1(nn次，即偶数次，得 Dananaaananaaananaaananaannnnnnnnn122221111111111111111()()()()()()()()()由范德蒙行列式的计算公式得 nnnnDnnn2211)1(3212)1(2121 10、利用拉普拉斯定理 BABOA*BABOA*nmmnmnBAOABO)1(nnnnnnnnndcdcdcbababaD111111112 niiiiincbdaD12)(123222212322221231231111nnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxDxxxxxxxx121,2nijj i nxxxxxn 7 练习 1 计算n级行列式xaaaxaDaax，并求12nnnnAAA.2 计算行列式 D naaa11111111121，ai0，i 1,2，.，n.3 8150001815000180000018nD 4。0003212131321aaaaaaaaaaaaannn 解：设多项式为 则有 于是，所求的多项式为 例1 证明一个 n 次多项式之多有 n 个互异根 证 设 2012nnf xaa xa xa x有1n个互异的零点121,nx xx，则有 20120niiinif xaa xa xa x，1 1in 即 201 112120222222011210,0,0.nnnnnnnnnnax ax ax aax ax ax aaxaxaxa 这个关于01,na aa的齐次线性方程组的系数行列式 211122221121111101nnijj innnnnxxxxxxxxxxx，4.(),(1)0,(2)3,(3)28.f xfff求一二次多式使2(),f xabxcx(1)0,(2)423,(3)9328,fabcfabcfabc123200,40,60,20.DDDD 1232,3,1.DDDabcDDD 2()231.f xxx 8 因此0120naaaa这个矛盾表明 f x至多有 n 个互异根 例2 设12,na aa是 n 个两两互异的数证明对任意 n 个数12,nb bb，存在惟一的次数小于 n 的多项式 L x：1njiij iijxaL xbaa，使得 iiL ab，1 in 证 从定义容易看出 L x的次数小于 n，且 iiL ab，故只需证明唯一性即可 设 210121nnf xcc xc xcx满足 iif ab，1 in，即 2101 1121112102 122212210121,.nnnnnnnnnnca ca cacbca ca cacbca ca cacb 这个关于0121,nc c cc的线性方程组的系数行列式 21111212221211101nnijj innnnnaaaaaaaaaaa，故0121,nc c cc是唯一的，必须 f xL x 这个例子就是有名的拉格朗日插值公式