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静电场中的导体与电介质一章习题解答 习题 81 A、B 为两个导体大平板，面积均为 S，平行放置，如图所示。A 板带电+Q1，B 板带电Q2，如果使 B 板接地，则 AB 间电场强度的大小 E 为：(A)SQ012 (B)SQQ0212(C)SQ01 (D)SQQ0212 解：B 板接地后，A、B 两板外侧均无电荷，两板内侧带等值异号电荷，数值分别为+Q1和-Q1，这时 AB 间的场应是两板内侧面产生场的叠加，即 SQSQSQE01010122板间 所以，应该选择答案(C)。习题 82 C1和 C2两个电容器，其上分别标明 200pF(电容量)，500V(耐压值)和 300pF，900V。把它们串联起来在两端加上 1000V 的电压，则 (A)C1被击穿，C2不被击穿 (B)C2被击穿，C1不被击穿(C)两者都被击穿 (D)两者都不被击穿 答：两个电容器串联起来，它们各自承受的电压与它们的电容量成反比，设C1承受的电压为 V1，C2承受的电压为 V2，则有 231221CCVV 100021VV 联立、可得 V6001V，V4002V 可见，C1承受的电压 600V 已经超过其耐压值 500V，因此，C1先被击穿，继而1000V 电压全部加在 C2上，也超过了其耐压值 900V，紧接着 C2也被击穿。所以，应该选择答案(C)。习题 83 三个电容器联接如图。已知电容 C1=C2=C3，而 C1、C2、C3的耐压值分别为 100V、200V、300V。则此电容器组的耐压值为 (A)500V (B)400V (C)300V (D)150V (E)600V 解：设此电容器组的两端所加的电压为 u，并且用 C1C2表示 C1、C2两电容器的并联组合，这时该电容器组就成为C1C2与 C3的串联。由于 C1=C2=C3，所以 C1C22C3，故而 C1C2承受的电压为 u/3，C3承受的电压为 2u/3。+Q1 +Q2 A B 习题 81 图 由于 C1C2的耐压值不大于 100V，这要求)V(1003u 即要求 )V(300u 同理，C3的耐压值为 300V，这要求 (V)45030023u 对于此电容器组的耐压值，只能取两者之较低的，即 300V。因此，应该选择答案(C)。习题 84 一个大平行板电容器水平放置，两极板间的一半充有各向同性均匀电介质，另一半为空气，如图，当两极板带上恒定的等量异号电荷时，有一质量为 m、带电量为+q 的质点，平衡在极板间的空气区域中，此后，若把电介质抽去，则该质点：(A)保持不动。(B)向上运动。(C)向下运动。(D)是否运动不能确定。解：在抽出介质前，相当于左右两半两个“电容器”并联，由于这两个“电容器”电压相等，而右半边的电容又小于左半边的，因此由 q=CU 公式可知，右半边极板的带电量小于左半边的。当抽去介质后，极板电荷重新分布而变为左右均匀，使得右半边极板电荷较抽出介质前为多，因此这时带电质点受到向上的静电力将大于其重力，它将向上运动。所以应当选择答案(B)。习题 85 一个平行板电容器充电后与电源断开，当用绝缘手柄将电容器两极板间距拉大，则两极板间的电势差 U12、电场强度的大小 E 和电场能量 W 将发生如下变化：(A)U12减小，E 减小，W 减小。(B)U12增大，E 增大，W 增大。(C)U12增大，E 不变，W 增大。(D)U12减小，E 不变，W 不变。解：电容器充电后与电源断开，其极板上的电荷将保持不变。由公式 CQU12 当将电容器两极板间距拉大，其电容 C 将减小，这将使其极板间的电势差 U12增大；因为极板电荷保持不变，使得板间场强 SQE00 亦不变；由电容器储能公式 1221QUW 因电势差 U12增大而极板电荷保持不变，故电场能量 W 将增大。综上所述，应当C1 C2 C3 习题 83 图 +Q Q +q m 习题 84 图 选择答案(C)。习题 86 一个平行板电容器充电后仍与电源连接，若用绝缘手柄将电容器两极板间距拉大，则极板上的电量 Q、电场强度的大小 E 和电场能量 W 发生如下变化：(A)Q 增大，E 增大，W 增大。(B)Q 减小，E 减小，W 减小。(C)Q 增大，E 减小，W 增大。(D)Q 增大，E 增大，W 减小。解：电容器充电后仍与电源连接，其两极板间的电压 U12不变。若此时将电容器两极板间距拉大，其电容量 C 将变小，由公式 12CUQ 可知，极板上的电量 Q 将减小；与此同时，由公式 dUE12 可知，极板间电场也将减小；又由公式 21221CUW 可知，电场能量 W 将减小。综上所述，应当选择答案(B)。习题 87 一空气平行板电容器充电后与电源断开，然后在两极板间充满某种各向同性、均匀电介质，则电场强度大小 E、电容 C、电压 U、电场能量 W 四个量各自与充入介质前相比较，增大()或减小()的情形为：(A)E、C、U、W(B)E、C、U、W(B)E、C、U、W(D)E、C、U、W 解：设未充满电介质时电容器的电容为 C0，电压为 U0，场强为 E0，电场能 量为 W0。充满电介质后则有 001UUUr 所以 U；电场强度的大小变为 0001EEdUdUErr 所以 E；电容变为 0000CCUQUQCrr 所以 C；电场能量为 00020212121WWCQCQWrr 所以 W。综上所述，应当选择答案(B)。习题 88 C1和 C2两空气电容器并联起来接上电源充电，然后将电源断开，再把一电介质板插入 C1中，则：(A)C1和 C2极板上电量都不变。(B)C1极板上电量增大，C2极板上电量不变。(C)C1极板上电量增大，C2极板上电量减少。(D)C1极板上电量减少，C2极板上电量增大。解：充电后将电源断开，两电容器的总电量不变，即 常量21qq ()由于两电容器并联，它们的电势差 U 相等，因此它们所带的电量(q=CU)与它们的电容量成正比，但因 C1中插入了介质板，所以 C1的电容量增加，即 q1，由()式可知，这时 q2 应当减少，所以应当选择答案(C)。习题 89 两个薄金属同心球壳，半径各为 R1和 R2(R1R2)，分别带有电荷 q1和 q2，二者电势分别为 U1和 U2，设无穷远点为电势零点，现用导线将两球壳连起来，则它们的电势为：(A)U1 (B)U2 (C)U1+U2 (D)(U1+U2)/2 解：用导线将两球壳连起来，电荷都将分布在外球壳，现在该体系等价于一个半径为 R2的均匀带电球面，因此其电势为 20214RqqU 原来两球壳未连起来之前，内球电势为 202101144RqRqU 外球电势为 20212022012444RqqRqRqU 或者：20212022014442RqqdrrqrqdrEl dEUR外 因此，2UU 所以，应选择答案(B)。习题 810 一平行板电容器充满相对介电常数为r的各向同性均匀电介质，已知介质表面极化电荷面密度为。则极化电荷在电容器中产生的电场强度的大小为：(A)0 (B)r0 (C)02 (D)r 解：介质表面的极化电荷可以看成两个电荷面密度为的无限大平行平面，由叠加原理，它们在电容器中产生的电场强度大小为 00022E 所以，应当选择答案(A)。习题 811 两块面积均为 S 的金属板 A 和 B 彼此平行放置，板间距离为 d(d 远小于板的线度)，设 A 板带电为 q1，B 板带电为 q2，则 A、B 两板间的电势差为：(A)dSqq0212 (B)dSqq0214 (C)dSqq0212 (D)dSqq0214 解：如图所示，设 A、B 两块平行金属板的四个 表面的电荷面密度分别为1，2，3和4，则根 据电荷守恒有 121qSS 243qSS 根据静电平衡条件有 0222204030201 0222204030201 联立解得 SqqSqq2221322141 根据叠加原理，两个外侧表面的电荷在两极板间产生的场强相互抵消；两内侧的电荷在两板间产生的场强方向相同，它们最终在板间产生的场强为 SqqE021020302222 A B 4 3 2 1 q1 q2 题解 811 图 因而 A、B 两板间的电势差为 dSqqEdUAB0212 可以看出，应该选择答案(C)。习题 812 一空气平行板电容器，两极板间距为d，充电后板间电压为U。现将电源断开，在两板间平行地插入一厚度为 d/3 的金属板，则板间电压变成U=。解法：电源断开前后极板带电量不变，因而极间场强不变；由于在两板间平行地插入一厚度为 d/3 的金属板，相当于极板间距变为原来的 2/3，因此，板间电压相应地也变为原来的 2/3，即 UU32 解法：设未将电源断开(也未插入金属板)时电容器的电容为 C，这时电容器极板的电压为 CqU 将电源断开后极板的电量将保持不变，但因在两板间平行地插入一厚度为 d/3 的金属板，这相当于极板间距变为 2d/3，因而电容器的电容变为 CCddCddC2332 因此，现板间电压为 UCCU32 习题 813 A、B 为两个电容值都等于 C 的电容器，A 带电量为 Q，B 带电量为2Q，现将 A、B 并联后，系统电场能量的增量W 。解：A、B 并联后，系统的等效电容为 2C，带电量为 3Q，因此，系统电场能量的增量为 CQCQCQCQWWW42)2(22)3(212222 习题 814 一空气平行板电容器，其电容值为 C0。充电后电场能量为 W0。在保持与电源连接的情况下在两极板间充满相对介电常数为r的各向同性均匀电介 质，则 此 时 电 容 器 的 电 容 值 C=，电 场 能 量W=。解：充满介质后，电容器的电容值增大了r倍，因此有0CCr；由电容器储能公式 221CUW 充满介质后，两极板间电压 U 不变，只是电容值增大了r倍，因而其能量相应地增大为原来的r倍，即0WWr。习题 815 半径为 0.1m 的孤立带电导体球，其电势为 300V，则离导体球中心30cm 处的电势为 U=。解：孤立导体球的电量为 RRUCUQ04 其电荷分布是一个均匀带电球面，因而其电势分布为 RUrRrQU04 把 r=0.30m、R=0.1m 及 UR=300V 代入上式可得 U=100V。习题816 半径为R1和R2的两个同轴金属圆筒，其间充满着相对介电常数为r的均匀介质。设两筒上单位长度带电量分别为和，则介质中电位移矢量的大小为 D=；电场强度的大小为E=。解：取半径为 r(R1rR2)、高度为 h 的、与圆筒同轴的两端封闭的柱面为高斯面，根据有介质时的高斯定理有 hrhDSdD2侧 因此 rD2 根据电位移与场强的关系可得 rDErr002 习题 817 两个半径相同的金属球，相距很远。证明：该导体组的电容等于各孤立导体球的电容值的一半。证明：设两球分别带电+Q 和Q，因为它们相距很远，各自都可以看作“孤立”的。该两球的电势差为 RQRQRQUUU000211224)(4 所以，该导体组的电容为 RUQC0122 而对于各孤立导体球的电容则为RC004，因此我们有 021CC 证毕。习题 818 证明：半径为R 的孤立球形导体，带电量为2Q，其电场能量恰与半径为 R/4、带电量为 Q 的孤立球形导体的电场能量相等。证明：半径为 R 的孤立球形导体的电容为 RC014 其带电为 2Q 时的电场能量为 RQRQCQW02021212424)2(21 同理，半径为R/4、带电量为 Q 的孤立球形导体的电场能量为 102022222)4(4221WRQRQCQW 习题 819 两块“无限大”平行导体板，相距为 2d，都与地连接。在板间均匀充满着正离子气体(与导体板绝缘)，离子数密度为 n，每个离子的带电量为q，如果忽略气体中的极化现象，可以认为电场分布相对于中心平面OO 是对称的。试求两板间的电场分布和电势分布。分析：由于电场分布相对于中心平面OO 是对称的，因此求板间电场可以考虑用高斯定理。解：设中心平面OO 处为 X 轴的原点，可以看出，板间电场都与 X 轴平行：在-dx0 区间，场强方向与 X 轴反向；在 0 xd 区间，场强方向与 X 轴同向。因而可取一柱形高斯面 S，其轴线即为 X 轴，其两个端面分别在+x 和-x 处。由高斯定理得 iiSqSdE01 2d X O 习题 819 图 O x x S 即 iiqSdESdESdE侧面左端面右端面01)2(100SxnqSESE 解得 xnqE0 (-dxd)写成矢量式 i xnqE0 两板间任一点的电势为 )(22200 xdnqxdxnqdxEl dEUdxdx(-dxd)习题 820 两根平行“无限长”均匀带电直线，相距为 d，导线半径都是R(Rd)。导线上电荷线密度分别为和，试求该导体单位长度的电容。解：建立如图所示的坐标系，则两线间任一点的场为 )(22)(00 xdxxE 两线间的电势差 dxxdxdxEURdR)11(2012 RRd ln0 单位长度的电容为 RRdUCln0120 注意：两线间的电场强度E 是两个带电直线共同产生，应当用统一坐标系表示；每一条导线作为导体，各自都是等势体，因此求电势差的积分限取R 到 dR。习题 821 电容器由两个同轴圆筒组成，内筒半径为a，外筒半径为b，筒长都是 L，中间充满相对介电常数为 r的各向同性均匀电介质，若内外筒分别带d X P x O R R 题解 820 图 有等量异号电荷+Q 和Q。设 b-ab，可以忽略边缘效应，求(1)圆柱形电容器的电容；(2)电容器储存的能量。解：(1)由于 b-ab，所以两个同轴圆筒可看成“无限长”，它们沿长度方向电荷线密度为QL，两筒间的场为 rLQrErr0022 两筒间的电势差为 abLQdrrLQdrEUrbarabln21200 圆柱形电容器的电容为 abLUQUqCrababln20(2)电容器储存的能量为 abLQCQWreln421022 习题 822 半径为 R 的金属球，球上带电荷Q，球外充满介电常数为的各向同性的均匀电介质，求电场中储存的电场能。解法：由高斯定理容易求得带电金属球内外的场分布 ,4,02rQE 显然，电场能量密度为 42223221rQEew 在距金属球球心为 r 处取厚度为 dr 的薄球壳体积元，其体积为drrdV24，在其内储存的电场能为 drrQdVdWee228 w 因此，金属球电场中储存的电场能为 RQrdrQdWWRVee88222 解法：孤立导体球(球外充满介电常数为的各向同性的均匀电介质)的电容为 RC4 rR rR 电容器储能公式，可以求得金属球电场中储存的电场能为 RQCQWe82122 注：比较两种方法，容易看出第二种方法更简单。习题 823 半径分别为 1.0cm 与 2.0cm 的两个球形导体，各自带电量C100.18，两球心间相距很远。若用细导线将两球相接，求：(1)每个球所带的电量；(2)每个球的电势。解：(1)两个球用导线连接后，电荷重新分布，设这时两球分别带电为 q1和 q2，由电荷守恒有 qqq21 式中 q 为连接前两球的总带电量，C100.28q。用导线连接后两球等势 21RRUU 即 20210144RqRq 联立、解得 C1067.6100.2211982111RRqRq C103.13100.2212982122RRqRq(2)由于两球相距很远，它们的相互影响可以忽略，可以看成孤立、均匀带 电的导体球，因此它们的电势为 V100.6100.11067.6100.9432991011RqUR V100.6312RRUU 注意：该题中的两球体是导体球，它们带的电只能分布在外表面；而且两者相距很远，都可以看作是表面均匀带电，因此，应该按均匀带电球面来计算它们的电势。习题 824 两个电容器的电容之比为 C1C2=12。(1)把它们串联后接到电压一定的电源上充电，它们的电能之比是多少?(2)如果是并联充电，电能之比是多少?(3)在上述两种情况下电容器系统的总电能之比是多少?解：(1)两个电容器串联它们的带电量相等，根据公式 CqW221 可知它们的电能与电容量成反比，因此有 121221CCWW(2)两个电容器并联它们的电压相等，根据公式 221CUW 可知它们的电能与电容量成正比，因此有 212121CCWW(3)在以上两种情况下电容器系统的电容分别为 2121CCCCC串；21CCC并 由于电源电压一定，因此两种情况下电容器系统的总电能应与它们的电容成正比，所以有 22212121221212)(CCCCCCCCCCCCWW并串并串 92122211211221CCCC 习题 825 一圆柱形电容器，外柱的直径为4cm，内柱的直径可以适当选择，若其间充满各向同性的介质，该介质的击穿电场强度大小为 E0=200kV/cm，试求该电容器可能承受的最高电压。解：设该电容器的内、外柱半径分别为 a 和 b，内、外柱带电分别为和，则内、外柱间的场分布为 rE2 (arb)该场强的最大值也是击穿场强E0，可令上式中的 r=a，即 aEEar20 两极间的电势差 abaEabrdrEdrUbabaablnln220 ()根据最值条件，可令 0)1(lnln0200abEabbaaEabEdadUab 1lnab，eba 代入()式即可得到该电容器可能承受的最高电压 V1047.17182.2102002530maxEebU 习题 826 图示为一球形电容器，在外球壳的半径b 及内外导体间的电势差U 维持恒定的条件下，内球半径 a 为多大时才能使内球表附近的电场强度最小?并求这个最小电场强度的大小。解：内外导体间的电势差满足下面关系)11(40baqU 内球表面附近的电场强度可表示为 204aqE 把代入得 22)11(aabbUabaUE 把对 a 求导数并令其等于零 0)()2(222aabbabUaabbUdaddadE 解得 2ba 所以，当a=b/2 时，内球表附近的电场强度最小；这个最小电场强度的大小为 bUbbbUaabbUE442222min 习题 827 图示为两个同轴带电长直金属圆筒，内、外筒半径分别为R1和 R2，两筒间为空气，内、外筒电势分别为 U1=2U0，U2=U0，U0为一已知常量。求两金属筒之间的电势分布。解：两金属筒之间的电势差为 b a O 习题 826 图 R1 R2 习题 827 图 120000012ln2222121RRrdrdrEUUUURRRR 所以 1200ln2RRU 设距轴线为 r(R1rR2)处的电势为 U(r)，则该处与外筒之间的电势差为 rRRRUrRrdrdrEUrURrRr21202000ln)ln(ln22)(22 因此，rRRRUUrU21200ln)ln()(这就是两金属筒之间的电势分布。该步也可以有如下等价作法：因内筒与 r 处的电势差为 1120100ln)ln(ln2)(21RrRRURrEdrrUUrR 所以，11200ln)ln(2)(RrRRUUrU 习题 828 一电容为 C 的空气平行板电容器，接上端电压 U 为定值的电源充电。在电源保持连接的情况下，试求把两个极板间距增大至 n 倍时外力所作的功。分析：由于电源保持连接，所以在把两个极板间距拉大的过程中，外力与电源共同对系统作功，拉大的过程所满足的功能关系应为 eWAA电源外 我们只要算出系数能量的增量eW和电源作的功电源A就能求得外力的功外A。解：因为保持与电源连接，因而两极间的电势差U 不变。由于在极板间距拉大的过程中，电容器的电容从 dSC0 变到 nCndSC0 所以电容器能量的增量为 0)11(212121222nCUCUUCWWWe 在极板间距拉大的过程中，电容器上带电从 Q 变到Q，电源所作的功为 0)11()()(2nCUUCUUCUQQA电源 由功能关系 eWAA电源外 可得外力所作的功为 )11()11(2122nCUnCUAWAe电源外0)11(212nCU 可见，在极板间距拉大的过程中外力作正功。注意：对电容器来说，保持与电源连接，其两极电压 U 不变，可用公式221CUWe来进行计算或讨论其能量；若充电后断开电源，则极板带电量 Q 不变，这时可用公式CQWe221来进行计算或讨论其能量。计算作功要搞清系统和外界，对本题“外界”有两家：外力和电源；对如2000.1 习题集 15112题就与此题不同，可参见以下的本章补充习题答案。静电场中的导体和电介质一章补充习题答案 习题 15112(2000.1 习题集)一平行板电容器的极板面积为 S=1m2，两极板夹着一块 d=5mm 厚的同样面积的玻璃板。已知玻璃的相对介电常数r=5。电容器充电到电压 U=12V 以后切断电源，求把玻璃板从电容器中抽出来外力需作多少功。分析：电源已切断，只有外力作功，功能关系为：eWA外。解：切断电源前后极板上电荷不变，该电荷为切断电源前的电荷：C10062.110512151085.873120UdSCUQr 式中 C 为未抽出玻璃板时电容器的电容值。当抽出玻璃板后，电容器的电容值变为 F1077.110511085.893120dSC 根据功能关系，可得抽出玻璃板过程中外力所作的功为)11(22121222reCQCQCQWWWA外 J1055.2)511(1077.12)10062.1(6927 习题 1589 在带电量为+Q 的金属球产生的电场中，为测量某点的场强E，在该点引入一带电量为+Q/3 的点电荷。若测得其受力为F，则该点场强大小为 (A)QFE3。(B)QFE3。(C)QFE3。(D)无法判断。说明：因为引入的测场强的试验电荷的带电量太大了，以至于其场影响了原来金属球上的电荷分布，从而影响了原来的场分布，使得测量值并不等于该点的原来的场强。具体情况为：该试验电荷所带的正电荷把金属球上的部分正电荷推向远离自己所在点的一面，使金属球上的正电荷中心远离试验电荷所在的点，因而使测得的力 F 要小一些，所以 3F/Q 也必然比该点原来的场要小。因此，应当选择答案(B)。习题 1593 把 A、B 两块不带电的导体放在一带正电的导体的电场中，如图所示，设无限远处为电势零点，A 点电势为UA，B点电势为UB，则 (A)0ABUU。(B)0ABUU。(C)ABUU。(D)ABUU。说明：可定性画出一些电力线，画法是从正电荷出发而止于负电荷，如图所示。可见电力线大致上是从带正电的导体出发到 A，再到 B，再到无限远处，依照“电力线总是指向电势降低的方向”的原则，可以判断出 UbUA，因此，选择答案(D)。习题15119(2000.1习题集)一“无限大”空气平行板电容器，极板 A 和 B 的面积都是 S，两极板相距为 d，连接电源后，A 板电势 UA=0。现将一带电量为 q，面积也为S 而厚度可忽略不计的导体片 C 平行地插在两极板中间位置，如图所示。则导体片C 的电势为 UC=。解：电容器两极板与电源连接，两板间电压V 保持不变。单纯由两板电荷在板间产生的场强为 dVE 0 由于 V 恒定，故 E0亦不变。现在可以把问题转化，看成是在 E0的外场中引入导体 C。因为 UA=0，所以欲求 C 的电势就等价于求 C、A 间的电势差，为此，得先求出 C、A 间的场强 E2。根据叠加原理 A B 习题 1593 图 d21 d21 d A C B q V 习题 15119 图 SqdVEEEC0022 C、A 间的电势差C 板的电势为 SqdVdEUC02422 注：在本题的求解中，我们把导体薄片C 看成是一个纯粹的带电平面，这样做是完全可行的。这是因为，若把C 看成两个表面都带电的话，其产生的场为 SqSSEC0021210020122)()(2122 这与看成是一个纯粹的带电平面得到的结果完全一样。