高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案空间向量及其运算1.pdf

第六节 空间向量及其运算 空间向量及其应用(1)理解直线的方向向量与平面的法向量(2)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系(3)能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)(4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用 知识点一 空间向量的有关概念 1空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫作空间向量，其大小叫作向量的长度或模(2)相等向量：方向相同且模相等的向量(3)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向量叫作共线向量或平行向量，a 平行于 b 记作 ab.(4)共面向量：平行于同一平面的向量叫作共面向量 2空间向量中的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量 a，b(b0)，ab存在 R，使 ab.(2)共面向量定理：若两个向量 a，b 不共线，则向量 p 与向量 a，b 共面存在唯一的有序实数对(x，y)，使 pxayb.(3)空间向量基本定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z 使得 pxaybzc.其中a，b，c叫作空间的一个基底 3两个向量的数量积(1)非零向量 a，b 的数量积 ab|a|b|cosa，b (2)空间向量数量积的运算律 结合律：(a)b(ab)；交换律：abba；分配律：a(bc)abac.易误提醒(1)共线向量与共面向量区别时注意，平行于同一平面的向量才能为共面向量(2)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底(3)由于 0 与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故 0 不能作为基向量 (4)基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示 自测练习 1已知空间四边形 OABC 中，OAa，OBb，OCc，点 M 在 OA 上，且 OM2MA，N 为 BC 中点，则MN()A.12a23b12c B23a12b12c C.12a12b12c D.23a23b12c 解析：如图所示，MNMAABBN 13OA(OBOA)12BC OB23OA12(OCOB)12OB23OA12OC 23a12b12c.答案：B 2已知 a(1,0,2)，b(6,21,2)，若 ab，则 与 的值可以是()A2，12 B13，12 C3,2 D2,2 解析：ab，bka，即(6,21,2)k(1,0,2)，6k1，210，22k，解得 2，12，或 3，12.答案：A 知识点二 空间向量的坐标表示及其应用 设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).向量表示 坐标表示 数量积 ab a1b1a2b2a3b3 共线 ab(b0)a1b1，a2b2，a3b3 垂直 ab0(a0，b0)a1b1a2b2a3b30 模|a|a21a22a23 夹角 a，b(a0，b0)cosa，ba1b1a2b2a3b3a21a22a23 b21b22b23 易误提醒(1)空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取无关，这是因为一个确定的几何体，其“线线”夹角、“点点”距离都是固定的，坐标系的位置不同，只会影响其计算的繁简(2)进行向量的运算时，在能建系的情况下尽量建系，将向量运算转化为坐标运算 必备方法 用空间向量解决几何问题的一般步骤：(1)适当的选取基底a，b，c(2)用 a，b，c 表示相关向量(3)通过运算完成证明或计算问题 自测练习 3在空间直角坐标系中，已知点 A(1,0,2)，B(1，3,1)，点 M 在 y 轴上，且 M 到 A 与到 B 的距离相等，则 M 的坐标是_ 解析：设 M(0，y,0)，由|MA|MB|得(10)2(0y)2(20)2(10)2(3y)2(10)2，解得 y1.M(0，1,0)答案：(0，1,0)考点一 空间向量的线性运算|1设三棱锥 O-ABC 中，OAa，OBb，OCc，G 是ABC 的重心，则OG等于()Aabc Babc C.12(abc)D.13(abc)解析：如图所示，OGOAAGOA13(ABAC)OA13(OBOAOCOA)13(abc)答案：D 2.如图所示，已知空间四边形 O-ABC，其对角线为 OB，AC，M，N 分别为 OA、BC 的中点，点 G 在线段 MN 上，且MG2GN，若OGxOAyOBzOC，则 x，y，z 的值分别为_ 解析：OGOMMG12OA23MN12OA23(ONOM)12OA23ON23OM 12OA2312(OBOC)2312OA16OA13OB13OC，又OGxOAyOBzOC，根据空间向量的基本定理，x16，yz13.答案：16，13，13(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求(2)空间向量问题实质上是转化为平面向量问题来解决的，即把空间向量转化到某一个平面上，利用三角形法则或平行四边形法则来解决 考点二 共线向量与共面向量定理的应用|已知 E，F，G，H 分别是空间四边形 ABCD 中边 AB，BC，CD，DA 的中点(1)求证：E，F，G，H 四点共面；(2)求证：BD平面 EFGH；(3)设 M 是 EG 和 FH 的交点，求证：对空间任一点 O，有OM14(OAOBOCOD)证明(1)连接 BG，则EGEBBGEB12(BCBD)EBBFEHEFEH，由共面向量定理知，E，F，G，H 四点共面(2)因为EHAHAE12AD12AB12(ADAB)12BD，所以 EHBD.又 EH平面 EFGH，BD平面 EFGH，所以 BD平面 EFGH.(3)任取一点 O，并连接 OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.由(2)知EH12BD，同理FG12BD，所以EHFG，即 EH 綊 FG，所以四边形 EFGH 是平行四边形，所以 EG，FH 被点 M 平分 故OM12(OEOG)12OE12OG1212OAOB 1212OCOD 14(OAOBOCOD)证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明 P，A，B，C 四点共面，只要能证明PAxPByPC或对空间任一点 O，有OAOPxPByPC或OPxOAyOBzOC(xyz1)即可共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件 1 已知 A、B、C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一点 O，若点 M 满足OM13(OAOBOC)(1)判断MA、MB、MC三个向量是否共面；(2)判断点 M 是否在平面 ABC 内 解：(1)由已知OAOBOC3 OM，OAOM(OMOB)(OMOC)，即MABMCMMBMC，MA，MB，MC共面(2)由(1)知MA，MB，MC共面且过同一点 M，所以四点 M，A，B，C 共面，从而点 M 在平面 ABC 内 考点三 利用空间向量证明平行、垂直|如图所示的长方体 ABCD-A1B1C1D1中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，O 为AC 与 BD 的交点，BB1 2，M 是线段 B1D1的中点(1)求证：BM平面 D1AC；(2)求证：OD1平面 AB1C.证明(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则点 O(1,1,0)，D1(0,0，2)，OD1(1，1，2)，又点 B(2,2,0)，M(1,1，2)，BM(1，1，2)，OD1BM.又OD1与 BM 不共线，OD1BM.OD1平面 D1AC，BM平面 D1AC，BM平面 D1AC.(2)连接 OB1，点 B1(2,2，2)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，OD1OB1(1，1，2)(1,1，2)0，OD1AC(1，1，2)(2,2,0)0，OD1OB1，OD1AC，即 OD1OB1，OD1AC，又 OB1ACO，OD1平面 AB1C.(1)设直线 l1的方向向量为 v1(a1，b1，c1)，l2的方向向量为 v2(a2，b2，c2)，则 l1l2v1v2(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)(kR)(2)设直线 l 的方向向量为 v(a1，b1，c1)，平面 的法向量为 n(a2，b2，c2)，则 lvna1a2b1b2c1c20，lvn(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)(kR)(3)设平面 的法向量为 n1(a1，b1，c1)，平面 的法向量为 n2(a2，b2，c2)，则 n1n2，n1n2.2.在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，AA12AB2BC，E，F，E1分别是棱 AA1，BB1，A1B1的中点(1)求证：CE平面 C1E1F；(2)求证：平面 C1E1F平面 CEF.证明：以 D 为原点，DA，DC，DD1所在的直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 D-xyz，设 BC1，则 C(0,1,0)，E(1,0,1)，C1(0,1,2)，F(1,1,1)，E11，12，2.(1)设平面 C1E1F 的法向量 n(x，y，z)C1E11，12，0，FC1(1，0,1)，nC1E10，nFC10，即 x12y0，xz0.令 x1，得 n(1,2,1)CE(1，1,1)，nCE1210，CEn.又CE平面 C1E1F，CE平面 C1E1F.(2)设平面 EFC 的法向量为 m(a，b，c)，由EF(0,1,0)，FC(1,0，1)，mEF0，mFC0，即 b0，ac0.令 a1，得 m(1,0,1)mn1(1)2011110，平面 C1E1F平面 CEF.16.混淆空间“向量平行”与“向量同向”致错【典例】已知向量 a(1,2,3)，b(x，x2y2，y)，并且 a，b 同向，则 x，y 的值分别为_ 解析 由题意知 ab，所以x1x2y22y3，即 y3x，x2y22x，解得 x1，y3，或 x2，y6.当 x2，y6，时，b(2，4，6)2a，所以 a，b 两向量反向，不符合题意，舍去 当 x1，y3，时，b(1,2,3)a，a 与 b 同向，所以 x1，y3.答案 x1，y3 易误点评 只考虑 ab，忽视了同向导致求解多解 防范措施 两向量平行和两向量同向不是等价的，同向是平行的一种情况，两向量同向能推出两向量平行，但反之不成立，也就是说两向量同向是两向量平行的充分不必要条件 跟踪练习(2015成都模拟)已知 a(1,0,2)，b(6,2u1,2)，若 ab，则 与 u的值可以是()A2，12 B13，12 C3,2 D2,2 解析：由 ab 验证当 2，u12时成立 答案：A A 组 考点能力演练 1(2015深圳模拟)已知三棱锥 O-ABC，点 M，N 分别为 AB，OC 的中点，且OAa，OBb，OCc，用 a，b，c 表示MN，则MN等于()A.12(bca)B.12(abc)C.12(abc)D.12(cab)解析：MNMAAOON12(cab)答案：D 2已知四边形 ABCD 满足：ABBC0，BCCD0，CDDA0，DAAB0，则该四边形为()A平行四边形 B梯形 C长方形 D空间四边形 解析：由ABBC0，BCCD0，CDDA0，DAAB0，知该四边形一定不是平面图形，故选 D.答案：D 3已知 a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)若 a，b，c 三向量共面，则实数 等于()A.627 B.637 C.607 D.657 解析：由题意得 ctab(2t，t4，3t2)，72t，5t4，3t2.t337，177，657.答案：D 4(2016东营质检)已知 A(1,0,0)，B(0，1,1)，OAOB与OB的夹角为 120，则 的值为()A66 B.66 C66 D 6 解析：OAOB(1，)，cos 120122 212，得 66.经检验 66不合题意，舍去，66.答案：C 5设 A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，AB 的中点为 M，则|CM|等于()A.534 B.532 C.532 D.132 解析：设 M(x，y，z)，则 x3122，y30232，z1523，即 M2，32，3，|CM|2023212302532.故选 C.答案：C 6(2016合肥模拟)向量 a(2,0,5)，b(3,1，2)，c(1,4,0)，则 a6b8c_.解析：由 a(2,0,5)，b(3,1，2)，c(1,4,0)，a6b8c(28，26，7)答案：(28，26，7)7已知向量 a，b 满足条件：|a|2，|b|2，且 a 与 2ba 互相垂直，则 a 与 b 的夹角为_ 解析：由于 a 与 2ba 互相垂直，则 a(2ba)0，即 2ab|a|20，所以 2|a|b|cosa，b|a|20，则 4 2cosa，b40，则 cosa，b22，所以 a 与 b 的夹角为 45.答案：45 8空间四边形 OABC 中，OBOC，且AOBAOC3，则 cosOA，BC的值为_ 解析：OABCOA(OCOB)OAOCOAOB|OA|OC|cosOA，OC|OA|OB|cosOA，OB OBOC，AOBAOC3，OABC0，即OABC，cosOA，BC0.答案：0 9(2016唐山模拟)已知空间三点 A(2,0,2)，B(1，1,2)，C(3,0,4)，设 aAB，bAC.(1)求 a 和 b 夹角的余弦值(2)设|c|3，cBC，求 c 的坐标 解：(1)因为AB(1,1,0)，AC(1,0,2)，所以 ab1001，|a|2，|b|5.所以 cosa，bab|a|b|12 5 1010.(2)BC(2，1,2)设 c(x，y，z)，因为|c|3，cBC，所以x2y2z23，存在实数 使得 cBC，即 x2，y，z2联立解得 x2，y1，z2，1，或 x2，y1，z2，1，所以 c(2，1,2)10(2016太原模拟)如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1，底面ABC 中，CACB1，BCA90，棱 AA12，M，N 分别是 A1B1，A1A 的中点(1)求BN的模(2)求 cosBA1，CB1的值(3)求证：A1BC1M.解：如图，建立空间直角坐标系(1)依 题 意 得B(0,1,0)，N(1，0,1)，所 以|BN|102012102 3.(2)依题意得 A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)所以BA1(1，1,2)，CB1(0,1,2)，BA1CB13，|BA1|6，|CB1|5，所以 cos BA1，CB1BA1CB1|BA1|CB1|11030.(3)依题意，得 C1(0,0,2)，M12，12，2，A1B(1,1，2)，C1M12，12，0.所以A1BC1M121200，所以A1BC1M.所以 A1BC1M.B 组 高考题型专练 1(2014高考广东卷)已知向量 a(1,0，1)，则下列向量中与 a 成 60夹角的是()A(1,1,0)B(1，1,0)C(0，1,1)D(1,0,1)解析：经检验，选项 B 中向量(1，1,0)与向量 a(1,0，1)的夹角的余弦值为12，即它们的夹角为 60，故选 B.答案：B 2(2014高考江西卷)如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB11，AD7，AA112.一质点从顶点 A 射向点 E(4,3,12)，遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理)，将第 i1 次到第 i 次反射点之间的线段记为 Li(i2,3,4)，L1AE，将线段 L1，L2，L3，L4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是()解析：由对称性知质点经点 E 反射到平面 ABCD 的点 E1(8,6,0)处在坐标平面 xAy 中，直线 AE1的方程为 y34x，与直线 DC 的方程 y7 联立得 F283，7，0.由两点间的距离公式得 E1F53，tanE2E1FtanEAE1125，E2FE1FtanE2E1F4.E2F11248.L3L4E1E2E2E3E2FE2F14812.故选 C.答案：C 3(2015高考浙江卷)已知 e1，e2是空间单位向量，e1e212.若空间向量 b 满足 be12，be252，且对于任意 x，yR，|b(xe1ye2)|b(x0e1y0e2)|1(x0，y0R)，则 x0_，y0_，|b|_.解析：e1，e2是单位向量，e1e212，cose1，e212，又0e1，e2180，e1，e260.不妨把 e1，e2放到空间直角坐标系 O-xyz 的平面 xOy 中，设 e1(1,0,0)，则 e212，32，0，再设OBb(m，n，r)，由 be12，be252，得 m2，n 3，则 b(2，3，r)而 xe1ye2是平面 xOy 上任一向量，由|b(xe1ye2)|1 知点 B(2，3，r)到平面 xOy 的距离为 1，故可得 r1.则 b(2，3，1)，|b|2 2.又由|b(xe1ye2)|b(x0e1y0e2)|1 知 x0e1y0e2(2，3，0)，解得 x01，y02.答案：1,2,2 2